SECTION SEPTIÈME.
DE L’ÉQUILIBRE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES.
1. Soit une masse fluide
dont tous les points soient animés par des pesanteurs ou forces quelconques
dirigées suivant les lignes
on aura, suivant les dénominations de l’article 12 de la Section IV, pour la somme des moments de toutes ces forces, la formule intégrale
S![{\displaystyle (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )d\mathrm {m} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d67fc441d1cb7074451a5659e4b2b69acbd0de3)
laquelle devra être nulle en général pour qu’il y ait équilibre dans le fluide.
§ I. De l’équilibre d’un fluide dans un tuyau très étroit.
2. Supposons d’abord le fluide renfermé dans un canal ou tuyau infiniment étroit et de figure donnée et imaginons ce fluide divisé en tranches ou portions infiniment petites, dont la hauteur soit
et la largeur
on pourra prendre
à cause que la largeur
du tuyau est supposée infiniment petite,
étant l’élément de la courbe du tuyau. Or, en imaginant que le fluide reçoive un petit mouvement, et change infiniment peu de place dans le tuyau, soit
le petit espace que la tranche ou particule
parcourt dans le tuyau ; il est clair que
sera là quantité du fluide qui passera en même temps par chacune des sections
du canal. Donc, à cause de l’incompressibilité du fluide, il faudra que cette quantité soit partout la même ; de sorte que, faisant
la quantité
sera constante par rapport à la courbe du tuyau. On aura ainsi
et, par conséquent,
de sorte que la formule qui exprime la somme des moments des forces deviendra, en faisant sortir hors du signe intégral la quantité constante
S![{\displaystyle (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ){\frac {ds}{\delta s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e29b71f2102537f2efee9187a70283f261d415a)
Maintenant il est visible que, puisque
sont les variations des lignes
résultantes de la variation
ces variations doivent avoir entre elles les mêmes rapports que les différentielles
à cause de la figure du canal donnée ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\delta p}{\delta s}}={\frac {dp}{ds}},\qquad {\frac {\delta q}{\delta s}}={\frac {dq}{ds}},\qquad {\frac {\delta r}{\delta s}}={\frac {dr}{ds}},\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ad78fac8074e4cebd866ef89227a9257b8e407)
ce qui réduira la formule précédente à cette forme
S![{\displaystyle (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27009edfea9ece2e677f6ced0cf865240c4bcf73)
où les différentielles
se rapportent à la courbe du canal, et le signe S indique une intégrale prise par toute l’étendue du canal.
Faisant donc cette quantité égale à zéro, on aura l’équation
S![{\displaystyle (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bddd16494d51ca1bf99726480febf46a1345156)
laquelle contient la loi générale de l’équilibre d’un fluide renfermé dans un canal de figure quelconque.
3. Si, outre les forces
qui animent chaque point du fluide, il y avait de plus à l’une des extrémités, du canal une force extérieure
qui agît par le moyen d’un piston sur la surface du fluide et perpendiculairement aux parois du canal ; alors, dénotant par
le petit espace parcouru par la tranche du fluide qu’on suppose pressée par la force
tandis que les autres tranches parcourent les différents espaces
il faudra ajouter à la somme des moments des forces
le moment de la force
lequel sera représenté par
Or, si l’on nomme
la section du canal à l’endroit où agit la force
on aura
pour la quantité de fluide qui passe par la section
tandis que, par une autre section quelconque
il passe la quantité de fluide
Mais l’incompressibilitédu fluide demande que ces quantités soient partout les mêmes ; donc, ayant déjà supposé
on aura aussi
par conséquent
Donc la somme totale des moments des forces qui agissent sur le fluide sera représentée par la formule
S![{\displaystyle {\bigg .}(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ){\bigg ]}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d44847630397b62ceb01695b008ec7d1d612df0)
de sorte que l’équation de l’équilibre sera
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a3d3afd6d1471e2d42beb98c3f8183e575f9ea)
4. Il est évident que, dans l’état d’équilibre, la force
doit être contre-balancée par la pression du fluide sur le piston dont la largeur est
d’où il s’ensuit que cette pression sera égale à
et, par conséquent, égale à
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f24eb7d31f35508e2dbded385c98bc6ea95dc1d)
Donc, en général, la pression du fluide sur chaque point du piston sera exprimée par la formule intégrale
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f260e5eb242c3c1fcb6b2d0e897132b778b49504)
en prenant cette intégrale par toute la longueur du canal. Et cette pression sera aussi la même si, au lieu d’un piston mobile, on suppose un fond immobile qui ferme le canal d’un côté.
5. Si, à l’autre extrémité du canal, il y avait une autre force
agissante de même par le moyen d’un piston, on trouverait pareillement, en nommant
la section du canal dans cet endroit, l’équation
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89890ae3d762ae3a7c01394a01771bcdb8baa828)
pour l’équilibre du fluide.
6. Donc, si le fluide n’est pressé que par les deux forces extérieures
et
appliquées aux surfaces
et
il faudra, pour l’équilibre, que l’on ait
d’où l’on voit que les deux forces
et
doivent être de directions contraires, et en même temps réciproquement proportionnelles aux surfaces
sur lesquelles ces forces agissent, proposition qu’on regarde communément comme un principe d’expérience, ou du moins comme une suite du principe de l’égalité de pression en tout sens, dans lequel la plupart des auteurs d’Hydrostatique font consister la nature des fluides.
7. La connaissance des lois de l’équilibre d’un fluide renfermé dans un canal très étroit et de figure quelconque peut conduire à celle des lois de l’équilibre d’une masse quelconque de fluide renfermée dans un vase ou non.
Car il est évident que, si une masse fluide est en équilibre et qu’on imagine un canal quelconque qui la traverse, le fluide contenu dans ce canal sera aussi en équilibre de lui-même, c’est-à-dire indépendamment de tout le reste du fluide. On aura donc pour l’équilibre de ce canal, en faisant abstraction des forces extérieures (art. 2),
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a3d3afd6d1471e2d42beb98c3f8183e575f9ea)
Et, comme la figure du canal doit être indéterminée, l’équation précédente devra être indépendante de cette figure ; d’où l’on pourrait conclure tout de suite, comme Clairaut l’a fait dans sa Théorie de la figure de la Terre, que la quantité
doit être une différentielle exacte. Mais on peut arriver à cette conclusion par l’analyse même et trouver en même temps les relations qui doivent avoir-lieu entre les quantités
Pour cela, il n’y a qu’à faire varier l’intégrale
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb9d092a0e973380a91762588cffb08ea99d74)
par la méthode des variations et supposer sa variation nulle.
8. Dénotons en général par
la valeur de l’intégrale
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb9d092a0e973380a91762588cffb08ea99d74)
prise par toute la longueur du canal ; il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \delta \Psi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cb8ae4be66ecbd9692c6d1f2dd960444620397)
Or on a, par la différentiation,
S![{\displaystyle (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeb9d092a0e973380a91762588cffb08ea99d74)
S![{\displaystyle \delta (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a8aacea19456f7ff30ceda1a1d90c4adbe0717)
S![{\displaystyle (\mathrm {P} \delta \,dp+\mathrm {Q} \delta \,dq+\mathrm {R} \delta \,dr+\ldots +\delta \mathrm {P} dp+\delta \mathrm {Q} dq+\delta \mathrm {R} dr+\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57167ac69392c1268967c2b28f56f24a332b9111)
Changeants
en
et faisant ensuite disparaître le double signe
par des intégrations par parties, on aura
![{\displaystyle \delta \Psi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891373a1d5bbfbfabaee6c9011993672ebd22237)
S![{\displaystyle (\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341cad19bb43edf1f70244486dafc071902b707b)
où les termes qui sont hors du signe S se rapportent aux extrémités de l’intégrale représentée par ce signe et répondent, par conséquent, aux bouts du canal ; de sorte qu’en supposant ces bouts fixes, les variations
qui y répondent seront nulles, et les termes dont il s’agit s’évanouiront d’eux-mêmes.
Maintenant, comme les quantités
qui représentent les forces sont ou peuvent toujours être supposées des fonctions de
il est clair que la partie de
qui est affectée du signe S n’est plus susceptible de réduction ; donc, pour que l’on ait en général
il faudra que cette partie soit nulle d’elle-même et que, par conséquent, on ait pour chaque point de la masse fluide l’équation identique
![{\displaystyle \delta \mathrm {P} \,dp-d\mathrm {P} \,\delta p+\delta \mathrm {Q} \,dq-d\mathrm {Q} \,\delta q+\delta \mathrm {R} \,dr-d\mathrm {R} \,\delta r+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e3e26ee56634b58e7da48f0d9ae606f88d5bbb)
En regardant les expressions des forces
comme des fonctions quelconques de
on aura, suivant la notation reçue,
![{\displaystyle d\mathrm {P} ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}dr+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24a06eb2e9a3eef3b065eab7cae490fe250e77f)
de même
![{\displaystyle \delta \mathrm {P} ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial p}}\delta p+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}\delta r+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f815023e8eb9cd4ac89a47d37d147793c4ab1ffc)
et ainsi des autres différences. Substituant ces valeurs dans l’équation précédente et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&+\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}\right)(\delta q\,dp-dq\,\delta p)\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}\right)(\delta r\,dp-dr\,\delta p)\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\right)(\delta r\,dq-dr\,\delta q)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3758f6029deadc43fd2cb75dd3754b98d858d643)
et devra avoir lieu indépendamment des différences
![{\displaystyle \delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29009921e1308d95d00b5506e1b3162d06488244)
Donc, s’il n’y a aucune relation donnée entre les variables
il faudra faire séparément
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}=0,\\&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}=0,\\&{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a9eb0dd1f3af5d13bcab4827f89cb19cea4e8f9)
Ce sont les équations de condition connues pour l’intégrabilité de la formule
![{\displaystyle \mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ce56dd83d81d14088914e718ddabf1f411a541)
9. Lorsque les lignes
se rapportent à un point dans l’espace, comme dans le cas présent, elles ne peuvent dépendre que des trois coordonnées de ce point et les forces
peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordonnées (sect. V, art. 7). Ainsi, en prenant
pour ces coordonnées, soit rectangles ou non[1], et
pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il faudra que les quantités
regardées comme des fonctions de
satisfassent à ces trois équations
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}=0,\qquad {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}=0,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375449d64d6665f7e54aeab8531dedfd5a0b5e0e)
Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces
qui agissent sur tous ses points.
Au reste, on a fait abstraction jusqu’ici de la densité du fluide, ou plutôt on l’a regardée comme constante et égale à l’unité ; mais, si l’on voulait la supposer variable, alors, en nommant
la densité d’une particule quelconque
on aurait (art. 2)
![{\displaystyle d\mathrm {m} =\Gamma \omega \,ds\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3abdd68ffd8ca6602c7e67f386dfec3e8fbff15)
et les quantités
se trouveraient toutes multipliées par
Ainsi, l’on aura pour l’équilibre des fluides de densité variable les mêmes lois que pour l’équilibre des fluides de densité uniforme, en multipliant seulement les différentes forces par la densité du point sur lequel elles agissent, c’est-à-dire en écrivant simplement
à la place de ![{\displaystyle \mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9078b57a4436729cfada116ef935f890e96d1557)
§ II. — Où l’on déduit les lois générales de l’équilibre des fluides
incompressibles de la nature des particules qui les composent.
10. Nous allons maintenant chercher les lors de l’équilibre des fluides incompressibles, directement par notre formule générale, en regardant ces sortes de fluides comme formés d’un amas de particules mobiles en tout sens, et qui peuvent changer de figure, mais sans changer de volume.
Supposons, pour plus de simplicité, que toutes les forces qui agissent sur les particules du fluide soient réduites à trois, représentées par
et dirigées suivant les coordonnées rectangles
c’est-à-dire tendantes à diminuer ces coordonnées. Nous avons donné, dans le Chapitre I de la Section V, les formules générales de cette réduction.
Nommant
la masse d’une particule quelconque, on aura, pour la somme des moments des forces
la formule intégrale
S![{\displaystyle (\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)d\mathrm {m} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a0fdfacfe48f3c66077ae18e81e7fa99c0bdda)
or le volume de la particule
peut être représenté par
ainsi, en exprimant par
la densité, il est clair qu’on aura
![{\displaystyle dm=\Gamma dx\,dy\,dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9049eb680399222df447684cf6a435c9ea2e4671)
et le signe d’intégration S appartiendra à la fois aux trois variables ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
Il faudra, de plus, avoir égard à l’équation de condition résultante de l’incompressibilité du fluide, laquelle, étant supposée représentée par
![{\displaystyle \mathrm {L} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215ddd6bc718bbf9fe133136085450b161b50200)
donnera, en différentiant selon
multipliant par un coefficient indéterminé
et intégrant, la formule S
à ajouter à la précédente.
S’il n’y a point de forces extérieures qui agissent sur la surface du fluide, ni de conditions particulières à cette surface, on aura simplement, pour l’équation générale de l’équilibre (sect. IV, art. 13),
S
S![{\displaystyle \lambda \,\delta \mathrm {L} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba16ae960fb84515e4e29430407862c73034bc1e)
dans laquelle il faudra prendre les intégrales relativement à toute la masse du fluide.
11. La condition de l’incompressibilité consiste en ce que le volume de chaque particule soit invariable ; ainsi, ayant exprimé ce volume par
on aura
pour l’équation de condition ; par conséquent, on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} =dx\,dy\,dz-\mathrm {const} .,\qquad \delta \mathrm {L} =\delta (dx\,dy\,dz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d96f3eb38d7bbfcbb13769516175b94a90f7ec5)
Pour avoir la variation
il semble qu’il n’y aurait qu’a différentier simplement
selon
mais il y a ici une considération particulière à faire, et sans laquelle le calcul ne serait pas rigoureux. La quantité
n’exprime le volume d’une particule qu’autant qu’on suppose la figure de cette particule un parallélépipède rectangulaire dont les côtés sont parallèles aux axes des
cette supposition est très permise, puisqu’on peut imaginer le fluide partagé en éléments infiniment petits d’une figure quelconque. Or
doit exprimer la variation que souffre ce volume lorsque la particule change infiniment peu de situation, ses coordonnées
devenant
et il est clair que si, dans ce changement, la particule conservait la figure d’un parallélépipède rectangle, on aurait
![{\displaystyle \delta (dx\,dy\,dz)=dy\,dz\,\delta \,dx+dx\,dz\,\delta \,dy+dx\,dy\,\delta \,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cef24e027a8e2c04fad2e954a6ce53618758354)
Par les principes du calcul des variations, on peut changer les
en
mais il est nécessaire de remarquer que les variations
pouvant être regardées comme des fonctions indéterminées et infiniment petites de
pour que
représente la variation du côté
de la particule rectangulaire
lequel est formé par l’accroissement
que la coordonnée
reçoit tandis que les deux autres,
et
ne varient pas, il faut que, dans la différentiation de
la seule
soit censée variable ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d’écrire simplement
il faudra écrire
de même, et par un raisonnement semblable, on écrira
et
au lieu de
et
De cette manière, dans l’hypothèse que la particule
demeure rectangulaire après la variation, on aura
![{\displaystyle \delta (dx\,dy\,dz)=dx\,dy\,dz\left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08c5af4419664d92e788ed2a7f50e2dadad4e1e)
Il en serait encore de même si l’on supposait que la particule
devînt, par la variation, un parallélépipède dont les angles différassent infiniment peu de l’angle droit ; car on sait, par la Géométrie, que, si
sont les trois côtés d’un parallélépipède qui forment un angle solide, et
les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélépipède, est exprimée par la formule
![{\displaystyle abc{\sqrt {\left(1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49138fb3af3897dc956f292ec0ee8c23e0f2205f)
Or les côtés deviennent, par la variation,
![{\displaystyle dx\left(1+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}\right),\qquad dy\left(1+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}\right),\qquad dz\left(1+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d540c7b9657f90a77858293c0b4aa49fadc5305f)
et les cosinus de
deviennent infiniment petits ; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de
et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de
la même expression qu’on vient de trouver.
Mais, quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l’adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l’exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d’une manière rigoureuse, la variation de
en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d’un parallélépipède rectangulaire, et en supposant seulement, ce qui est exact dans l’infiniment petit, que ces côtés demeurent rectilignes.
12. Pour simplifier cette recherche, nous commencerons par ne considérer qu’une des faces du parallélépipède
par exemple la face
dont les quatre angles répondent à ces quatre systèmes de coordonnées,
(1)
|
|
|
(2)
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(3)
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(4)
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|
|
Supposons que les coordonnées
du premier système deviennent
et regardons les variations
comme des fonctions infiniment petites de
en faisant croître successivement les
de leurs différentielles
on trouvera ce que doivent devenir simultanément les coordonnées des trois autres systèmes. Ainsi, en marquant par les mêmes numéros les systèmes variés, on aura
(1)
|
|
|
(2)
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|
|
(3)
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|
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(4)
|
|
|
Comme ces quatre systèmes de coordonnées répondent aux quatre angles du nouveau quadrilatère dans lequel s’est changé le rectangle
il est clair qu’on aura les côtés de ce quadrilatère en prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées pour les deux angles adjacents à chaque côté. Ainsi, en marquant la droite qui joint deux angles par la réunion des deux numéros qui répondent à ces angles, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2)=&dx{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta y}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}\right)^{2}}},\\(1,3)=&dy{\sqrt {\left({\frac {\partial \delta x}{\partial y}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\right)^{2}}},\\(3,4)=&dx{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta y}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}\right)^{2}}},\\(2,4)=&dy{\sqrt {\left({\frac {\partial \delta x}{\partial y}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0035f38d54ae82e774641f03ce767c545f2c0d)
d’où l’on voit que les côtés opposés
sont égaux entre eux, ainsi que les côtés opposés
et que, par conséquent, le quadrilatère est un parallélogramme dont les deux côtés contigus
seront, en négligeant sous le signe les quantités du second ordre vis-à-vis de celles du premier,
![{\displaystyle (1,2)=dx\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right),\qquad (1,3)=dy\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b002423e08017f8722f9afa61209449cf1b70a0c)
13. À l’égard de l’angle compris par ces deux côtés, on le trouvera par le moyen de la diagonale
laquelle, en prenant de même la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées respectives des systèmes
et
devient
![{\displaystyle (2,3)={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}dx-{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}dy\right)^{2}+\left(dy+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}dy-{\frac {\partial \delta y}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}dx-{\frac {\partial \delta z}{\partial y}}dy\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d6495fba22fdcca7c262255849f16e86d98588)
Or, en nommant
l’angle dont il s’agit, le triangle formé par les trois côtés
donne
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {(1,2)^{2}+(1,3)^{2}-(2,3)^{2}}{2(1,2)\times (1,3)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fc3ec2c3bba8af5be9af90b8c02cf24581d5dc)
Substituant dans cette expression les valeurs trouvées de
effaçant les termes qui se détruisent et négligeant les infiniment petits du second ordre et des ordres supérieurs, on aura
![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a790bd867fc9fa362c79027e8b8d642a42d753bb)
où l’on voit que l’angle
ne diffère d’un angle droit que par des quantités infiniment petites, puisque son cosinus est infiniment petit.
14. Si l’on applique la même analyse aux deux autres faces
du rectangle
on trouvera que ces faces se changent aussi en parallélogrammes ; de sorte que les trois faces opposées seront aussi des parallélogrammes, comme on peut le démontrer facilement par la Géométrie. Par conséquent, le nouveau solide sera un parallélépipède dont les côtés qui forment un angle solide seront
![{\displaystyle dx\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right),\qquad dy\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right),\qquad dz\left(1+{\frac {\partial \delta z}{\partial z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153a012fbb578294d1d181baebfed538dedc06ec)
et nommant
les angles compris entre ces côtés, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha =&{\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial x}},\\\cos \beta =&{\frac {\partial \delta x}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta z}{\partial x}},\\\cos \gamma =&{\frac {\partial \delta y}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7eea7e5cf2abcbf30eb3b5faf851bebdcc8c3b)
d’où l’on peut conclure que la variation du parallélépipède rectangulaire
est rigoureusement exprimée par la formule donnée plus haut (art. 11).
15. On voit aussi par là que, si les variations
n’étaient fonctions respectivement que de
on aurait rigoureusement
![{\displaystyle \cos \alpha =0,\qquad \cos \beta =0,\qquad \cos \gamma =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b738bbc8c9674809464f39b56c0c4b9cbd639a)
de sorte que le parallélépipède rectangle
demeurerait rectangle après la variation. Or, comme le changement de forme de ce parallélépipède n’est qu’infiniment petit et n’influe point dans la valeur de sa solidité, il s’ensuit que, sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations
soient simplement fonctions de
de
et de
comme nous l’avons fait dans l’article 31 de la Section IV.
16. Ayant ainsi la vraie valeur de
on la prendra pour celle de
et l’on aura
![{\displaystyle \delta \mathrm {L} =dx\,dy\,dz\left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36b6636c7df22f72fe3a615e0509668c96fb848)
On substituera donc cette valeur dans l’équation générale de l’article 10, et mettant en même temps pour
sa valeur
on aura l’équation
S![{\displaystyle \left[\Gamma (\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)+\lambda \left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right)\right]dx\,dy\,dz=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eccecdea1631e4c33a36f3472b74f1a81a2c820e)
et il ne s’agira plus que d’y faire disparaître les doubles signes
par la méthode exposée dans le § II de la Section IV.
17. Considérons d’abord la quantité
S![{\displaystyle \lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\,dy\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc14647143f58bc2c7d381142771a79d4276759a)
où le signe S dénote une triple intégrale relative à
il est clair que, comme la différence de
n’est relative qu’à la variation de
il ne faudra aussi pour la faire disparaître qu’avoir égard à l’intégration relative à
c’est pourquoi on donnera d’abord à cette quantité la forme
S
S![{\displaystyle \lambda {\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d78f7e58f9380f352b1629a8d9217a17b6f99d)
ensuite on transformera l’intégrale simple
les quantités marquées d’un trait se rapportent au commencementde l’intégration, et celles qui en ont deux se rapportent aux points où elle finit, suivant la notation adoptée dans l’endroit cité. Ainsi la quantité dont il s’agit se trouvera changée en celle-ci
S
S
S![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta x\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ed9a4b203919672798ae303cd05fdd2c82a2d2)
ou, ce qui est la même chose,
S
S![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta x\,dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acdca7f626ce299fa781a16261c7772d3505a24a)
De la même manière et par un raisonnement semblable, on changera les quantités
S
S![{\displaystyle \lambda {\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}dx\,dy\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9303ec19bd23f8177f4c25d16924b677326e8467)
en celles-ci
S
S![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta y\,dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1359915218903de6ca4754d93928abfccafc11d5)
et
S
S![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta z\,dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ebd883bf69181b79f9d41f7c3244b0482ca4f2)
Faisant ces substitutions, on aura donc, pour l’équilibre de la masse fluide, cette équation générale
S![{\displaystyle \left[\left(\Gamma \mathrm {X} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\right)\delta x+\left(\Gamma \mathrm {Y} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)\delta y+\left(\Gamma \mathrm {Z} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\right)\delta z\right]dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4dcb89dc4c37c9f8664ff251380a8e74deecdd)
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4ddf2aa594de264aa16ba3cefd27c77a7f1e1d)
S
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68553e93414e3615de94a9355d030bdd7d5cf8d)
dans laquelle il n’y aura plus qu’à égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées
(sect. IV, art. 16).
18. On aura donc d’abord ces trois équations
![{\displaystyle \Gamma \mathrm {X} -{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,\qquad \Gamma \mathrm {Y} -{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=0,\qquad \Gamma \mathrm {Z} -{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df6721d587cfdf639a6e1161ad39c9b57836ecc)
lesquelles doivent avoir lieu pour tous les points de la masse fluide.
Ensuite, si le fluide est libre de tous côtés, les variations
qui se rapportent aux points de la surface du fluide, seront aussi indéterminées, et, par conséquent, il faudra encore égaler séparément à zéro leurs coefficients, ce qui donnera
c’est-à-dire en général
pour tous les points de la surface du fluide, et cette équation servira à déterminer la figure de cette surface.
Il en sera de même lorsque le fluide est renfermé dans un vase, pour la partie de la surface où le vase est ouvert ; mais, à l’égard de la partie qui est appuyée contre les parois, les variations
doivent avoir entre elles des rapports donnés par la figure de ces parois, puisque le fluide ne peut que couler le long des parois ; et nous démontrerons plus bas que, quelle que puisse être leur figure, les termes qui renferment les variations en question seront toujours nuls d’eux-mêmes ; de sorte qu’il n’y aura aucune condition relativement à cette partie de la surface du fluide.
19. Les trois équations qu’on vient de trouver pour les conditions de l’équilibre du fluide donnent
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=\Gamma \mathrm {X} ,\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=\Gamma \mathrm {Y} ,\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=\Gamma \mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dcd35219393d851c0a8ccee2e75b2cfa0cc7f4)
donc, puisque
![{\displaystyle d\lambda ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac00cc3d271a1ea882f116e906fa109621189cb)
on aura
![{\displaystyle d\lambda =\Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10aae0d0e40c222e3aacb08ae64bc700386906a1)
par conséquent, il faudra que la quantité
![{\displaystyle \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d31904ca75f55fc4e619efffed60655c3e11224)
soit une différentielle complète en
et cette condition renferme seule les lois de l’équilibre des fluides.
Si l’on élimine la quantité
des mêmes équations, on aura les suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma \mathrm {X} }{\partial y}}=&{\frac {\partial \Gamma \mathrm {Y} }{\partial x}},\\\\{\frac {\partial \Gamma \mathrm {X} }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Gamma \mathrm {Z} }{\partial x}},\\\\{\frac {\partial \Gamma \mathrm {X} }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Gamma \mathrm {Z} }{\partial y}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c55f0e76a31ebf58e738d81d07bcdbd3f4a26d5)
équations qui s’accordent avec celles de l’article 9.
Ces conditions sont donc nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre en vertu des forces
Lorsqu’elles ont lieu par la nature de ces forces, on est assuré que l’équilibre est possible, et il ne reste plus qu’à trouver la figure que la masse fluide doit prendre, pour être en équilibre, c’est-à-dire l’équation de la surface extérieure du fluide.
Nous avons vu, dans l’article précédent, qu’on doit avoir dans chaque point de cette surface
Donc, puisque
on aura, en intégrant,
![{\displaystyle \lambda =\int \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)+\mathrm {const.} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96b814af5ad142564a5c78d6c55523bdbfa4a32)
par conséquent, l’équation de la surface extérieure sera
![{\displaystyle \int \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f6b2b782456905c060dd792a5cb480a4acd3f4)
étant une constante quelconque ; et cette équation sera toujours en termes finis, puisque la quantité
est supposée une différentielle exacte.
20. La quantité
est toujours d’elle-même une différentielle exacte lorsque les forces
sont le résultat d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, puisqu’on a en général, par l’article 1 de la Section V,
![{\displaystyle \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4c9469dd20d2aed84dbe2252dcd6170db3d16c)
Nommant cette quantité
on aura alors
donc, pour que
soit une différentielle complète, il faudra que
soit une fonction de
Par conséquent,
sera aussi nécessairement une fonction de ![{\displaystyle \Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258cc515d57db2d995c29082014a55edfe602396)
On aura donc dans ce cas, qui est celui de la nature, pour la figure de la surface, l’équation
fonction de
![{\displaystyle \Pi =\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5af3ab551ca04d0698b1c08a84045cdc4ca8446)
savoir
égal à une constante, de même que si la densité du fluide était uniforme. De plus, puisque
est constante à la surface et que
est fonction de
il s’ensuit que la densité
doit être la même dans tous les points de la surface extérieure d’une masse fluide en équilibre.
Dans l’intérieur du fluide, la densité peut varier
’une manière quelconque, pourvu qu’elle soit toujours une fonction de
elle devra donc être constante partout où la valeur de
sera constante ; de sorte que
sera en général l’équation des couches de même densité,
étant une constante. Donc, différentiant, on aura
![{\displaystyle d\Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9941e86faf3222defd8a0b42323bcbbe5174a16)
pour l’équation générale de ces couches ; et il est visible que cette équation est celle des surfaces auxquelles la résultante des forces
est perpendiculaire et que Clairaut appelle surfaces de niveau. D’où il s’ensuit que la densité doit être uniforme dans chaque couche de niveau formée par deux surfaces de niveau infiniment voisines.
Cette loi doit donc avoir lieu dans la Terre et dans les planètes, supposé que ces corps aient été originairement fluides et qu’ils aient conservé, en se durcissant, la forme qu’ils avaient prise en vertu de l’attraction de leurs parties, combinée avec la force centrifuge.
21. À l’égard de la quantité
dont nous venons de déterminer la valeur, il est bon de remarquer que le terme S
de l’équation générale de l’article 10 représente la somme des moments d’autant de forces qui tendent à diminuer la valeur de la fonction
(sect. IV, art. 7) ; de sorte que, comme on a fait
(art. 11), on peut dire que la force
[2] tend à comprimer chaque particule
du fluide ; par conséquent, cette force n’est autre chose que la pression que cette particule du fluide souffre également de tous côtés et à laquelle elle résiste par son incompressibilité.
On a donc, en général, pour la pression dans chaque point de la masse fluide, l’expression
S![{\displaystyle \Gamma (\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085c5428febf27a769d4e10486881245ef4c469d)
et, comme la quantité sous le signe doit toujours être intégrable pour que le fluide soit en équilibre, il s’ensuit que la pression pourra toujours être exprimée par une fonction finie des coordonnées relatives à la particule qui éprouve cette pression ; proposition fondamentale de la théorie des fluides donnée par Euler[3].
22. Pour donner une application de l’équation
que nous avons trouvée pour représenter la surface d’une masse fluide en équilibre (art. 20), nous allons considérer l’équilibre de la mer, en supposant qu’elle recouvre la terre regardée comme un solide de figure elliptique et peu différent de la sphère, et que chacune de ses particules soit attirée à la fois par toutes les particules de la terre et de la mer, et soit animée en même temps de la force centrifuge provenant de la rotation uniforme de la Terre autour de son axe.
C’est ici le lieu d’employer les formules que nous avons données dans l’article 10 de la Section V. Nous avons désigné par
la valeur de la fonction
lorsque les forces sont le résultat des attractions de toutes les particules d’un corps de figure donnée, et nous avons donné l’expression de
pour le cas où l’attraction est en raison inverse du carré des distances et où le corps attirant est un sphéroïde elliptique peu différent de la sphère. En conservant les dénominations employées dans cet article et en s’arrêtant aux termes qui contiennent les secondes dimensions des excentricités
et
on a trouvé
![{\displaystyle \Sigma =-\mathrm {m} \left({\frac {1}{r}}-{\frac {e^{2}+i^{2}}{2.5r^{3}}}+3{\frac {e^{2}y^{2}+i^{2}z^{2}}{2.5r^{5}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6484a5af7648972abe650054e5f25d81981401)
où
sont les coordonnées rectangles du point attiré ;
est la distance de ce point au centre du sphéroïde, et
est la masse du sphéroïde égale à
étant les demi-axes du sphéroïde.
Si l’on dénote par
la densité du sphéroïde supposé homogène, il faudra multiplier cette expression de par
par
et si l’on suppose que le sphéroïde ait un autre sphéroïde pour noyau, dont la densité soit différente, il n’y aura qu’à y ajouter la valeur de
relative à ce nouveau sphéroïde, multipliée par la différence des densités. Ainsi, en marquant par un trait les quantités relatives au sphéroïde intérieur et supposant que sa densité soit
on aura, pour la valeur totale de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma =&-{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{r}}+{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5r^{3}}}\\&-3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5r^{5}}}y^{2}-3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5r^{5}}}z^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ff9ba09b474d6ccf82398993fbbb4224f1962e)
23. Supposons que le point attiré par le sphéroïde soit en même temps sollicité par trois forces représentées par
et
dirigées suivant les coordonnées
et
et tendantes à les augmenter, on aura
et
pour leurs moments, et il en résultera les termes
à ajouter à la quantité
pour avoir la valeur de
due à toutes les forces qui agissent sur le même point. Ainsi l’équation de l’équilibre sera
![{\displaystyle \Sigma -{\frac {fx^{2}+gy^{2}+hz^{2}}{2}}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce6bbeb78710dc8fcfd343aa5098a1f12ed77a5)
24. Pour appliquer maintenant ces formules à la question dont il s’agit, on supposera que le sphéroïde extérieur est la mer, dont la densité est
et que le noyau intérieur est la terre, ayant la densité
et l’on placera le point attiré à la surface de la mer, en faisant coïncider les coordonnées
de ce point avec les coordonnées
de la surface du sphéroïde extérieur. On aura alors, pour que cette surface soit en équilibre, l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{r}}-{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5r^{3}}}+{\frac {fx^{2}}{2}}\\&\qquad +\left(3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5r^{5}}}+{\frac {g}{2}}\right)y^{2}\\&\qquad +\left(3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5r^{5}}}+{\frac {h}{2}}\right)z^{2}\\&\quad =\mathrm {const} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c17e625ddec7b15bbb356b18d9e634d3f2316f)
Cette équation, dans laquelle
donne la figure de la surface mais nous avons supposé dans les formules de l’article 10 de la Section V que cette surface est représentée par l’équation
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mathrm {C} ^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f36cb6bd6b234be591034b0a3d79235968542c)
en prenant ici
au lieu de
donc il faudra que ces deux équations coïncident.
Tirons de celle-ci la valeur de
en
et
et, pour cela, substituons dans
pour
sa valeur
on aura, en mettant pour
et
les valeurs
(article cité),
![{\displaystyle r^{2}=\mathrm {A} ^{2}+{\frac {e^{2}y^{2}}{\mathrm {A} ^{2}+e^{2}}}+{\frac {i^{2}z^{2}}{\mathrm {A} ^{2}+i^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4e96f01cf97efbfb5349dcc35885152a46dbb9)
d’où l’on tire, en rejetant les puissances de
et
supérieures à
et
auxquelles nous n’avons point égard ici,
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {e^{2}y^{2}+i^{2}z^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d3d474b8e3db0f2c21bc9c836a0d7c7b2a262a)
On substituera donc cette valeur de
ainsi que celle de
dans la première équation, et rejetant toujours les termes qui contiendraient
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} '}{\mathrm {A} }}-{\frac {\Gamma \mathrm {m} \left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma '\mathrm {m} '\left(e'^{2}+i'^{2}\right)}{2.5\mathrm {A} ^{3}}}+{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2}}\\&\qquad +\left[3{\frac {\Gamma \mathrm {m} e^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+{\frac {g}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {B} ^{2}}}-{\frac {(\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} ')e^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}\right]y^{2}\\&\qquad +\left[3{\frac {\Gamma \mathrm {m} i^{2}+\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}\ +{\frac {h}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {C} ^{2}}}-{\frac {(\Gamma \mathrm {m} +\Gamma '\mathrm {m} ')i^{2}}{2\mathrm {A} ^{5}}}\right]z^{2}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c4049320c36c2fccfb2b936d398135282da7ea)
Cette équation devant être identique, il faudra que les coefficients des quantités variables
et
soient nuls, ce qui donnera les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3\Gamma '\mathrm {m} 'e'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}-{\frac {2\Gamma \mathrm {m} +5\Gamma '\mathrm {m} '}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+\ {\frac {g}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {B} ^{2}}}=&0,\\{\frac {3\Gamma '\mathrm {m} 'i'^{2}}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}-{\frac {2\Gamma \mathrm {m} +5\Gamma '\mathrm {m} '}{2.5\mathrm {A} ^{5}}}+{\frac {h}{2}}-{\frac {f\mathrm {A} ^{2}}{2\mathrm {C} ^{2}}}=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e40926164115dbf30f5e1c496014b38a8bc19a)
qui serviront à déterminer les deux excentricités
et
de la surface elliptique de la mer.,
25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle à sa distance de l’axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc, si l’on prend l’axe
qui est aussi l’axe des coordonnées
pour l’axe de rotation, et que
soit la force centrifuge à la distance
de l’axe, on aura
pour la force centrifuge d’un point quelconque du sphéroïde, en faisant
cette force, étant dirigée suivant la ligne
et tendant à l’augmenter, donnera le moment
dont l’intégrale
savoir
devra être ajoutée à la quantité
pour avoir égard à l’effet de la force centrifuge. Ainsi on aura les conditions de l’équilibre de la mer, en vertu de l’attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la Terre, et de la force centrifuge due à la rotation de la Terre, en faisant dans les deux équations précédentes
Puisque les deux constantes
et
sont égales, on voit, par ces équations, que, si les excentricités
et
de la Terre sont égales, on aura aussi les deux excentricités
et
de la figure de la mer égales entre elles ; de sorte que, si la Terre est un sphéroïde de révolution, la mer né le sera pas non plus, et les deux équations dont il s’agit donneront les valeurs de ses deux excentricités
qui seront différentes des excentricités
et
de la Terre.
26. Au reste, cette solution n’est exacte qu’aux quantités
près ; et si l’on voulait avoir égard, dans les valeurs de
et de
aux termes qui contiendraient des puissances supérieures de ces quantités, il ne serait plus possible de vérifier en général l’équation
![{\displaystyle \Sigma -{\frac {\mathrm {f} \left(y^{2}+z^{2}\right)}{2\mathrm {A} }}=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a0ee22680fe880c18ed212c9bcb61002467de5)
pour la surface d’équilibre ; d’où il faudrait conclure que cette surface n’a point rigoureusement la figure d’un sphéroïde elliptique.
Je dis en général, parce que, dans le cas où le sphéroïde est homogène et sans noyau intérieur d’une densité différente, on a trouvé que les attractions sur un point quelconque de la surface, suivant les trois coordonnées
sont représentées exactement par les formules
![{\displaystyle \mathrm {mL} x,\qquad \mathrm {mM} y,\qquad \mathrm {mN} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5bc4daa3e501afe7bc7e9c165547ee4df6f9b92)
où
sont des fonctions de
données par des intégrales définies ; d’où l’on déduit pour
cette expression rigoureuse
![{\displaystyle \Sigma ={\frac {\mathrm {m} }{2}}\left(\mathrm {L} x^{2}+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} z^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb26fc1cd6eda8575a95111bf9e11254ff0d46e5)
Ainsi, l’équation de l’équilibre
étant de la même forme que l’équation du sphéroïde
on peut, cause de la constante arbitraire, les rendre identiques par ces deux conditions
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {mM-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{B^{2}}},\qquad {\frac {mN-f}{mL}}={\frac {A^{2}}{C^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc197c7ca0aca8a1780a351f0b087b2a0734a81e)
lesquelles donnent
![{\displaystyle \mathrm {B=C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87c9db40fa163e0cc6eba95f93303d5007ece07)
parce que les quantités
![{\displaystyle \mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ec92b986053ec4967f418634cf062b9d980f9a)
et
![{\displaystyle \mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91302c621d1e18627cb635f8bd86852ab4b800b)
sont
[4] des fonctions semblables de
![{\displaystyle \mathrm {B,\,C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e78bab51fdec6b4599a72154b6c9df8d7934d08)
et de
![{\displaystyle \mathrm {C,\,B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b261b44d817e79ef02ff16617239af941d3545d)
elles se réduisent ainsi à une seule, qui sert à déterminer le rapport de
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
à
Ce cas est, jusqu’à présent, le seul pour lequel on ait trouvé une solution rigoureuse qu’on doit à Maclaurin ; de sorte que le problème de la figure de la Terre, envisagé physiquement, n’est résolu exactement qu’en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent, en faisant
![{\displaystyle \Gamma =1,\qquad \Gamma '=0,\qquad g=h=\mathrm {\frac {f}{A}} \qquad {\text{et}}\qquad e=i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276932285c8dd530ea4993b3d3d23211206cd9b3)
celle-ci :
![{\displaystyle {\frac {2\mathrm {m} e^{2}}{5\mathrm {A} ^{4}}}-\mathrm {f} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57d39f2086b8219e3b70fb10170148dfb2fcdc3)
Si l’on compare la force centrifuge à la gravité prise pour l’unité, laquelle est, aux quantités
près,
il n’y aura qu’à faire
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {2e^{2}}{5\mathrm {A} ^{2}}}=\mathrm {f} =2\mathrm {\frac {B^{2}-A^{2}}{5A^{2}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c9929b0d85ea76fe87b87d1cd632e0f917df40)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {\frac {B}{A}} ={\sqrt {1+{\frac {5\mathrm {f} }{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdf8d6d196a93cad0ff4c2cf7b46cbaa48a305b)
Or on a
donc
à très-peu près, comme on le sait depuis longtemps.
§ III. — De l’équilibre d’une masse fluide avec un solide qu’elle recouvre.
27. Les lois particulières de l’équilibre d’un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quelconques, dépendent des termes de l’équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles.
Ces termes donnent cette équation aux limites
S![{\displaystyle \lambda ''(\delta x''dy\,dz+\delta y''dx\,dz+\delta z''dx\,dy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5971d2c79de3e99f10fb70bf99bed39f1b594c0)
S![{\displaystyle \lambda '\ (\delta x'\ dy\,dz+\delta y'\ dx\,dz+\delta z'\ dx\,dy)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9355eaad0b3fd73c8f58669b0713b7f563ea53a)
laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contigu au solide.
28. Considérons d’abord le cas d’une masse fluide dont la surface extérieure est libre, et qui environne un noyau solide fixe de figure quelconque.
En prenant l’origine des coordonnées dans un point de l’intérieur du noyau, les quantités marquées d’un trait se rapporteront à la surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rapporteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi l’on aura d’abord, pour tous les points de cette surface, l’équation
laquelle donne, comme on l’a déjà vu plus haut (art. 19),
S![{\displaystyle \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09bb9a54dcecae480a2d4653cddb3f9f65ab59d)
pour la figure de cette surface.
Il ne restera donc à vérifier que l’équation
S![{\displaystyle \lambda '(\delta x'dy\,dz+\delta y'dx\,dz+\delta z'dx\,dy)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a7193730a82f5e1da2bb5ac4f16f063592bcf5)
dont tous les termes se rapportent à la surface du noyau.
29. Comme l’intégration de ces termes est relative aux coordonnées dont les différentielles entrent dans l’expression des éléments superficiels
il faut commencer par réduire ces éléments à une même forme ; ce qu’on peut obtenir en les rapportant à l’élément de la surface auquel ils répondent.
Désignons par
l’élément de la surface qui répond à l’élément
du plan des
et nommons
l’angle que le plan tangent fait avec le même plan des
on aura, par la propriété connue des plans,
et l’intégrale S
deviendra S
laquelle devra s’étendre à tous les points de la surface du fluide.
De même, si
est l’élément de la surface qui répond à l’élément
du plan des
et qu’on nomme
l’angle que le plan tangent fait avec ce même plan des
on aura
et l’intégrale S
deviendra S
laquelle devra s’étendre également pour toute la surface du fluide.
30. Je remarque maintenant que, quoique les deux éléments
et
de la surface puissent n’être pas égaux entre eux, néanmoins, comme les deux intégrales qui renferment ces éléments se rapportent à la même surface, rien n’empêche d’employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du Calcul différentiel, la valeur absolue des éléments est arbitraire et n’influe point sur celle de l’intégrale. Ainsi l’on pourra changer l’intégrale S
en S
Par le même raisonnement, l’intégrale S
pourra se mettre sous la forme S
en nommant
l’angle que le plan tangent fait avec le plan des
D’ailleurs, il est évident qu’on peut toujours prendre les éléments
tels qu’ils satisfassent aux conditions
![{\displaystyle dx\,dy=\cos \gamma 'ds^{2},\qquad dx\,dz=\cos \beta 'ds^{2},\qquad dy\,dz=\cos \alpha 'ds^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4567c7c644cb2716fbcdeec1f413a7adfaaae5e)
lesquelles donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}dx=&ds{\sqrt {\frac {\cos \beta '\cos \gamma '}{\cos \alpha '}}},\\dy=&ds{\sqrt {\frac {\cos \alpha '\cos \gamma '}{\cos \beta '}}},\\dz=&ds{\sqrt {\frac {\cos \alpha '\cos \beta '}{\cos \gamma '}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3c70681822634ed738f5314115b15940c48883)
Par ces transformations l’équation aux limites deviendra enfin
S![{\displaystyle \lambda '(\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z')ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7ab0e77cfb65a1c154ae15f0b2fed5c987d0a7)
l’intégrale devant s’étendre sur toute la surface du fluide contigu au noyau.
31. Supposons que la figure de cette surface soit représentée par l’équation différentielle
![{\displaystyle \mathrm {A} dx'+\mathrm {B} dy'+\mathrm {C} dz'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb3e3385c8affb90a65452ab2664b3d8a1cdf0a)
En nommant
les angles que le plan tangent fait avec les plans des
des
et des
on a, par la théorie des surfaces,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha '=&\mathrm {\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\\\cos \beta '=&\mathrm {\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} ,\\\cos \gamma '=&\mathrm {\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93122f930965cafc8c22475296e16f958aeab364)
Donc l’équation de l’article précédent, relative à la surface, deviendra
S![{\displaystyle \left[\lambda '{\frac {\mathrm {A} \delta x'+\mathrm {B} \delta y'+\mathrm {C} \delta z'}{\mathrm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} }}\right]ds^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1c57252ace01806c8622df4a4ce8f28be125de)
Comme cette surface est donnée de figure et de position, les variations
des coordonnées des particules qui y sont contiguës doivent avoir entre elles une relation dépendante de l’équation de la même surface ; ainsi, ayant supposé cette équation
![{\displaystyle \mathrm {A} dx'+\mathrm {B} dy'+\mathrm {C} dz'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf8d38a34bb1a713378afff229529b99baea4f2)
on aura aussi nécessairement
![{\displaystyle \mathrm {A} \delta x'+\mathrm {B} \delta y'+\mathrm {C} \delta z'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6b34589f7c82a2e8c385fc690f9a5bcc98654)
ce qui satisfait à l’équation aux limites de l’article précédent, sans qu’il en résulte aucune nouvelle équation.
32. Soit
une ligne perpendiculaire à la surface dans le point auquel répondent les variations
et terminée à un point fixe. Puisque
est l’angle que le plan tangent fait avec le plan des
ce sera aussi l’angle que la perpendiculaire
à ce plan fait avec l’axe des
qui est perpendiculaire au même plan des
De même,
sera l’angle de cette perpendiculaire avec l’axe des
et
sera l’angle de la même perpendiculaire avec l’axe des
Donc, quelles que soient les variations
on aura, en général, par l’article 7 de la Section II, en changeant
en
![{\displaystyle \delta p'=\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fdbe7e73c234b1c3775161b45d520a79ee2d11)
et l’équation de l’article 30, relative à la surface du fluide, pourra se mettre sous la forme
S![{\displaystyle \lambda '\delta p'ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1c0bf4b1dbb6530504ece0b8d6f0f31d5c53c4)
où l’on voit que chaque élément
de cette intégrale représente le moment d’une force
appliquée à l’élément
de la surface et dirigée suivant la perpendiculaire
à cette surface, de sorte que l’intégrale S
représentera la somme des moments de toutes les forces
appliquées à chaque point de la surface et agissant perpendiculairement à cette surface.
Cette force égale à
est évidemment la pression exercée par le fluide sur la surface du noyau, et qui est détruite par la résistance du noyau. Mais on peut, en général, réduire à la forme S
tous les termes de l’équation aux limites qui se rapportent à la surface du fluide, soit que cette surface soit libre ou non ; et il est évident que la pression
doit être nulle dans tous les points où la surface est libre ; ce que nous avons déjà trouvé d’une autre manière (art. 18).
33. Si le noyau recouvert par le fluide était mobile, alors il faudrait augmenter les variations
des variations dépendantes du changement de position du noyau.
Pour distinguer ces différentes variations, nous désignerons par
les variations dues simplement au déplacement des particules du fluide, relativement au noyau regardé comme fixe, et nous dénoterons par
les variations qui dépendent du déplacement du noyau. Celles-ci sont exprimées par les formules suivantes, que nous avons trouvées dans l’article 60 de la Section V :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta \xi =&\delta l&+&z\delta \mathrm {M} &-&y\delta \mathrm {N} ,\\\delta \eta =&\delta m&-&z\delta \mathrm {L} &+&x\delta \mathrm {N} ,\\\delta \zeta =&\delta n&+&y\delta \mathrm {L} &-&x\delta \mathrm {M} .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b5a8a926db8ed2e4a016add62da55f346df9d8)
Ainsi, dans l’équation générale de l’article 17, il faudra mettre
à la place de
et ensuite égaler à zéro les termes affectés des variations
ainsi que ceux qui se trouveront affectés des nouvelles variations
après les avoir fait sortir hors des signes S, puisque ces variations sont les mêmes pour toutes les particules du fluide.
On voit d’abord que l’introduction des variations
n’apporte aucun changement aux équations qui doivent avoir lieu pour tous les points du fluide, et qui résultent des termes affectés d’une triple intégration, parce qu’en égalant à zéro les coefficients de
dans ces termes, les variations
disparaissent en même temps. D’où il suit que les lois générales de l’équilibre contenues dans les formules de l’article 19 sont indépendantes de l’état comme de la figure du noyau.
34. Il n’y a donc à considérer que l’équation aux limites, que nous avons réduite, dans l’article 30, à la forme
S![{\displaystyle \lambda '(\cos \alpha '\delta x'+\cos \beta '\delta y'+\cos \gamma '\delta z')ds^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d1f70a07bca38cbf94d12bb0c4e676c8a1ee14)
En y substituant pour
les valeurs
marquées d’un trait, pour les rapporter à la surface du fluide contiguë au noyau, elle devient
S![{\displaystyle \lambda '(\cos \alpha \,\delta \mathrm {x} '+\cos \beta \,\delta \mathrm {y} '+\cos \gamma \,\delta \mathrm {z} ')ds^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a12088ff92ca17da8a6438297c1eb0315ac932)
S![{\displaystyle \lambda '(\cos \alpha \,\delta \xi '+\cos \beta \,\delta \eta '+\cos \gamma \,\delta \zeta ')ds^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1c2b8ee1716993b53343d38feeb4f4beba9773)
La partie qui contient les variations
![{\displaystyle \delta \mathrm {x',\,\delta y',\,\delta z'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a616cd10537ab9cbaf5af41c19b35b8128e058c4)
est nulle d’elle-même, comme nous l’avons démontré dans l’article 31. L’autre partie du premier membre de l’équation devra donc aussi être nulle. On y substituera les valeurs de
![{\displaystyle \delta \xi ',\,\delta \eta ',\,\delta \zeta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba4da70c90511e26535588dc66cb387f22e9965)
et l’on égalera ensuite séparément à zéro les quantités multipliées par
![{\displaystyle \mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e7730abac9402ec24631fbd39fe7d610f03dd5)
on aura ces six équations
S
S
S![{\displaystyle \lambda '\cos \gamma ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98aaa08ae9435a7bf17523bce13c0d477dbbdeb7)
S![{\displaystyle \lambda '(y'\cos \gamma -z'\cos \beta )ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0852bc70a106d798c9a1e28105d7d1fa5b86ea02)
S![{\displaystyle \lambda '(z'\cos \alpha -x'\cos \gamma )ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82c4db46e09c42b8671e81e06d1ca7b59b6964e)
S![{\displaystyle \lambda '(x'\cos \beta -y'\cos \alpha )ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d293de83ba12356d8fde6d6fe21aa1e014c7bc8)
qui seront nécessaires pour l’équilibre complet du fluide et du solide.
Ces équations répondent à celles de l’article 62 de la Section V, en substituant
pour
et
pour
En effet,
étant la force de pression qui agit perpendiculairement sur la surface du noyau solide,
seront les forces qui en résultent, suivant les directions des coordonnées
et il faudra que le solide soit en équilibre, chacun des points de sa surface étant sollicité par ces mêmes forces.
35. Mais, lorsqu’un fluide est supporté par un solide de figure donnée, et que l’un et l’autre sont sollicités par des forces quelconques, il est plus simple de tirer directement la solution du problème de l’équation fondamentale de l’article 16, en y substituant immédiatement, pour
leurs valeurs complètes
(art. 33).
Les variations
étant indépendantes des autres variations
donneront une équation semblable à celle de l’article 17 et fourniront les mêmes résultats pour l’équilibre du fluide que dans le cas où le solide est supposé fixe.
À l’égard des autres variations,
il est d’abord aisé de voir qu’elles ne donnent rien dans les valeurs des différences partielles
puisque les variations
sont censées indépendantes de
Ainsi il suffira de substituer
à la place de
dans la formule
S![{\displaystyle (\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)\Gamma dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f48514b833dd70240154085a6537332100ce28f)
et d’égaler séparément à zéro les quantités multipliées par chacune des six variations
après les avoir fait sortir hors du signe S. Il est visible qu’on aura de cette manière les mêmes équations qu’on a trouvées dans la Section V (Chap. IV), pour l’équilibre d’un corps solide dont chaque particule
qui est ici
est animée par des forces quelconques
de sorte que l’on a, pour l’équilibre d’un fluide sur un noyau mobile, les mêmes équations que si le fluide devenait solide.
36. Il résulte de ces deux manières d’envisager les variations que la pression du fluide sur la surface du noyau équivaut à l’action de toutes les forces qui sollicitent chaque particule du fluide, en supposant que le fluide soit considéré comme solide et que le noyau soit augmenté de toute la masse du fluide devenu solide.
Comme ce théorème de Statique est important, nous croyons devoir montrer d’une manière plus directe comment il se déduit de nos formules.
Tout se réduit à démontrer que l’équation
S![{\displaystyle (\mathrm {X} d\xi +\mathrm {Y} d\eta +\mathrm {Z} d\zeta )\Gamma dx\,dy\,dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec91c6a23e1cc1da89a40b8c800bd237cd0f0fa4)
donne les mêmes résultats que l’équation aux limites
S![{\displaystyle \lambda '(\delta \xi 'dy\,dz+\delta \eta 'dx\,dz+\delta \zeta 'dx\,dy)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1803d2f69a8839fdd85332ae01be49ed84db6536)
Par les conditions de l’équilibre du fluide, on a (art. 19)
![{\displaystyle \Gamma \mathrm {X} ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad \Gamma \mathrm {Y} ={\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\qquad \Gamma \mathrm {Z} ={\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28e5849638f43a1c6fa17a65ff5ae1dc8a50c12)
et, comme les valeurs de
![{\displaystyle \delta \xi ,\,\delta \eta ,\,\delta \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c8e09657d90a3b223f1a587d884054ed9ba6cb)
(
art. 33) sont respectivement indépendantes de
![{\displaystyle x,\,y,\,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a954a4e524cf8dc15d97377d697c223922ddbb9)
on aura aussi
![{\displaystyle \Gamma \mathrm {X} \delta \xi ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta \xi ,\quad \Gamma \mathrm {Y} \delta \eta ={\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta \eta ,\quad \Gamma \mathrm {Z} \delta \zeta ={\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta \zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113ea0491b1ed9e522dc96f5b4a1ad8ce0ec12e1)
ainsi la première équation deviendra
S![{\displaystyle \left({\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\delta \xi +{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\delta \eta +{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}\delta \zeta \right)dx\,dy\,dz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52ca9f7c23bf5e9b214c77491421dcbe4eae439)
Le premier terme sous le signe est intégrable par rapport à
le deuxième par rapport à
le troisième par rapport à
donc, si l’on exécute ces intégrations partielles, comme on l’a fait dans l’article 17, il en résulte l’équation aux limites
S![{\displaystyle \lambda ''(\delta \xi ''dy\,dz+\delta \eta ''dx\,dz+\delta \zeta ''dx\,dy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15d6b85ebbff5c8fed65fd0f7de875834e083e1)
S![{\displaystyle \lambda '\ (\delta \xi '\ dy\,dz+\delta \eta '\ dx\,dz+\delta \zeta '\ dx\,dy)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b42a3c8b0e534c50af24a6c81be26dc1f1d533)
Mais on a (art. 23)
![{\displaystyle \lambda ''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff51a9eb5928add6db4df17f65f99732fe59989)
à cause que la surface extérieure du fluide est supposée libre ; donc il ne restera que l’équation
S![{\displaystyle \lambda '(\delta \xi 'dy\,dz+\delta \eta 'dx\,dz+\delta \zeta 'dx\,dy)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1803d2f69a8839fdd85332ae01be49ed84db6536)
Ainsi les deux équations reviennent exactement au même.
37. Puisque, relativement aux variations dépendantes du déplacement du noyau, on peut regarder le fluide qui le recouvre comme s’il ne faisait qu’une masse solide avec lui, lorsque tous les points du noyau seront aussi sollicités par des forces quelconques, il n’y aura qu’à tenir compte de ces forces, comme de celles qui sollicitent les particules du fluide, et appliquer à l’équilibre de la masse composée du fluide et du solide, comme si elle ne formait qu’un solide continu, les solutions données dans le Chapitre IV de la Section V.
§ IV. — De L’équilibre des fluides incompressibles contenus
dans des vases.
38. L’équation générale aux limites de l’article 27 doit se vérifier pour tous les points des parois du vase dans lequel le fluide est renfermé.
Mettons cette équation sous la forme
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4ddf2aa594de264aa16ba3cefd27c77a7f1e1d)
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')dx\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca551967cec4cb235f496b0a85cc091b0c4d58a0)
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68553e93414e3615de94a9355d030bdd7d5cf8d)
et considérons d’abord les termes S
dans lesquels
et
sont les variations de l’ordonnée
en tant qu’elle se rapporte aux deux points de la surface du fluide qui répondent aux mêmes coordonnées
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Il est évident que les variations
tendent à faire sortir les particules de la surface hors de la masse fluide, et que les variations
en les supposant toutes deux positives, tendent à faire rentrer dans cette masse les particules de la surface opposée ; de sorte qu’en donnant à celle-ci le signe négatif, les variations
et
tendront également à faire sortir hors de la masse fluide les particules de la surface ; et la double intégrale
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d66cdda7aa171e127764af017763221d8f1471)
représentera la somme de toutes les quantités
qui répondent à tous les points de la surface du fluide et dans lesquelles les variations
seront censées avoir la même tendance du dedans de la masse fluide au dehors ainsi, avec cette condition, nous pouvons donner à cette intégrale cette forme plus simple S![{\displaystyle \lambda \,\delta z\,dx\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70966f696927840bd3ade7214627eb12fd62ca7a)
De la même manière et avec les mêmes conditions, on pourra ramener les deux autres intégrales doubles
S
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4ddf2aa594de264aa16ba3cefd27c77a7f1e1d)
à la forme S
S![{\displaystyle \lambda \delta x\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e574e0c8f2564a4e8b5a9eb49924394efc7b2a6b)
Ainsi l’équation aux limites dont il s’agit pourra se mettre sous cette forme
S
S
S![{\displaystyle \lambda \,\delta z\,dy\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d2be124c81ef56131d3f5ca43097b505a9e294)
qu’on peut encore réduire, par l’analyse de l’article 33, à celle-ci
S![{\displaystyle \lambda (\cos \alpha \,\delta x+\cos \beta \,\delta y+\cos \gamma \,\delta z)ds^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcda1765441e2eac4659353f777328e87e30536)
dans laquelle
sont les angles que le plan tangent à la surface, dans le point qui répond aux coordonnées
fait avec les trois plans des
des
et des
L’intégration de cette équation devra s’étendre à toute la surface du fluide ; et les variations
seront censées toutes dirigées du dedans de la masse fluide au dehors.
39. Dans les points où la surface est libre, les variations
demeurant indéterminées, on ne peut satisfaire à l’équation qu’en faisant
ce qui donnera la figure de cette surface, comme nous l’avons vu dans l’article 18.
Pour tous les autres points de la surface où le fluide est contigu aux parois du vase, si l’on marque d’un trait les quantités qui s’y rapportent, on aura, relativement à ces parois, la même équation qu’on a trouvée par rapport à la surface du noyau recouvert d’un fluide (art. 30). Ainsi, toutes les conclusions qu’on a tirées de cette équation, depuis l’article qu’on vient de citer jusqu’à la fin du paragraphe précédent, peuvent s’appliquer aux parois du vase dans lequel le fluide est renfermé, quelle que soit sa figure, et soit qu’il demeure fixe, ou qu’il doive être en équilibre par la pression du fluide et par l’action des forces étrangères qui le tirent dans des directions quelconques.