Mécanique analytique/Fragment 4

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 378-385).

IV.

Autre fragment sur la rotation d’un système quelconque.

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Ainsi l’on a, en général (p. 215),

${\begin{aligned}d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}=&(c\,d\mathrm {Q} -b\,d\mathrm {R} +da)^{2}\\&+(a\,d\mathrm {R} -c\,d\mathrm {P} +db)^{2}+(b\,d\mathrm {P} -a\,d\mathrm {Q} +dc)^{2}.\end{aligned}}$

Si les forces accélératrices ne dépendent que de la situation respective des corps, elles ne seront fonctions que de $a,\,b,\,c.$ Faisant

${\begin{aligned}\scriptstyle \mathrm {T} =&\scriptstyle {\frac {1}{2}}\left[\scriptstyle {\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} \left(b^{2}+c^{2}\right)+{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt^{2}}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} \left(a^{2}+c^{2}\right)+{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt^{2}}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} \left(a^{2}+b^{2}\right)\right]\\&\scriptstyle -{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} \,bc-{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle {\mathrm {m} \,ac-{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} \,ab\\&\scriptstyle +{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} {\frac {b\,dc-c\,db}{dt}}+{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} {\frac {c\,da-a\,dc}{dt}}\\&\scriptstyle +{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} {\frac {a\,db-b\,da}{dt}}+\displaystyle \mathrm {S} \scriptstyle \mathrm {m} {\frac {da^{2}+db^{2}+dc^{2}}{2dt^{2}}}.\end{aligned}}$

On aura, relativement aux variables $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R} ,$

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {P} }}\delta d\mathrm {P} +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {Q} }}\delta d\mathrm {Q} +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {R} }}\delta d\mathrm {R} =0,$

savoir (art. 15, p. 217)

${\begin{aligned}{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {P} }}(d\delta \mathrm {P} +d\mathrm {Q} \delta \mathrm {R} -d\mathrm {R} \delta \mathrm {Q} )&+{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {Q} }}(d\delta \mathrm {Q} +d\mathrm {R} \delta \mathrm {P} -d\mathrm {P} \delta \mathrm {R} )\\&+{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {R} }}(d\delta \mathrm {R} +d\mathrm {P} \delta \mathrm {Q} -d\mathrm {Q} \delta \mathrm {P} )=0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire les équations

${\begin{alignedat}{4}&d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {P} }}&-&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {Q} }}d\mathrm {R} &+&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {R} }}d\mathrm {Q} &=&0,\\&d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {Q} }}&-&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {P} }}d\mathrm {P} &+&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {R} }}d\mathrm {R} &=&0,\\&d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {R} }}&-&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {P} }}d\mathrm {Q} &+&{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta d\mathrm {Q} }}d\mathrm {P} &=&0,\end{alignedat}}$

savoir, en changeant $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ en $pdt,\,qdt,\,rdt,$

(a)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}&d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&+&\left(q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}-r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)dt&=&0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&+&\left(r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}-p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)dt&=&0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&+&\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}-q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)dt&=&0,\end{alignedat}}\right.$

comme dans les équations (A) de la page 231 ; mais ces formules-ci sont générales, quelle que soit la variabilité de $a,\,b,\,c.$

Ainsi on aura tout de suite l’intégrale

$\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)^{2}=f^{2}.$

Ensuite on aura aussi

$p\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=0,$

mais qui ne sera pas une différentielle complète, à cause de la variabilité de $a,\,b,\,c\,;$ mais on aura toujours, par le principe des forces vives, l’intégrale

$\mathrm {T+V=const} .,$

$\mathrm {V}$ étant égal à _S$\Pi \mathrm {m} ,$ $\Pi$ dénotant la fonction provenant des forces attractives (Sect. III, art. 34).

Enfin, en multipliant ces équations respectivement par $d\xi ',\,d\xi '',\,d\xi ''',$ on aura, en les ajoutant,

${\begin{aligned}\xi 'd{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&+\xi ''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\xi '''d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}(r\xi ''-q\xi ''')dt\\&+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}(p\xi '''-r\xi ')dt+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}(q\xi '-p\xi '')dt=0,\end{aligned}}$

savoir, à cause de $d\zeta '=(r\zeta ''-q\zeta ''')dt,\ldots$ (p. 214),

$\xi '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\xi ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\xi '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {const} .=l,$

et de même

(b)

$\eta '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\eta ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\eta '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=m,\qquad \zeta '{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\zeta ''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\zeta '''{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=n.$

On peut remarquer que ces équations sont celles de la conservation des aires car on a (p. 215)

${\begin{aligned}d\xi =&\xi 'da'+\xi ''db'+\xi '''dc',\\d\eta =&\eta 'da'+\eta ''db'+\eta '''dc',\\d\zeta =&\zeta 'da'+\zeta ''db'+\zeta '''dc'\,;\end{aligned}}$

de là

${\begin{aligned}\xi d\eta -\eta d\xi =&+(\xi 'a+\xi ''b+\xi '''c)(\eta 'da'+\eta ''db'+\eta '''dc')\\&-(\eta 'a+\eta ''b+\eta '''c)(\xi 'da'+\xi ''db'+\xi '''dc')\\=&(a\,db'-b\,da')\zeta '''-(a\,dc'-c\,da')\zeta ''+(b\,dc'-c\,db')\zeta ',\\\xi d\zeta -\zeta d\xi =&+(\xi 'a+\xi ''b+\xi '''c)(\zeta 'da'+\zeta ''db'+\zeta '''dc')\\&-(\zeta 'a+\zeta ''b+\zeta '''c)(\xi 'da'+\xi ''db'+\xi '''dc')\\=&-(a\,db'-b\,da')\eta '''+(a\,dc'-c\,da')\eta ''-(b\,dc'-c\,db')\eta ',\\\eta d\zeta -\zeta d\eta =&+(\eta 'a+\eta ''b+\eta '''c)(\zeta 'da'+\zeta ''db'+\zeta '''dc')\\&-(\zeta 'a+\zeta ''b+\zeta '''c)(\eta 'da'+\eta ''db'+\eta '''dc')\\=&(a\,db'-b\,da')\xi '''-(a\,dc'-c\,da')\xi ''+(b\,dc'-c\,db')\xi '.\end{aligned}}$

Or, en prenant les sommes, on trouve que

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}dt=$_S$\mathrm {m} (b\,dc'-c\,db'),$

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}dt=$_S$\mathrm {m} (c\,da'-a\,dc'),$

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}dt=$_S$\mathrm {m} (a\,db'-b\,da')\,;$

de là on aura donc aussi

(c))

$\left\{{\begin{alignedat}{4}&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&=&l\xi '&+&m\eta '&+&n\zeta ',\\&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&=&l\xi ''&+&m\eta ''&+&n\zeta '',\\&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&=&l\xi '''&+&m\eta '''&+&n\zeta ''',\end{alignedat}}\right.$

et si l’on substitue les valeurs de $p,\,q,\,r,$ tirées de ces équations, dans l’équation

$\mathrm {T+V=const} .,$

on aura une équation finie en $\xi ',\,\eta ',\ldots ,$ savoir entre les angles $\varphi ,\,\psi$ et $\omega .$

Les équations (c) ci-dessus sont les mêmes qui ont été trouvées à la page par une voie moins directe.

Si maintenant on multiplie les équations (b) de la page précédente par ${\frac {d\mathrm {L} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {M} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {N} }{dt}},$ et qu’on les ajoute, on aura par les formules de la page 212, à cause de $p={\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,q={\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,r={\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}={\frac {l\,d\mathrm {L} +m\,d\mathrm {M} +n\,d\mathrm {N} }{dt}}.$

Mais nous avons trouvé l’équation

$p\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r\,d{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=0,$

qui résulte des équations (a) multipliées par $p,\,q,\,r$ et ajoutées ; donc, si l’on désigne par $d\mathrm {T}$ la variation de $\mathrm {T}$ relative à $a,\,b,\,c$ seulement, on aura

$d\mathrm {T} ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}dr+\operatorname {d} \mathrm {T} \,;$

donc, ajoutant l’équation précédente, on aura

$d\mathrm {T} =d\left(p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)+\operatorname {d} \mathrm {T} \,;$

donc

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {T} -\int \operatorname {d} \mathrm {T} +\mathrm {const} .$

Mais le principe des forces vives donne

$\mathrm {T+V=const} .;$

donc on aura

$p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {K} -\int \operatorname {d} \mathrm {T} -\mathrm {V} \,;$

donc

(K)

$l{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}+m{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}+n{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=\mathrm {K} -\int \operatorname {d} \mathrm {T} -\mathrm {V} \,;$

et si $a,\,b,\,c$ sont constantes, $d\mathrm {T} =0\,;$ et $\mathrm {V}$ sera constant s’il ne provient que des forces intérieures.

L’équation (K) indique que la vitesse de rotation autour d’un certain axe fixe dans l’espace est constante dans ce cas. En effet, puisque, dans les formules de la page 212, $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ indiquent les rotations autour des axes des coordonnées $a,\,b,\,c,$ et $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N}$ indiquant les rotations autour des axes des $x,\,y,\,z,$ il s’ensuit que, si l’on prend les premières pour $d\mathrm {L} ,\,d\mathrm {M} ,\,d\mathrm {N} ,$ on pourra rapporter celles-ci à d’autres axes par rapport auxquels elles deviendront $(d\mathrm {L} ),\,(d\mathrm {M} ),\,(d\mathrm {N} ),$ la position des nouveaux axes étant déterminée par des quantités $\xi ',\,\eta ',\ldots$ que je désignerai par $(\xi '),\,(\eta '),\ldots .$ On aura ainsi

${\begin{alignedat}{4}&(d\mathrm {L} )&=&(\xi ')d\mathrm {L} &+&(\xi '')d\mathrm {M} &+&(\xi ''')d\mathrm {N} ,\\&(d\mathrm {M} )&=&(\eta ')d\mathrm {L} &+&(\eta '')d\mathrm {M} &+&(\eta ''')d\mathrm {N} ,\\&(d\mathrm {N} )&=&(\zeta ')d\mathrm {L} &+&(\zeta '')d\mathrm {M} &+&(\zeta ''')d\mathrm {N} .\end{alignedat}}$

Donc, puisque $(\xi ')^{2}+(\xi '')^{2}+(\xi ''')^{2}=1,$ si l’on met l’équation ci-dessus sous la forme

${\frac {l{\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+m{\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+n{\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}={\frac {\mathrm {K-\int \operatorname {d} T-V} }{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},$

on pourra faire

$(\xi ')={\frac {l}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},\quad (\xi '')={\frac {m}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},\quad (\xi ''')={\frac {n}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}},$

et l’on aura

${\frac {(d\mathrm {L} )}{dt}}={\frac {\mathrm {K-\int \operatorname {d} T-V} }{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\,;$

Ainsi la vitesse de rotation autour d’un axe fixe sera

${\frac {\mathrm {K-\int \operatorname {d} T-V} }{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\,;$

elle sera donc constante lorsque $\operatorname {d} \mathrm {T}$ sera égal à $0$ et que $\mathrm {V}$ sera constant.

Si les forces accélératrices dépendent de l’attraction d’un corps dont les coordonnées relativement au centre des coordonnées $a,\,b,\,c,$ et parallèlement aux axes des $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ soient $\mathrm {x,\,y,\,z} ,$ on aura

$\Pi ={\frac {1}{\sqrt {(\mathrm {x} -\xi )^{2}+(\mathrm {y} -\eta )^{2}+(\mathrm {z} -\zeta )^{2}}}},\quad \mathrm {V} =$_S$\Pi \operatorname {D} \mathrm {m} .$

Or

$\mathrm {x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}} ,\qquad \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=r^{2}\,;$

donc

$\Pi ={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {r} ^{2}+r^{2}-2\mathrm {\left(x\xi +y\eta +z\zeta \right)} }}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}+{\frac {\mathrm {x\xi +y\eta +z\zeta } -{\cfrac {r^{2}}{2}}}{\mathrm {r} ^{3}}}+{\frac {3}{2}}\mathrm {\frac {\left(x\xi +y\eta +z\zeta \right)^{2}}{r^{5}}} .$

Or

$\xi =a\xi '+b\xi ''+c\xi '''+\ldots \,;$

donc

$\mathrm {\left(x\xi +y\eta +z\zeta \right)} =a\mathrm {\left(x\xi '+y\eta '+z\zeta '\right)} +b\mathrm {\left(x\xi ''+y\eta ''+z\zeta ''\right)} +c\mathrm {\left(x\xi '''+y\eta '''+z\zeta '''\right)} .$

Soit

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {x} \xi '&+&\mathrm {y} \eta '&+&\mathrm {z} \zeta '&=&\lambda ,\\&\mathrm {x} \xi ''&+&\mathrm {y} \eta ''&+&\mathrm {z} \zeta ''&=&\mu ,\\&\mathrm {x} \xi '''&+&\mathrm {y} \eta '''&+&\mathrm {z} \zeta '''&=&\nu \,;\end{alignedat}}$

on aura

$\Pi ={\frac {1}{\mathrm {r} }}+{\frac {a\lambda +b\mu +c\nu }{\mathrm {r} ^{3}}}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2\mathrm {r} ^{3}}}+{\frac {3(a\lambda +b\mu +c\nu )^{2}}{2\mathrm {r} ^{5}}}$

et (en ne retenant que le dernier terme)

$\mathrm {V} ={\frac {3}{2\mathrm {r} ^{5}}}\mathrm {\left({\frac {B+C-A}{2}}\lambda ^{2}+{\frac {A+C-B}{2}}\mu ^{2}+{\frac {A+B-C}{2}}\nu ^{2}+2F\mu \nu +2G\lambda \nu +2H\lambda \mu \right)} .$

En n’ayant toujours égard qu’au dernier terme, on aura

${\begin{alignedat}{4}&b{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}&-&c{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}&=&{\frac {3(a\lambda +b\mu +c\nu )}{\mathrm {r} ^{5}}}(b\nu &-&c\mu ),\\&c{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}&-&a{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}&=&{\frac {3(a\lambda +b\mu +c\nu )}{\mathrm {r} ^{5}}}(c\lambda &-&a\nu ),\\&a{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}&-&b{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}&=&{\frac {3(a\lambda +b\mu +c\nu )}{\mathrm {r} ^{5}}}(a\mu &-&b\lambda ).\end{alignedat}}$

Donc ; multipliant par $\operatorname {D} \mathrm {m}$ et intégrant, on aura

_S$\left(b{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}-c{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}\right)\operatorname {D} \mathrm {m} ={\frac {3}{r^{5}}}\mathrm {\left[(C-B)\mu \nu +H\lambda \nu +F(\nu ^{2}-\mu ^{2})-G\mu \lambda \right]} ,$

_S$\left(c{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}-a{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}\right)\operatorname {D} \mathrm {m} ={\frac {3}{r^{5}}}\mathrm {\left[G(\lambda ^{2}-\nu ^{2})+F\lambda \mu +(A-C)\lambda \nu -H\mu \nu \right]} ,$

_S$\left(a{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}-b{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}\right)\operatorname {D} \mathrm {m} ={\frac {3}{r^{5}}}\mathrm {\left[(B-A)\lambda \mu +H(\mu ^{2}-\lambda ^{2})+G\mu \nu -F\lambda \nu \right]} .$

Il faudra donc ajouter ces termes aux trois équations (A), qui deviendront, par conséquent,

${\begin{alignedat}{5}&{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}}{dt}}&+&q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&-&r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&+&\mathrm {\frac {3\left[(C-B)\mu \nu +F\left(\nu ^{2}-\mu ^{2}\right)+H\lambda \nu -G\mu \lambda \right]}{r^{5}}} &=&0,\\&{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}}{dt}}&+&r{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&-&p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}&+&\mathrm {\frac {3\left[(A-C)\lambda \nu +G\left(\lambda ^{2}-\nu ^{2}\right)+F\lambda \mu -H\mu \nu \right]}{r^{5}}} &=&0,\\&{\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}}{dt}}&+&p{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}&-&q{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}&+&\mathrm {\frac {3\left[(B-A)\lambda \mu +H\left(\mu ^{2}-\nu ^{2}\right)+G\mu \nu -F\lambda \nu \right]}{r^{5}}} &=&0.\end{alignedat}}$

De là nous tirerons les équations suivantes

${\begin{alignedat}{5}&{\frac {d\left(\xi '{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\xi ''{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\xi '''{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)}{dt}}&+&(\mathrm {P} )\xi '&+&(\mathrm {Q} )\xi ''&+&(\mathrm {R} )\xi '''&=&0,\\&{\frac {d\left(\eta '{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\eta ''{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\eta '''{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)}{dt}}&+&(\mathrm {P} )\eta '&+&(\mathrm {Q} )\eta ''&+&(\mathrm {R} )\eta '''&=&0,\\&{\frac {d\left(\zeta '{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}+\zeta ''{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}+\zeta '''{\cfrac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}\right)}{dt}}&+&(\mathrm {P} )\zeta '&+&(\mathrm {Q} )\zeta ''&+&(\mathrm {R} )\zeta '''&=&0,\end{alignedat}}$

où $\mathrm {(P),\,(Q),\,(R)}$ désignent les parties des précédentes qui ne dépendent pas de $p,\,q,\,r.$

Faisons, pour abréger, $\mathrm {F} =0,\,\mathrm {G} =0,\,\mathrm {H} =0\,;$ négligeons de plus, dans les premiers membres, les différences de $\mathrm {A,\,B,\,C} \,;$ on aura alors

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p}}=\mathrm {A} p,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q}}=\mathrm {A} q,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial r}}=\mathrm {A} r,$

et nos équations deviendront

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {A} {\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {\frac {3\left[(C-B)\mu \nu \xi '+(A-C)\lambda \nu \xi ''+(B-A)\lambda \mu \xi '''\right]}{r^{5}}} &=&0,\\&\mathrm {A} {\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {\frac {3\left[(C-B)\mu \nu \eta '+(A-C)\lambda \nu \eta ''+(B-A)\lambda \mu \eta '''\right]}{r^{5}}} &=&0,\\&\mathrm {A} {\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {\frac {3\left[(C-B)\mu \nu \zeta '+(A-C)\lambda \nu \zeta ''+(B-A)\lambda \mu \zeta '''\right]}{r^{5}}} &=&0.\end{alignedat}}$

Faisant encore $\mathrm {A=B} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {A} {\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {{\frac {3}{r^{5}}}(C-A)(\zeta '''y-\eta '''z)\nu } &=&0,\\&\mathrm {A} {\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {{\frac {3}{r^{5}}}(C-A)(\xi '''z-\zeta '''x)\nu } &=&0,\\&\mathrm {A} {\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {{\frac {3}{r^{5}}}(C-A)(\eta '''x-\xi '''y)\nu } &=&0,\end{alignedat}}$