Mécanique analytique/Partie 2/Section 11

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 273-322).

SECTION ONZIÈME.

DU MOUVEMENT DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES.

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1. On pourrait déduire immédiatement les lois du mouvement de ces fluides de celles de leur équilibre, que nous avons trouvées dans la Section VII de la première Partie ; car, par le principe général exposé dans la Section II, il ne faut qu’ajouter aux forces accélératrices actuelles les nouvelles forces accélératrices ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ dirigées suivant les coordonnées rectangles $x,\,y,\,z.$

Ainsi, comme, dans les formules de l’article 10 et suivants de la Section VII citée, on a supposé toutes les forces accélératrices du fluide déjà réduites à trois, $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ dans la direction des coordonnées $x,\,y,\,z,$ il n’y aura, pour appliquer ces formules au mouvement des fluides, qu’à y substituer

$\mathrm {X} +{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Y} +{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Z} +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$

au lieu de $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$ Mais nous croyons qu’il est plus conforme à l’objet de cet Ouvrage d’appliquer directement aux fluides les équations générales données dans la Section IV pour le mouvement d’un système quelconque de corps.

§ I. — Équations générales pour le mouvement des fluides incompressibles.

2. On peut considérer un fluide incompressible comme composé d’une infinité de particules qui se meuvent librement entre elles sans changer de volume ; ainsi la question rentre dans le cas de l’article 17 de la Section citée ci-dessus.

Soient donc $\operatorname {D} m$ la masse d’une particule ou élément quelconque du fluide ; $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ les forces accélératrices qui agissent sur cet élément, réduites, pour plus de simplicité, aux directions des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ et tendantes à diminuer ces coordonnées ;

$\mathrm {L} =0$

l’équation de condition résultante de l’incompressibilité ou de l’invariabilité du volume $\operatorname {D} m\,;$ $\lambda$ une quantité indéterminée, et _S une caractéristique intégrale correspondante à la caractéristique différentielle $\operatorname {D}$ et relative à toute la masse du fluide ; on aura, pour le mouvement du fluide, cette équation générale (Sect. IV)

_S$\left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)\delta x+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)\delta y+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)\delta z\right]\operatorname {D} m+$_S$\lambda \delta \mathrm {L} =0.$

Il faut maintenant substituer dans cette équation les valeurs de $\operatorname {D} m$ et de $\delta \mathrm {L} ,$ et, après avoir fait disparaître les différences des variations, s’il y en a, égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées $\delta x,\delta y,$ $\delta z.$

Retenons la caractéristique $\operatorname {D}$ pour représenter les différences relatives à la situation instantanée des particules contiguës, tandis que la caractéristique $d$ se rapportera uniquement au changement de position de la même particule dans l’espace ; il est clair qu’on peut représenter le volume de la particule $\operatorname {D} m$ par le parallélépipède $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z\,;$ ainsi, en nommant $\Delta$ la densité de cette particule, on aura

$\operatorname {D} m=\Delta \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z.$

De plus, il est visible que la condition de l’incompressibilité sera contenue dans l’équation

$\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z=\mathrm {const} .\,;$

de sorte qu’on aura

$\mathrm {L} =\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z-\mathrm {const} .,$

et par conséquent

$\delta \mathrm {L} =\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z).$

Pour déterminer cette différentielle, il faut employer les mêmes consi-

dérations que dans l’article 11 de la Section VII de la première Partie ; ainsi, en changeant $d$ en $\operatorname {D}$ dans les formules de cet endroit, on aura

$\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z\left({\frac {\operatorname {D} \delta x}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} \delta y}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} \delta z}{\operatorname {D} z}}\right).$

Cette quantité étant multipliée par $\lambda$ et intégrée relativement à toute la masse du fluide, on aura la valeur de _S$\lambda \delta \mathrm {L} ,$ dans laquelle il faudra faire disparaître les doubles signes $\operatorname {D} \delta$ par les mêmes procédés déjà employés dans l’article 17 de la Section citée. On aura ainsi

_S$\lambda \delta \mathrm {L} =-$_S$\left({\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\delta z\right)\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$

$+$_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')\operatorname {D} y\operatorname {D} z+$_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')\operatorname {D} x\operatorname {D} z$

$+$_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')\operatorname {D} x\operatorname {D} y.$

Faisant donc ces substitutions dans le premier membre de l’équation générale, elle contiendra premièrement cette formule intégrale totale

(a)                     _S$\left\{{\begin{aligned}&\left(\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {X} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\right)\delta x\\+&\left(\Delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {Y} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\right)\delta y\\+&\left(\Delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {Z} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\right)\delta z\end{aligned}}\right\}\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$

dans laquelle il faudra faire séparément égaux à zéro les coefficients des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ ce qui donnera ces trois équations indéfinies, pour tous les points de la masse fluide,

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)-{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}=&0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)-{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}=&0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)-{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}=&0.\end{aligned}}\right.$

Il restera ensuite à faire disparaître les intégrales partielles

_S$(\lambda ''\delta x''-\lambda '\delta x')\operatorname {D} y\operatorname {D} z+$_S$(\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')\operatorname {D} x\operatorname {D} z+$_S$(\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')\operatorname {D} x\operatorname {D} y,$

lesquelles ne se rapportent qu’à la surface extérieure du fluide ; et l’on en conclura, comme dans l’article 18 de la Section VII citée, que la valeur de $\lambda$ devra être nulle pour tous les points de la surface où le fluide est libre ; on prouvera de plus, comme dans l’article 31 de la même Section, que, relativement aux endroits où le fluide sera contenu par des parois fixes, les termes des intégrales précédentes se détruiront mutuellement, en sorte qu’il n’en résultera aucune équation ; et, en général, on démontrera, par un raisonnement semblable à celui des articles 32, 38, 39, que la quantité $\lambda ,$ rapportée à la surface du fluide, $y$ exprimera la pression que le fluide y exerce, et qui, lorsqu’elle n’est pas nulle, doit être contre-balancée par la résistance ou l’action des parois.

3. Les équations qu’on vient de trouver renferment donc les lois générales du mouvement des fluides incompressibles ; mais il y faut joindre encore l’équation même qui résulte de la condition de l’incompressibilité du volume $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$ pendant que le fluide se meut : cette équation sera donc représentée par

$d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=0,$

de sorte qu’en changeant \delta en $d$ dans l’expression \delta(\operatorname Dx\operatorname Dy\operatorname Dz) trouvée ci-dessus, et égalant à zéro, on aura

(B)

${\frac {\operatorname {D} dx}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} dy}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} dz}{\operatorname {D} z}}=0.$

Cette équation, combinée avec les trois équations (A) de l’article précédent, servira donc à déterminer les quatre inconnues $x,\,y,\,z$ et $\lambda .$

4. Pour avoir une idée nette de la nature de ces équations, il faut considérer que les variables $x,\,y,\,z$ qui déterminent la position d’une particule dans un instant quelconque doivent appartenir à la fois à toutes les particules dont la masse fluide est composée ; elles doivent donc être des fonctions du temps $t$ et des valeurs que ces mêmes variables ont eues au commencement du mouvement, ou dans un autre instant donné. Nommant donc $a,\,b,\,c$ les valeurs de $x,\,y,\,z$ lorsque $t$ égale zéro, il faudra que les valeurs complètes de $x,\,y,\,z$ soient des fonctions de $a,\,b,\,c,\,t.$ De cette manière, les différences marquées par la caractéristique $\operatorname {D}$ se rapporteront uniquement à la variabilité de $a,\,b,\,c\,;$ et les différences marquées par l’autre caractéristique $d$ se rapporteront simplement à la variabilité de $t.$ Mais comme, dans les équations trouvées, il y a des différences relatives aux variables mêmes $x,\,y,\,z,$ il faudra réduire celles-ci aux différences relatives à $a,\,b,\,c,$ ce qui est toujours possible ; car on n’a qu’à concevoir qu’on ait substitué dans les fonctions, avant la différentiation, les valeurs mêmes de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c.$

5. En regardant donc les variables $x,\,y,\,z$ comme des fonctions de $a,\,b,\,c,\,t,$ et représentant les différentielles selon la notation ordinaire des différences partielles, on aura

${\begin{aligned}\operatorname {D} x=&{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,\\\operatorname {D} y=&{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc,\\\operatorname {D} z=&{\frac {\partial z}{\partial a}}da+{\frac {\partial z}{\partial b}}db+{\frac {\partial z}{\partial c}}dc\,;\end{aligned}}$

et, regardant en même temps la fonction $\lambda$ comme une fonction de $x,\,y,\,z$ et comme une fonction de $a,\,b,\,c,$ on aura

$\operatorname {D} \lambda ={\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\operatorname {D} x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\operatorname {D} y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\operatorname {D} z={\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial a}}da+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial b}}db+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial c}}dc\,;$

ces deux expressions de $\operatorname {D} \lambda$ devant être identiques, si l’on substitue dans la première les valeurs de $\operatorname {D} x,\operatorname {D} y,\operatorname {D} z$ en $da,\,db,\,dc,$ il faudra que les coefficients de $da,\,db,\,dc$ soient les mêmes de part et d’autre,

ce qui fournira trois équations qui serviront à déterminer les valeurs de ${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}$ en ${\frac {\partial \lambda }{\partial a}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial b}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}\,;$ ce sera la même chose si l’on substitue dans la seconde expression de $\operatorname {D} \lambda$ les valeurs de $da,\,db,\,dc$ en $\operatorname {D} x,\,\operatorname {D} y,\,\operatorname {D} z$ tirées des expressions de ces dernières quantités ; alors la comparaison des termes affectés de $\operatorname {D} x,\operatorname {D} y,\operatorname {D} z$ donnera immédiatement les valeurs de ${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\ldots .$

Or, par les règles ordinaires de l’élimination, on a

${\begin{aligned}da=&{\frac {\alpha \operatorname {D} x+\alpha '\operatorname {D} y+\alpha ''\operatorname {D} z}{\theta }},\\db=&{\frac {\beta \operatorname {D} x+\beta '\operatorname {D} y+\beta ''\operatorname {D} z}{\theta }},\\dc=&{\frac {\gamma \operatorname {D} x+\gamma '\operatorname {D} y+\gamma ''\operatorname {D} z}{\theta }},\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{alignedat}{3}\alpha \ \,=&{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}},\quad &\beta \ \,=&{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}},\quad &\gamma \ \,=&{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}},\\\alpha '\ =&{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}},&\beta '\ =&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}},&\gamma '\ =&{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}},\\\alpha ''=&{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}},&\beta ''=&{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}},&\gamma ''=&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}},\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}\theta =&+{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}\\&+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}\\&+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}.\end{aligned}}$

Faisant donc ces substitutions dans l’expression

${\frac {\partial \lambda }{\partial a}}da+{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}db+{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}dc,$

et comparant ensuite avec l’expression identique

${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\operatorname {D} x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\operatorname {D} y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\operatorname {D} z,$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}=&{\frac {\alpha }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}=&{\frac {\alpha '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}=&{\frac {\alpha ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\end{aligned}}$

Ainsi, substituant ces valeurs dans les trois équations (A) de l’article 2, elles deviendront de cette forme, après avoir multiplié par $\theta ,$

(C)

$\left\{{\begin{aligned}&\theta \Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)-a\ \,{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+\beta \ \,{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+\gamma \ \,{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\&\theta \Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)-a'\ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+\beta '\ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+\gamma '\ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\&\theta \Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)-a''{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+\beta ''{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+\gamma ''{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\end{aligned}}\right.$

où il n’y a, comme l’on voit, que des différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\,t.$

Dans ces équations, là quantité $\Delta$ qui exprime la densité est une fonction donnée de $a,\,b,\,c$ sans $t,$ puisqu’elle doit demeurer invariable pour chaque particule ; et si le fluide est homogène, $\Delta$ sera alors une constante indépendante de $a,\,b,\,c,\,t.$ Quant aux quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ qui représentent les forces accélératrices, elles seront le plus souvent données en fonctions de $x,\,y,\,z,\,t.$

6. Mais on peut réduire les équations précédentes à une forme plus simple, en ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement et successivement par ${\frac {\partial x}{\partial a}},\,{\frac {\partial y}{\partial a}},\,{\frac {\partial z}{\partial a}},$ par ${\frac {\partial x}{\partial b}},\,{\frac {\partial y}{\partial b}},\,{\frac {\partial z}{\partial b}}$ et par ${\frac {\partial x}{\partial c}},\,{\frac {\partial y}{\partial c}},\,{\frac {\partial z}{\partial c}}\,;$ car, d’après les expressions de $\theta ,\,\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\,\beta ',\ldots$ données ci-dessus, il est aisé de voir qu’on aura

$\theta =\alpha {\frac {\partial x}{\partial a}}+\alpha '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\alpha ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=\beta {\frac {\partial x}{\partial b}}+\beta '{\frac {\partial y}{\partial b}}+\beta ''{\frac {\partial z}{\partial b}}=\gamma {\frac {\partial x}{\partial c}}+\gamma '{\frac {\partial y}{\partial c}}+\gamma ''{\frac {\partial z}{\partial c}}\,;$

ensuite

${\begin{aligned}\beta {\frac {\partial x}{\partial a}}+\beta '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\beta ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,\\\gamma {\frac {\partial x}{\partial a}}+\gamma '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\gamma ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,\\\alpha {\frac {\partial x}{\partial a}}+\alpha '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\alpha ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte que, par ces opérations et ces réductions, on aura les transformées

(D)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial a}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial a}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial a}}\right]&-{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}=0,\\\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial b}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial b}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial b}}\right]&-{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=0,\\\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial c}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial c}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial c}}\right]&-{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}=0.\end{aligned}}\right.$

^[1] On aurait pu parvenir directement à ces dernières équations, en introduisant dans les formules de l’article 2, au lieu des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ celles des coordonnées de l’état initial, $\delta a,\delta b,\delta c\,;$ car, en regardant $x,\,y,\,z$ comme fonctions de $a,\,b,\,c,$ on aura

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\partial x}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial x}{\partial b}}\delta b+{\frac {\partial x}{\partial c}}\delta c,\\\delta y=&{\frac {\partial y}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial y}{\partial b}}\delta b+{\frac {\partial y}{\partial c}}\delta c,\\\delta z=&{\frac {\partial z}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial z}{\partial b}}\delta b+{\frac {\partial z}{\partial c}}\delta c.\end{aligned}}$

On fera ces substitutions dans la formule (a) de l’article 2, et l’on égalera à zéro les quantités multipliées par $\delta a,\,\delta b,\,\delta c.$

En observant que, $\lambda$ étant fonction de $x,\,y,\,z,$ on a, par rapport à $a,\,b,\,c,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}=&{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}{\frac {\partial z}{\partial a}},\\{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=&{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}{\frac {\partial x}{\partial b}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}{\frac {\partial y}{\partial b}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}{\frac {\partial z}{\partial b}},\\{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}=&{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}{\frac {\partial x}{\partial c}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}{\frac {\partial y}{\partial c}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}{\frac {\partial z}{\partial c}},\end{aligned}}$

on aura tout de suite les équations dont il s’agit, lesquelles, dans le cas où $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ est une différentielle complète représentée par $d\mathrm {V} ,$ peuvent se mettre sous cette forme plus simple

${\begin{aligned}\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}=0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial b}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial b}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial c}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial c}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}=0.\end{aligned}}$

7. On transformera, d’une manière semblable, l’équation (B) de l’article 3 ; et, pour cela, comme, d’après la remarque de l’article 4, les différentielle $dx,\,dy,\,dz$ ne sont relatives qu’à la variable $t,$ on les réduira d’abord aux différences partielles ${\frac {\partial x}{\partial t}}dt,\,{\frac {\partial y}{\partial t}}dt,\,{\frac {\partial z}{\partial t}}dt\,;$ en sorte que l’équation dont il s’agit, étant divisée par $dt,$ sera de la forme

${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial y}{\partial t}}}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial z}{\partial t}}}{\operatorname {D} z}}=0.$

Or, par les formes trouvées ci-dessus pour les valeurs de ${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}},\ldots ,$ on aura pareillement, en substituant ${\frac {\partial x}{\partial t}},\,{\frac {\partial y}{\partial t}},\ \ldots$ à la place de $\lambda ,$

${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}={\frac {\alpha }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\beta }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial b}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\gamma }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial c}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\,;$

et comme, dans le second membre de cette équation, la quantité $x$ est regardée comme une fonction de $a,\,b,\,c,\,t,$ on aura

${\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}},$

et ainsi des autres différences partielles de $x\,;$ de sorte qu’on aura simplement

${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}={\frac {\alpha }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}}+{\frac {\beta }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial b\partial t}}+{\frac {\gamma }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial c\partial t}}.$

On trouvera des expressions semblables pour les valeurs de ${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial y}{\partial t}}}{\operatorname {D} y}}$ et ${\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial z}{\partial t}}}{\operatorname {D} z}},$ et il n’y aura pour cela qu’échanger, dans la formule précédente, $x$ en $y$ et $z.$

Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, après y avoir effacé le dénominateur commun $\theta ,$

${\begin{aligned}&\alpha \ \ {\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}}+\beta \ \ {\frac {\partial ^{2}x}{\partial b\partial t}}+\gamma \ \,{\frac {\partial ^{2}x}{\partial c\partial t}}\\+&\alpha '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial a\partial t}}+\beta '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial b\partial t}}+\gamma '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial c\partial t}}\\+&\alpha ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial a\partial t}}+\beta ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial b\partial t}}+\gamma ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial c\partial t}}=0.\end{aligned}}$

Le premier membre de cette équation n’est autre chose que la valeur de ${\frac {\partial \theta }{\partial t}},$ comme on peut s’en assurer par la différentiation actuelle de l’expression de $\theta$ (art. 5).

Ainsi l’équation devient

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=0,$

dont l’intégrale est

$\theta =\operatorname {fonct.} (a,b,c).$

Supposons, dans cette équation, $t=0,$ et soit $\mathrm {K}$ ce que devient alors la quantité $\theta ,$ on aura $\mathrm {K} =\operatorname {fonct.} (a,b,c)\,:$ par conséquent, l’équation sera

$\theta =\mathrm {K} .$

Or nous avons supposé que, lorsque $t=0,$ on a

$x=a,\qquad y=b,\qquad z=c\,;$

donc on aura aussi alors

${\begin{alignedat}{3}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&1,\qquad &{\frac {\partial x}{\partial b}}=&0,\qquad &{\frac {\partial x}{\partial c}}=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial y}{\partial b}}=&1,&{\frac {\partial y}{\partial c}}=&0,\\{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial z}{\partial b}}=&0,&{\frac {\partial z}{\partial c}}=&1.\end{alignedat}}$

Ces valeurs étant substituées dans l’expression de $\theta$ (art. 5), on a $\theta =1\,;$ donc $\mathrm {K} =1.$

Donc, remettant pour $\theta$ sa valeur dans l’équation dont il s’agit, elle sera de la forme

(E)

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}=1.$

Cette équation, combinée avec les trois équations (C) ou (D) des \piticles 5 et 6, servira donc à déterminer les valeurs de $\lambda ,\,x,\,y,\,z$ en fonctions de $a,\,b,\,c,\,t.$

Cette équation peut aussi se trouver d’une manière plus simple, sans passer par l’équation différentielle (B) de l’article 3. En effet, l’équation (B) exprime seulement que la variation du volume $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$ de la particule $\operatorname {D} m$ est nulle, tandis que le temps $t$ varie ; de sorte que la valeur de $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$ doit être constante et égale à la valeur primitive $dadbdc.$ Or nous avons donné dans l’article 5 les expressions de $\operatorname {D} x,\operatorname {D} y,\operatorname {D} z,$ en $da,\,db,\,dc\,;$ mais il faut remarquer que, dans la formule $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$ la différence $\operatorname {D} z$ doit être prise en y regardant $x$ et $y$ comme constantes ; que, de même, la différence $\operatorname {D} y$ doit être prise en regardant $x$ et $z$ comme constantes, et qu’enfin la différence $\operatorname {D} x$ suppose $y$ et $z$ constantes, ce qui est évident en considérant le parallélépipède rectangle représenté par $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z.$

Supposons donc d’abord $x$ et $y$ constantes, et, par conséquent, $\operatorname {D} x$ et $\operatorname {D} y$ nuls ; on aura les deux équations

${\begin{aligned}{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc=&0\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$da={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}-{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc,\qquad db={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}-{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc\,;$

ces valeurs, substituées dans l’expression de $\operatorname {D} z,$ donneront

$\operatorname {D} z={\cfrac {{\cfrac {\partial z}{\partial a}}\left({\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}-{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}\right)+{\cfrac {\partial z}{\partial b}}\left({\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}-{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}\right)+{\cfrac {\partial z}{\partial c}}\left({\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}\right)}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc.$

Pour avoir de même la valeur de $\operatorname {D} y,$ on supposera $\operatorname {D} x=0$ et $\operatorname {D} z=0,$ ce qui donne

$dc=0,\qquad {\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db=0\,;$

d’où l’on tire

$da=-{\frac {\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial x}{\partial a}}}db,$

et cette valeur ainsi que celle de $dc$ égale à $0,$ étant substituées dans l’expression de $\operatorname {D} y,$ donneront

$\operatorname {D} y={\cfrac {{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}}{\cfrac {\partial x}{\partial a}}}db.$

Enfin, pour avoir la valeur de $\operatorname {D} x,$ on fera $\operatorname {D} y=0,\ \operatorname {D} z=0,$ ce qui donne

$db=0,\quad dc=0,$

et par conséquent,

$\operatorname {D} x={\frac {\partial x}{\partial a}}da.$

Multipliant ensemble ces valeurs de $\operatorname {D} x,\,\operatorname {D} y,\,\operatorname {D} z,$ on aura

$\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z=$

$\left[{\frac {\partial z}{\partial a}}\left({\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}\right)+{\frac {\partial z}{\partial b}}\left({\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}\right)+{\frac {\partial z}{\partial c}}\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial b}}\right)\right]da\,db\,dc.$

Faisant donc $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z=dadbdc,$ on aura tout de suite l’équation (E).

Il est bon de remarquer que cette valeur de $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$ est celle qu’on doit employer dans les intégrales triples relatives à $x,\,y,\,z,$ lorsqu’on veut y substituer, à la place des variables $x,\,y,\,z,$ des fonctions données d’autres variables $a,\,b,\,c.$

8. Comme les équations dont il s’agit sont à différences partielles, l’intégration y introduira nécessairement différentes fonctions arbitraires et la détermination de ces fonctions devra se déduire en partie de l’état initial du fluide, lequel doit être supposé donné, et en partie de la considération de la surface extérieure du fluide, qui est aussi donnée si le fluide est renfermé dans un vase, et qui doit être représentée par l’équation $\lambda =0$ lorsque le fluide est libre (art. 2).

En effet, dans le premier cas, si l’on représente par $\mathrm {A} =0$ l’équation des parois du vase, $\mathrm {A}$ étant une fonction donnée des coordonnées $x,\,y,\,z$ de ces parois et du temps $t,$ si les parois sont mobiles ou d’une forme variable, en y mettant pour ces variables leurs valeurs en $a,\,b,\,c,\,t,$ on aura une équation entre les coordonnées initiales $a,\,b,\,c$ et le temps $t,$ laquelle représentera, par conséquent, la surface que formaient dans l’état initial les mêmes particules qui, après le temps $t,$ forment la surface représentée par l’équation donnée $\mathrm {A} =0.$ Si donc on veut que les mêmes particules qui sont une fois à la surface y demeurent toujours et ne se meuvent que le long de cette surface, condition qui paraît nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, et qui est reçue généralement dans la théorie des fluides, il faudra que l’équation dont il s’agit ne contienne point le temps $t\,;$ par conséquent, la fonction $\mathrm {A}$ de $x,\,y,\,z$ devra être telle, que $t$ y disparaisse après la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,\,t.$

Par la même raison, l’équation $\lambda =0$ de la surface libre ne devra point contenir $t\,;$ ainsi la valeur de $\lambda$ devra être une simple fonction de $a,\,b,\,c,$ sans $t.$

Au reste, il y a des cas, dans le mouvement d’un fluide qui s’écoule d’un vase, où la condition dont il s’agit ne doit pas avoir lieu ; alors les déterminations qui résultent de cette condition ne sont plus nécessaires.

9. Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer directement le mouvement d’un fluide quelconque incompressible. Mais ces équations sont sous une forme un peu compliquée, et il est possible de les réduire à une plus simple, en prenant pour inconnues, à la place des coordonnées $x,\,y,\,z,$ les vitesses ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ dans la direction des coordonnées, et en regardant, ces vitesses comme des fonctions de $x,\,y,\,z,\,t.$

En effet, d’un côté, il est clair que, puisque $x,y,z$ sont fonctions de $a,\,b,\,c\,,t,$ les quantités ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ seront aussi fonctions des mêmes variables $a,\,b,\,c,\,t\,;$ donc, si l’on conçoit qu’on substitue dans ces fonctions les valeurs de $a,\,b,\,c$ en $x,\,y,\,z$ tirées de celles de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,$ on aura ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ exprimées en fonctions de $x,\,y,\,z$ et $t.$

D’un autre côté, il est clair que, pour la connaissance actuelle du mouvement du fluide, il suffit de connaître à chaque instant le mouvement d’une particule quelconque qui occupe un lieu donné dans l’espace, sans qu’il soit nécessaire de savoir les états précédents de cette particule ; par conséquent, il suffit d’avoir les valeurs des vitesses ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ en fonctions de $x,\,y,\,z,\,t.$

D’ailleurs, ces valeurs étant connues, si on les nomme $p,\,q,\,r,$ on aura les équations

$dx=p\,dt,\qquad dy=q\,dt,\qquad dz=r\,dt,$

entre $x,\,y,\,z,\,t,$ lesquelles, étant ensuite intégrées de manière que $x,\,y,\,z$ deviennent $a,\,b,\,c$ lorsque $t=0,$ donneront les valeurs mêmes de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,\,t.$

Au reste, si l’on chasse $dt$ de ces équations différentielles, on aura ces deux-ci

$p\,dy=q\,dx,\qquad p\,dz=r\,dx,$

lesquelles expriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut à chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d’un instant à l’autre.

10. Reprenons donc les équations fondamentales (A) et (B) des articles 2 et 3, et introduisons-y les variables

$p={\frac {dx}{dt}},\qquad q={\frac {dy}{dt}},\qquad r={\frac {dz}{dt}},$

regardées comme des fonctions de $x,y,z,t.$

Il est clair que les quantités ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\,{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}$ peuvent être mises sous la forme ${\frac {d{\cfrac {dx}{dt}}}{dt}},\,{\frac {d{\cfrac {dy}{dt}}}{dt}},\,{\frac {d{\cfrac {dz}{dt}}}{dt}},$ où les quantités ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ sont censées des fonctions de $a,\,b,\,c,\,t.$

En les regardant donc comme telles, on aura, pour la différence de ${\frac {dx}{dt}},$

${\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial a}}da+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial b}}db+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial c}}dc,$

et ainsi des autres ; mais en les regardant comme fonctions de $x,\,y,\,z,\,t,$ et les désignant par $p,\,q,\,r,$ leurs différences complètes seront

${\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz,$

et ainsi des autres différence ; donc, si dans ces dernières expressions on met pour $dx,\,dy,\,dz$ leurs valeurs en $a,\,b,\,c,\,t,$ il faudra qu’elles deviennent identiques avec les premières ; mais, $x$ étant regardé comme fonction de $a,\,b,\,c,\,t,$ on a

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,$

où ${\frac {\partial x}{\partial t}}$ est évidemment $p,$ en supposant qu’on mette dans $p$ les valeurs de $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,\,t.$

Ainsi l’on aura

$dx=p\,dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+\ldots \,;$

et, de même,

$dy=q\,dt+{\frac {\partial y}{\partial a}}da+\ldots ,\quad dz=r\,dt+{\frac {\partial z}{\partial a}}da+\ldots .$

Substituant ces valeurs dans l’expression de la différence complète de ${\frac {dx}{dt}},$ les termes affectés de $dt$ seront

$\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dt,$

lesquels devant être identiques avec le terme correspondant ${\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}dt,$ ou bien ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}dt,$ on aura

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\,;$

et l’on trouvera de la même manière

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&{\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}},\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&{\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}.\end{aligned}}$

On fera donc ces substitutions dans les équations (A) ; et comme dans ces mêmes équations les termes ${\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}$ représentent des différencies partielles de $\lambda$ relativement à $x,\,y,\,z,$ en supposant $t$ constant, on y pourra changer la caractéristique $\operatorname {D}$ en $d.$

On aura ainsi les transformées

(F)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)&-{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)&-{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)&-{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0.\end{aligned}}\right.$

À l’égard de l’équation (B) de l’article 3, dans laquelle les différences marquées par $d$ sont relatives à $t\,;$ et celles qui sont marquées par $\operatorname {D}$ sont relatives à $x,\,y,\,z,$ il n’y aura qu’à y mettre à la place de $dx,\,dy,\,dz$ leurs valeurs $p\,dt,q\,dt,r\,dt\,;$ et, changeant la caractéristique $\operatorname {D}$ en $\delta ,$ puisque la caractéristique est indifférente dans les différences partielles, on aura sur-le-champ, à cause de $dt$ constant,

(G)

${\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0.$

On voit que ces équations sont beaucoup plus simples que les équations (C) ou (D) et (E) auxquelles elles répondent ; ainsi il convient de les employer de préféreiice dans la théorie des fluides.

Ces quatre équations (F) et (G) donneront $p,\,q,\,r$ et $\lambda$ en fonctions de $x,\,y,\,z$ et de $t,$ regardé comme constant dans leur intégration. Et si l’on voulait ensuite avoir les valeurs de $x,\,y,\,z$ en fonctions de $t$ et des coordonnées primitives $a,\,b,\,c,$ comme dans la première solution, il n’y aurait qu’à intégrer les équations

$dx=p\,dt,\qquad dy=q\,dt,\qquad dz=r\,dt,$

en y introduisant comme constantes arbitraires les valeurs initiales $a,\,b,\,c$ de $x,\,y,\,z.$

11. Dans les fluides homogènes et de densité uniforme, la quantité $\Delta$ qui exprime la densité est tout à fait constante ; c’est le cas le plus ordinaire, et le seul que nous examinerons dans la suite.

Mais, dans les fluides hétérogènes, cette quantité doit être une fonction constante relativement au temps $t$ pour la même particule, mais variable d’une particule à l’autre, selon une loi donnée. Ainsi, en considérant le fluide dans l’état initial où les coordonnées $x,\,y,\,z$ sont $a,\,b,\,c,$ la quantité $\Delta$ sera une fonction donnée et connue de $a,\,b,\,c\,;$ donc, si l’on regarde comme fonction de $x,\,y,\,z$ et $t,$ il faudra qu’en y substituant les valeurs de $x,\,y,\,z$ en fonctions de $a,\,b,\,c$ et $t,$ la variable $t$ disparaisse, et, par conséquent, que la différentielle de $\Delta$ par rapport à $t$ soit nulle. On aura donc, à cause de $x,\,y,\,z$ fonctions de $t,$ l’équation

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}=0,$

où il faudra mettre pour ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ leurs valeurs $p,\,q,\,r.$

Ainsi on aura l’équation

(H)

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+p{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+q{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}+r{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}=0,$

qui servira à déterminer l’inconnue $\Delta$ dans les équations (F), parce que dans ces équations on doit traiter $\Delta$ comme une fonction de $x,\,y,\,z.$

À cet égard, elles sont moins avantageuses que les équations (C) ou (D), dans lesquelles on peut regarder $\Delta$ comme une fonction connue de $a,\,b,\,c.$

12. Ce que nous venons de dire relativement à la fonction $\Delta ,$ il faudra l’appliquer aussi à la fonction $\mathrm {A} ,$ en tant que $\mathrm {A} =0$ est l’équation des parois du vase et qu’on suppose que le fluide contigu aux parois ne peut se mouvoir qu’en coulant le long de ces parois, de manière que les mêmes particules restent toujours à la surface ; car cette condition demande, comme on l’a vu dans l’article 8, que $\mathrm {A}$ devienne une fonction de $a,\,b,\,c$ sans $t\,;$ de sorte qu’en regardant cette quantité comme une fonction de $x,\,y,\,z,\,t,$ on aura aussi l’équation

(I)

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial t}}+p{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+q{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}+r{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial z}}=0.$

Pour les parties de la surface où le fluide sera libre, on aura l’équation $\lambda =0$ (art. 2) ; il faudra, par conséquent, pour satisfaire à la même condition, relativement à cette surface, que l’on ait aussi

(K)

${\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+p{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+q{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+r{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0.$

13. Voilà les formules les plus générales et les plus simples pour la détermination rigoureuse du mouvement des fluides. La difficulté ne consiste plus que dans leur intégration ; mais elle est si grandie que jusqu’à présent on a été obligé de se contenter, même dans les problèmes les plus simples, de méthodes particulières et fondées sur des hypothèses plus ou moins limitées. Pour diminuer autant qu’il est possible cette difficulté, nous allons examiner comment et dans quels cas ces formules peuvent encore être simplifiées ; nôus en ferons ensuite l’application à quelques questions sur le mouvement des fluides dans des vases ou des canaux.

14. Rien n’est d’abord plus facile que de satisfaire à l’équation (G) de l’article 10 ; car, en faisant

$p={\frac {\partial \alpha }{\partial z}},\qquad q={\frac {\partial \beta }{\partial z}},$

elle devient

${\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\beta }{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0,$

laquelle est intégrable relativement à $z,$ et donne

$r=-{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \beta }{\partial y}}\,;$

il n’est point nécessaire d’ajouter ici une fonction arbitraire, à cause des quantités indéterminées $\alpha$ et $\beta .$

Ainsi l’équation dont il s’agit sera satisfaite par ces valeurs

$p={\frac {\partial \alpha }{\partial z}},\qquad q={\frac {\partial \beta }{\partial z}},\qquad r=-{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \beta }{\partial y}},$

lesquelles étant ensuite substituées dans les trois équations (F) du même article, il n’y aura plus que trois inconnues $\alpha ,\,\beta$ et $\lambda \,;$ et même il sera très facile d’éliminer $\lambda$ par des différentiations partielles. De sorte que, de cette manière, si la densité $\Delta$ est constante, le problème se trouvera réduit à deux équations uniques entre les inconnues $\alpha$ et $\beta \,;$ et, si la densité $\Delta$ est variable, il y faudra joindre l’équation (H) de l’article 11. Mais l’intégration de ces équations surpasse les forces de l’Analyse connue.

15. Voyons donc si les équations (F), considérées en elles-mêmes, ne sont pas susceptibles de quelque simplification.

En ne considérant dans la fonction $\lambda$ que la variabilité de $x,\,y,\,z,$ on a

$d\lambda ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}dz.$

Donc, substituant pour ${\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}$ leurs valeurs tirées de ces équations, on aura

${\begin{aligned}d\lambda =&+\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)\Delta dx\\&+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)\Delta dy\\&+\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\Delta dz.\end{aligned}}$

Le premier membre de cette équation étant une différentielle complète, il faudra que le second en soit une aussi, relativement à $x,\,y,\,z\,;$ et la valeur de $\lambda$ qu’on en tirera satisfera à la fois aux équations (F).

Supposons maintenant que le fluide soit homogène, en sorte que la densité $\Delta$ soit constante ; et faisons-la, pour plus de simplicité, égale à l’unité.

Supposons, de plus, que les forces accélératrices $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ soient telles que la quantité $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ soit une différentielle complète. Cette condition est celle qui est nécessaire pour que le fluide puisse être en équilibre par ces mêmes forces, comme on l’a vu dans l’article 19 de la Section VII de la I^re Partie. Elle a d’ailleurs toujours lieu lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, ce qui est le cas de la nature, puisqu’en nommant les attractions $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ et les distances $p,\,q,\,r,\ldots ,$ on a, en général (I^re Partie, Sect. V, art. 7),

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$

Faisant donc

$\Delta =1$

et

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =d\mathrm {V} ,$

l’équation précédente deviendra

(L)

$\left\{{\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&+\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dx\\&+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}\right)dy\\&+\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dz\,;\end{aligned}}\right.$

et il faudra que le second membre de cette équation soit une différentielle complète, puisque le premier en est une. Cette équation équivaudra aussi aux équations (F) de l’article 10.

Or, en considérant la différentielle de ${\frac {p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}},$ prise relativement à $x,\,y,\,z,$ il n’est pas difficile de voir qu’on peut donner au second membre de l’équation dont il s’agit cette forme

${\begin{aligned}{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}+{\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz&+\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)(qdx-pdy)\\+\left({\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}}\right)(rdx-pdz)&+\left({\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}\right)(rdy-qdz)\,;\end{aligned}}$

et l’on voit d’abord que cette quantité sera une différentielle complète, toutes les fois que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ le sera elle-même ; car alors sa différentielle par rapport à $t,$ savoir ${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz,$ le sera aussi, et, de plus, les conditions connues de l’intégrabilité donneront

${\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}=0.$

D’où il suit qu’on pourra satisfaire à l’équation (L) par la simple supposition que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ soit une différentielle complète : et le calcul du mouvement du fluide sera par là beaucoup simplifié. Mais, comme ce n’est qu’une supposition particulière, il importe d’examiner, avant tout, dans quels cas elle peut et doit avoir lieu.

16. Soit, pour abréger,

$\alpha ={\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}},\quad \beta ={\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}},\quad \gamma ={\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}\,;$

il ne s’agira que de rendre une différentielle exacte la quantité^[2]

${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz+\alpha (q\,dx-p\,dy)+\beta (r\,dx-p\,dz)+\gamma (r\,dy-q\,dz).$

En regardant $p,\,q,\,r$ comme des fonctions de $t,$ on peut supposer

${\begin{alignedat}{6}&p&=&p'&+&p''t&+&p'''t^{2}&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''t&+&q'''t^{2}&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''t&+&r'''t^{2}&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

les quantités $p',\,p'',\,p''',\ldots ,$ $q',\,q'',\,q''',\ldots ,$ $r',\,r'',\,r''',\ldots$ étant des fonctions de $x,y,z$ sans $t.$

Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ elles deviendront

${\begin{alignedat}{6}&\alpha &=&\alpha '&+&\alpha ''t&+&\alpha '''t^{2}&+&\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&\beta &=&\beta '&+&\beta ''t&+&\beta '''t^{2}&+&\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&\gamma &=&\gamma '&+&\gamma ''t&+&\gamma '''t^{2}&+&\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

en supposant

${\begin{alignedat}{3}\alpha '=&{\frac {\partial p'}{\partial y}}-{\frac {\partial q'}{\partial x}},\qquad &\alpha ''=&{\frac {\partial p''}{\partial y}}-{\frac {\partial q''}{\partial x}},\qquad &\ldots ,\\\beta '=&{\frac {\partial p'}{\partial z}}-{\frac {\partial r'}{\partial x}},&\beta ''=&{\frac {\partial p''}{\partial z}}-{\frac {\partial r''}{\partial x}},&\ldots ,\\\gamma '=&{\frac {\partial q'}{\partial z}}-{\frac {\partial r'}{\partial y}},&\gamma ''=&{\frac {\partial q''}{\partial z}}-{\frac {\partial r''}{\partial y}},&\ldots .\end{alignedat}}$

Ainsi la quantité

${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz+\alpha (q\,dx-p\,dy)+\beta (r\,dx-p\,dz)+\gamma (r\,dy-q\,dz)$

deviendra, après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de $t,$

${\begin{aligned}p''dx&+q''dy+r''dz+\alpha '(q'dx-p'dy)+\beta '(r'dx-p'dz)+\gamma '(r'dy-q'dz)\\&+t\left[2(p'''dx+q'''dy+r'''dz)\right.\\&\ \ \qquad +\alpha '\ (q''dx-p''dy)+\beta '\ (r''dx-p''dz)+\gamma '\ (r''dy-q''dz)\\&\ \ \qquad \left.+\ \alpha ''(q'\ dx-p'\ dy)+\beta ''(r'\ dx-p'\ dz)+\gamma ''(r'\,dy-q'\ dz)\right]\\\\&+t^{2}\left[3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz)\right.\\&\ \ \qquad +\alpha '\ \,(q'''dx-p'''dy)+\beta '\ \ (r'''dx-p'''dz)+\gamma '\ (r'''dy-q'''dz)\\&\ \ \qquad +\alpha ''\ (q''\ dx-p''\,dy)+\beta ''\ (r''\ dx-p''\ dz)+\gamma ''(r''\ dy-q''\ dz)\\&\ \ \qquad \left.+\ \alpha '''(q'\ \ dx-p'\ \,dy)+\beta '''(r'\ \,dx-p'\ \,dz)+\gamma '''(r'\ \,dy-q'\ \,dz)\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et comme cette quantité doit être une différentielle exacte, indépendamment de la valeur de $t,$ il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de $t$ soient, chacune en particulier, des différentielles exactes.

Cela posé, supposons que $p'dx+q'dy+r'dz$ soit une différentielle exacte ; on aura, par les théorèmes connus,

${\frac {\partial p'}{\partial y}}={\frac {\partial q'}{\partial x}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial z}}={\frac {\partial r'}{\partial x}},\quad {\frac {\partial q'}{\partial z}}={\frac {\partial r'}{\partial y}}\,;$

donc

$\alpha '=0,\qquad \beta '=0,\qquad \gamma '=0\,;$

donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte se réduira à $p''dx+q''dy+r''dz\,;$ et l’on aura, par conséquent, ces équations de condition

$\alpha ''=0,\qquad \beta ''=0,\qquad \gamma ''=0.$

Alors la seconde quantité qui doit être une différentielle exacte deviendra $2(p'''dx+q'''dy+r'''dz)\,;$ et il résultera de là les nouvelles équations

$\alpha '''=0,\qquad \beta '''=0,\qquad \gamma '''=0.$

De sorte que la troisième quantité qui doit être une différentielle

exacte sera $3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz)\,;$ d’où l’on tirera pareillement les équations

$\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\qquad \beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\qquad \gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;$

et ainsi de suite. Donc, si $p'dx+q'dy+r'dz$ est une différentielle exacte, il faudra que

$p''dx+q''dy+r''dz,\quad p'''dx+q'''dy+r'''dz,\quad p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz,\quad \ldots$

soient aussi, chacune en particulier, des différentielles exactes. Par conséquent, la quantité entière $p\,dx+q\,dx+r\,dz$ sera, dans ce cas, une différentielle exacte, le temps $t$ étant supposé fort petit.

17. Il s’ensuit de là que, si la quantité $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ est une différentielle exacte lorsque $t=0,$ elle devra l’être aussi lorsque $t$ aura une valeur quelconque ; donc, en général, comme l’origine des $t$ est arbitraire, et qu’on peut prendre également $t$ positif ou négatif, il s’ensuit que, si la quantité $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car, si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.

18. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors $p=0,$ $q=0,$ $r=0,$ lorsque $t=0\,;$ donc $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ sera intégrable pour ce moment et, par conséquent, devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.

Mais s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles que

$p\,dx+q\,dy+r\,dz$

soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas, la quantité

$p\,dx+q\,dy+r\,dz$

sera toujours intégrable ; dans le second, elle ne le sera jamais.

Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, comme par l’action d’un piston, on peut démontrer que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses $p,q,r$ que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface soient telles que, si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse, en vertu de l’impulsion appliquée à la surface et des vitesses ou forces $-p,\,-q,\,-r,$ appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, d’après la loi générale de l’équilibre des fluides (I^re Partie, Sect. VII, art. 19), les quantités $p,\,q,\,r$ devront être telles que $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ soit une différentielle exacte. Ainsi, dans ce cas, la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.

19. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ ne soit pas une différentielle exacte.

Pour lever ce doute par un exemple très simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait

$p=gy,\qquad q=-gx,\qquad r=0,$

$g$ étant une constante quelconque. On voit d’abord que, dans ce cas, $p\,dx+q\,dy+r\,dz$ ne sera pas une différentielle complète, puisqu’elle devient $g(ydx-xdy),$ qui n’est pas intégrable ; cependant l’équation (L) de l’article 15 sera intégrable d’elle-même, car on aura

${\frac {\partial p}{\partial y}}=g,\quad {\frac {\partial q}{\partial x}}=-g,$

et toutes les autres différences partielles de $p$ et $q$ seront nulles ; de sorte que l’équation dont il s’agit

$d\lambda -d\mathrm {V} =-g^{2}(xdx+ydy),$

dont l’intégrale donne

$\lambda =\mathrm {V} -{\frac {g^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\mathrm {fonct} .t,$

valeur qui satisfera donc aux trois équations (F) de l’article 10.

À l’égard de l’équation (G) du même article, elle aura lieu aussi, puisque les valeurs supposées donnent

${\frac {\partial p}{\partial x}}=0,\qquad {\frac {\partial q}{\partial y}}=0,\qquad {\frac {\partial r}{\partial z}}=0.$

Au reste, il est visible que ces valeurs de $p,\,q,\,r$ représentent le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l’axe fixe des coordonnées $z,$ avec une vitesse angulaire constante et égale à $g\,;$ et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.

On peut conclure de là que, dans le calcul des oscillations de la mer en vertu de l’attraction du Soleil et de la Lune, on ne peut pas supposer que la quantité $pdx+qdy+rdz$ soit intégrable, puisqu’elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par rapport à la Terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle.

20. Après avoir déterminé les cas dans lesquels on est assuré que la quantité $pdx+qdy+rdz$ doit être une différentielle complète, voyons comment, d’après cette condition, on peut résoudre les équations du mouvement des fluides.

Soit donc

$pdx+qdy+rdz=d\varphi ,$

$\varphi$ étant une fonction quelconque de $x,y,z$ et de la variable $t,$ laquelle est regardée comme constante dans la différentielle $d\varphi \,;$ on aura donc

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\,;$

et, substituant ces valeurs dans l’équation (L) de l’article 15, elle

deviendra

${\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}\right)dx\\&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}}\right)dy\\&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\ \right)dz,\end{aligned}}$

dont l’intégrale, relativement à $x,y,z,$ est évidemment

$\lambda -\mathrm {V} ={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}.$

On pourrait y ajouter une fonction arbitraire de $t,$ puisque cette variable est regardée dans l’intégration comme constante ; mais j’observe que cette fonction peut être censée renfermée dans la valeur de $\varphi \,;$ car, en augmentant $\varphi$ d’une fonction quelconque $\mathrm {T}$ de $t,$ les valeurs de $p,\,q,\,r$ demeurent les mêmes qu’auparavant, et le second membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial t}},$ qui est arbitraire. On peut donc, sans déroger à la généralité de cette équation, se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de $t.$

On aura donc, par cette équation,

$\lambda =\mathrm {V} +{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},$

valeur qui satisfera à la fois aux trois équations (F) de l’article 10 ; et la détermination de $\varphi$ dépendra de l’équation (G) du même article, laquelle, en substituant pour $p,q,r$ leurs valeurs ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}},$ devient

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0.$

Ainsi toute la difficulté ne consistera plus que dans l’intégration de cette dernière équation.

21. Il y a encore un cas très étendu, dans lequel la quantité

$pdx+qdy+rdz$

doit être une différentielle exacte c’est celui où l’on suppose que les vitesses $p,\,q,\,r$ soient très petites et qu’on néglige les quantités très petites du second ordre et des ordres suivants. Gar il est visible que, dans cette hypothèse, la même équation (L) se réduira à

$d\lambda -d\mathrm {V} ={\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz,$

où l’on voit que, ${\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz$ devant être intégrable relativement à $x,y,z,$ la quantité $pdx+qdy+rdz$ devra l’être aussi. On aura ainsi les mêmes formules que dans l’article précédent, en supposant $\varphi$ une fonction très petite et négligeant les secondes dimensions de $\varphi$ et de ses différentielles.

On pourra de plus, dans ce cas, déterminer les valeurs mêmes de $x,y,z$ pour un temps quelconque, car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (art. 9)

$dx=pdt,\qquad dy=qdt,\qquad dz=rdt,$

dans lesquelles, puisque $p,\,q,\,r$ sont très petites et que, par conséquent, $dx,\,dy,\,dz$ sont aussi très petites du même ordre vis-à-vis de $dt,$ on pourra regarder $x,y,z$ comme constantes par rapport à $t.$ De sorte qu’en traitant $t$ seul comme variable dans les fonctions $p,\,q,\,r,$ et ajoutant les constantes $a,b,c,$ on aura sur-le-champ

$x=a+\int pdt,\qquad y=b+\int qdt,\qquad z=c+\int rdt.$

Donc faisant, pour abréger,

$\Phi =\int \varphi dt$

et changeant dans $\Phi$ les variables $x,\,y,\,z$ en $a,\,b,\,c,$ on aura simplement

$x=a+{\frac {\partial \Phi }{\partial a}},\qquad y=b+{\frac {\partial \Phi }{\partial b}},\qquad z=c+{\frac {\partial \Phi }{\partial c}},$

où la fonction $\Phi$ devra être prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $t=0,$ afin que $a,\,b,\,c,$ soient les valeurs initiales de $x,\,y,\,z.$

Ce cas a lieu dans la théorie des ondes et dans toutes les petites oscillations.

22. En général, lorsque la masse du fluide est telle que l’une de ses dimensions soit considérablement plus petite que chacune des deux autres, en sorte qu’on puisse regarder, par exemple, les coordonnées $z$ comme très petites vis-à-vis de $x$ et $y,$ cette circonstance servira dans tous les cas à faciliter la résolution des équations générales.

Car il est clair qu’on pourrait donner alors aux inconnues $p,q,r,\Delta$ la forme suivante

${\begin{alignedat}{5}&p&=&p'&+&p''\ \,z&+&p'''\ \,z^{2}&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''\ \,z&+&q'''\ \,z^{2}&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''\ \,z&+&r'''\ \,z^{2}&+&\ldots ,\\&\Delta &=&\Delta '&+&\Delta ''z&+&\Delta '''z^{2}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

dans lesquelles $p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots ,\,r',\,r'',\ldots ,\,\Delta ',\,\Delta '',\ldots$ seraient des fonctions de $x,\,y,\,t$ sans $z\,;$ de sorte qu’en faisant ces substitutions on aurait des équations en séries, lesquelles ne contiendraient que des différences partielles relatives à $x,\,y,\,t.$

Pour donner là-dessus un essai de calcul, supposons de nouveau qu’il ne s’agisse que d’un fluide homogène, où $\Delta =1$ et commençons par substituer les valeurs précédentes dans l’équation (G) de l’article 10 ; en ordonnant les termes par rapport à $z,$ on aura

${\frac {\partial p'}{\partial x}}+{\frac {\partial q'}{\partial y}}+r''+z\left({\frac {\partial p''}{\partial x}}+{\frac {\partial q''}{\partial y}}+2r'''\right)+z^{2}\left({\frac {\partial p'''}{\partial x}}+{\frac {\partial q'''}{\partial y}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+\ldots =0.$

De sorte que, comme $p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots$ ne doivent point contenir $z,$ on aura ces équations particulières

${\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial x}}\ \,+{\frac {\partial q'}{\partial y}}\ +r''\ \ &=0,\\{\frac {\partial p''}{\partial x}}\ +{\frac {\partial q''}{\partial y}}+r'''\ &=0,\\{\frac {\partial p'''}{\partial x}}+{\frac {\partial q'''}{\partial y}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &.\ldots ,\end{aligned}}$

par lesquelles on déterminera d’abord les quantités $r'',\,r''',\,r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots \,;$ et

les autres quantités $r',\,p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots$ demeureront encore indéterminées.

On fera les mêmes substitutions dans l’équation (L) de l’article 15, laquelle équivaut aux trois équations (F) de l’article 10, et il est aisé de voir qu’elle se réduira à la forme suivante

${\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&\alpha dx+\beta dy+\gamma dz+z(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz)\\&+z^{2}(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz)+\ldots ,\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {\partial p'}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial p'}{\partial y}}+r'p'',\\\beta =&{\frac {\partial q'}{\partial t}}+p'{\frac {\partial q'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial q'}{\partial y}}+r'q'',\\\gamma =&{\frac {\partial r'}{\partial t}}+p'{\frac {\partial r'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial r'}{\partial y}}+r'r'',\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha '=&{\frac {\partial p''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial p'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial p''}{\partial y}}+q''{\frac {\partial p'}{\partial y}}+2r'p'''+r''p'',\\\beta '=&{\frac {\partial q''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial q''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial q'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial q''}{\partial y}}+q''{\frac {\partial q'}{\partial y}}+2r'q'''+r''q'',\\\gamma '=&{\frac {\partial r''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial r''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial r'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial r''}{\partial y}}+q''{\frac {\partial r'}{\partial y}}+2r'r'''+r''r'',\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, pour que le second membre de cette équation soit intégrable, il faudra que les quantités

$\alpha dx+\beta dy,\quad \gamma dz+z(\alpha 'dx+\beta 'dy),\quad \gamma 'zdz+z^{2}(\alpha ''dx+\beta ''dy),\quad \ldots$

soient chacune intégrables en particulier.

Si donc on dénote par $\omega$ une fonction de $x,\,y,\,t$ sans $z,$ on aura ces conditions

$\alpha ={\frac {\partial \omega }{\partial x}},\quad \beta ={\frac {\partial \omega }{\partial y}},\quad \alpha '={\frac {\partial \gamma }{\partial x}},\quad \beta '={\frac {\partial \gamma }{\partial y}},\quad \alpha ''={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma '}{\partial x}},\quad \beta ''={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma '}{\partial y}},\quad \ldots .$

Alors l’équation intégrée donnera

$\lambda =\mathrm {V} +\omega +\gamma z+{\frac {1}{2}}\gamma 'z^{2}+\ldots ,$

et il ne s’agira que de satisfaire aux conditions précédentes par le moyen des fonctions indéterminées $\omega ,\,r',\,p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots .$

Le calcul deviendrait plus facile encore si les deux variables $y$ et $z$ étaient très petites en même temps vis-à-vis de $x,$ car on pourrait supposer alors

${\begin{alignedat}{7}&p&=&p'&+&p''y&+&p'''z&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''y&+&q'''z&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''y&+&r'''z&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

les quantités $p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots ,\,r',\,r'',\ldots$ étant de simples fonctions de $x.$

Faisant ces substitutions dans l’équation (G) et égalant séparément à zéro les termes affectés de $y,\,z$ et de leurs produits, on aurait

${\frac {\partial p'}{\partial x}}+q''+r'''=0,\quad {\frac {\partial p''}{\partial x}}+2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\quad \ldots .$

Ensuite l’équation (L) deviendrait de la forme

${\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&\alpha dx+\beta dy+\gamma dz+y(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz)\\&+z(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz)+\ldots ,\end{aligned}}$

en supposant

${\begin{aligned}\alpha \ =&{\frac {\partial p'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial p'}{\partial x}}\ +q'p''+r'p''',\\\beta \ =&{\frac {\partial q'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial q'}{\partial x}}\ +q'q''+r'q''',\\\gamma \ =&{\frac {\partial r'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial r'}{\partial x}}\ +q'r''+r'r''',\\\alpha '=&{\frac {\partial p''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial p'}{\partial x}}+2q'p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+q''p''+r'p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+r''p''',\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et l’on aurait pour l’intégrabilité de cette équation les conditions

$\alpha '={\frac {\partial \beta }{\partial x}},\quad \alpha ''={\frac {\partial \gamma }{\partial x}},\quad \ldots ,$

moyennant quoi elle donnerait

$\lambda =\mathrm {V} +\int \alpha dx+\beta dy+\gamma dz+\ldots .$

Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées $x,\,y,\,z$ d’autres variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ lesquelles soient des fonctions données de celles-là ; et si, par la nature de la question, la variable $\zeta ,$ par exemple, ou les deux variables $\eta$ et $\zeta$ sont très petites vis-à-vis de $\xi ,$ on pourra employer des réductions analogues à celles que nous venons d’exposer.

§ II. — Du mouvement des fluides pesants et homogènes dans des vases ou
canaux de figure quelconque.

23. Pour montrer l’usage des principes et des formules que nous venons de donner, nous allons les appliquer aux fluides qui se meuvent dans des vases ou des canaux de figure donnée.

Nous supposerons que le fluide soit homogène et pesant, et qu’il parte du repos ou qu’il soit mis en mouvement par l’impulsion d’un piston appliqué à sa surface ; ainsi les vitesses $p,\,q,\,r$ de chaque particule devront être telles, que la quantité $pdx+qdy+rdz$ soit intégrable (art. 18) ; par conséquent, on pourra employer les formules de l’article 20.

Soit donc $\varphi$^[3] une fonction de $x,\,y,\,z$ et $t$ déterminée par l’équation

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0\,;$

on aura d’abord, pour les vitesses de chaque particule suivant les directions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ ces expressions

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.$

Ensuite on aura

$\lambda =\mathrm {V} +{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},$

quantité qui devra être nulle à la surface extérieure libre du fluide

(art. 2).

Quant à la valeur de $\mathrm {V} ,$ qui dépend des forces accélératricesdu fluide (art. 15), si l’on exprime par $g$ la force accélératrice de la gravité, et qu’on nomme $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les angles que les axes des coordonnées $x,\,y,\,z$ font avec la verticale menée du point d’intersection de ces axes et dirigée de haut en bas, on aura

$\mathrm {X} =-g\cos \xi ,\qquad \mathrm {Y} =-g\cos \eta ,\qquad \mathrm {Z} =-g\cos \zeta \,;$

je donne le signe $-$ aux valeurs des forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ parce que ces forces sont supposées tendre à diminuer les coordonnées $x,\,y,\,z.$ Donc, puisque

$d\mathrm {V} =\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,$

on aura, en intégrant,

$\mathrm {V} =-gx\cos \xi -gy\cos \eta -gz\cos \zeta .$

24. Soit maintenant $z=\alpha ,$ ou $z-\alpha =0,$ l’équation d’une des parois du canal, $\alpha$ étant une fonction donnée de $x,y$ sans $z$ ni $t.$ Pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës à cette paroi, il faudra remplir l’équation (I) de l’article 12, en y supposant $\mathrm {A} =z-\alpha .$ On aura donc

${\frac {\partial \varphi }{\partial z}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}=0,$

équation à laquelle devra satisfaire la valeur $z=\alpha .$ Chaque paroi fournira aussi une équation semblable.

De même, puisque $\lambda =0$ est l’équation de la surface extérieure du fluide, pour que les mêmes particules soient constamment sur cette surface, on aura l’équation

${\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0,$

laquelle devra avoir lieu et donner, par conséquent, une même valeur de $z$ que l’équation $\lambda =0.$ Mais cette équation ne sera plus nécessaire dès que la condition dont il s’agit cessera d’avoir lieu.

25. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction $\varphi .$ Or, l’équation d’où elle dépend n’étant intégrable, en général, par aucune méthode connue, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite vis-à-vis des deux autres, en sorte que les coordonnées $z,$ par exemple, soient très petites relativement à $x$ et $y.$ Par le moyen de cette supposition, on pourra représenter la valeur de $\varphi$ par une série de cette forme

$\varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

où $\varphi ',\,\varphi '',\,\varphi ''',\ldots$ seront des fonctions de $x,\,y,\,t$ sans $z.$

Faisant donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}+2\varphi '''&+z\ \left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}\ +{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\ +2.3\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial y^{2}}}+3.4\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}$

De sorte qu’en égalant, séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de $z,$ on aura

${\begin{aligned}\varphi '''\ &=-\ \,{\frac {1}{2}}\ \ {\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}-\ \ {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}},\\\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}},\\\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial y^{4}}},\end{aligned}}$

 

Ainsi l’expression de $\varphi$ deviendra

${\begin{aligned}\varphi =\varphi '&+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''$ sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est l’intégrale complète de l’équation proposée.

Ayant trouvé l’expression de $\varphi ,$ on aura par la différenciation celles de $p,\,q,\,r,$ comme il suit :

${\begin{aligned}p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}&+z{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial x\partial y^{2}}}\right)+\ldots ,\\q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}&+z{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial y^{3}}}\right)+\ldots ,\\r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=\ \varphi ''\ \ &-z\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial y^{4}}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Et substituant ces valeurs dans l’expression de $\lambda$ de l’article 23, elle deviendra de cette forme

$\lambda =\lambda '+z\lambda ''+z^{2}\lambda '''+z^{3}\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\lambda '\ \,=&-g(x\cos \xi +y\cos \eta )+{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\varphi ''^{2},\\\lambda ''\ =&-g\cos \zeta +{\frac {\partial \varphi ''}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}-\varphi ''\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right),\\\lambda '''=&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial t\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial t\partial y^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}\right)^{2}\\&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\varphi ''\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

26. Maintenant, si $z=\alpha$ est l’équation des parois, $\alpha$ étant une fonction fort petite de $x$ et $y$ sans $z,$ l’équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours contiguës à ces parois (art. 24) deviendra, par les substitutions précédentes,

${\begin{aligned}0=\varphi ''&-{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}-z\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}z^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right){\frac {\partial a}{\partial x}}-\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right){\frac {\partial a}{\partial y}}\right]\end{aligned}}$

+

,

laquelle, devant avoir lieu lorsqu’on fait $z=\alpha ,$ se réduira à cette forme plus simple

${\begin{aligned}\varphi ''&-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}\right)\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\alpha ^{3}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right)\right]+{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\alpha ^{3}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right)\right]+\ldots =0\,;\end{aligned}}$

et il faudra que cette équation soit vraie dans toute l’étendue des parois données.

27. Enfin l’équation de la surface extérieure et libre du fluide, étant $\lambda =0,$ sera de la forme

$\lambda '+z\lambda ''+z^{2}\lambda '''+z^{3}\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots =0\,;$

et l’équation de condition pour que les mêmes particules demeurent à la surface (art. 24) sera

${\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}&+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}+\varphi ''\lambda ''\\&+z\ \left[{\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial y}}\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+2\varphi ''\lambda ''-\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)\lambda ''\right]\\\\&+z^{2}\left[{\frac {\partial \lambda '''}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '''}{\partial y}}\right.\\&\qquad \qquad \quad -{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right){\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right){\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}\\&\qquad \qquad \quad \ \left.-2\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)\lambda '''-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\lambda ''+3\varphi ''\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]+\ldots =0.\end{aligned}}$

Chassant $z$ de ces deux équations, on en aura une qui devra subsister d’elle-même pour tous les points de la surface extérieure.

Application de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule
dans un vase étroit et presque vertical.

28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons, pour plus de simplicité, que les abscisses $x$ soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (art. 23)

$\xi =0,\qquad \qquad \eta =90^{\circ },\quad \quad \zeta =90^{\circ }\,;$

donc

$\cos \xi =1,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =0.$

Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées $y$ et $z,$ les premières $y$ soient nulles, et les secondes $z$ soient fort petites.

Enfin, soient $z=\alpha$ et $z=\beta$ les équations des deux parois du vase, $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions de $x$ connues et fort petites. On aura, relativement à ces parois, les deux équations (art. 26)

${\begin{aligned}\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\\\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\end{aligned}}$

lesquelles serviront à déterminer les fonctions $\varphi '$ et $\varphi ''.$

Nous regarderons les quantités $z,\,\alpha ,\,\beta$ comme très petites du premier ordre, et nous négligerons, du-moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci

$\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,\qquad \varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,$

lesquelles, étant retranchées l’une de l’autre, donnent

${\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]=0,$

équation dont l’intégrale est

$(\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}=\theta ,$

$\theta$ étant une fonction arbitraire de $t,$ laquelle doit être très petite du premier ordre.

Or il est visible que est la largeur horizontale du vase, que nous représenterons par $\gamma .$ Ainsi on aura

${\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\theta }{\gamma }},$

et, intégrant de nouveau par rapport à $x,$

$\varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\gamma }}+\vartheta ,$

en désignant par $\vartheta$ une nouvelle fonction arbitraire de $t.$

Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse

${\frac {\alpha +\beta }{2}}=\mu ,$

on en tirera

$\varphi ''={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right),$

ou, en substituant la valeur de ${\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},$

$\varphi ''=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\mu }{\gamma }}\right).$

D’où l’on voit que, puisque $\gamma ,\,\mu ,\,\theta$ sont des quantités très petites du premier ordre, $\varphi ''$ sera aussi très petite du même ordre.

Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules de l’article 25, la vitesse verticale

$p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\theta }{\gamma }},$

la vitesse horizontale

$r=\varphi ''-z{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\mu }{\gamma }}\right)-z{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\gamma }}\right)={\frac {\theta }{\gamma }}\left({\frac {\partial \mu }{\partial x}}+{\frac {z-\mu }{\gamma }}{\frac {\partial \gamma }{\partial x}}\right).$

Ensuite, à cause de $\cos \zeta =0,$ la quantité $\lambda ''$ sera aussi très petite du premier ordre. Par conséquent, la valeur de $\lambda$ se réduira (art. 25) à

$\lambda '=-gx+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx}{\gamma }}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ^{2}}}.$

Cette valeur, égalée à zéro, donnera la figure de la surface du fluide ; et comme elle ne renferme point l’ordonnée $z,$ mais seulement l’abscisse $x$ et le temps $t,$ il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et liorizontale.

Enfin l’équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours à la surface se réduira, par la même raison, à celle-ci (art. 27)

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}=0,$

savoir

${\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma }}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,$

laquelle ne contient pas non plus $z,$ mais seulement $x$ et $t.$

29. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide de celles qui se rapportent à la surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les secondes par deux traits. Ainsi $x',\,\gamma ',\ldots$ seront l’abscisse, la largeur du vase, … pour la surface supérieure ; $x'',\,\gamma '',\ldots$ seront de même l’abscisse, la largeur du vase, … à la surface inférieure.

Donc aussi, $\lambda ',\,\lambda ''$ dénoteront dans la suite les valeurs de $\lambda$ pour les deux surfaces ; de sorte que l’on aura, pour la surface supérieure, l’équation

$\lambda '=-gx'+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma '^{2}}}=0,$

et, pour la surface inférieure, l’équation semblable

$\lambda ''=-gx''+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ''^{2}}}=0.$

Enfin

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0$

sera l’équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours, et

${\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0$

sera l’équation de condition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide.

Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vase ; et chacun de ces cas demande une solution particulière.

30. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas, il est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi on aura pour ces deux surfaces les équations

$\lambda '=0,\quad \lambda ''=0$

et, de plus,

${\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}\ &+{\frac {\theta }{\gamma '}}\ {\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}\ =0,\\{\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}&+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0,\end{aligned}}$

quatre équations qui serviront à déterminer les variables $x',\,x'',\,\theta ,\,\vartheta$ en $t.$

L’équation $\lambda '=0,$ étant différentiée, donne

${\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}dx'+{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}dt=0\,;$

donc

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}=-{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}{\frac {dx'}{dt}}\,;$

substituant cette valeur dans l’équation

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0,$

et divisant par ${\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}},$ on aura

${\frac {dx'}{dt}}={\frac {\theta }{\gamma '}}.$

On trouvera de même, en combinant l’équation $\lambda ''=0$ avec l’équation

${\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}=-{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}{\frac {dx''}{dt}},$

celle-ci

${\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\gamma }}.$

Donc on aura

$\theta dt=\gamma 'dx'=\gamma ''dx'',$

équations séparées ; par conséquent, on aura, en intégrant,

$\int \gamma ''dx''-\int \gamma 'dx'=m,$

$m$ étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Cette équation donnera ainsi la valeur de $x''$ en $x'.$

Maintenant, si l’on substitue, dans l’équation $\lambda '=0,$ pour $dt$ sa valeur ${\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$ elle devient

$-gx'+{\frac {\theta d\theta }{\gamma 'dx'}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}+{\frac {\theta d\vartheta }{\gamma 'dx'}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma '^{2}}}=0,$

laquelle, étant multipliée par $-\gamma 'dx',$ donne celle-ci

$g\gamma 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\gamma '}}=0,$

qu’on voit être intégrable et dont l’intégrale sera

$g\int \gamma 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\int \theta d\vartheta =\mathrm {const} .$

On trouvera de la même manière, en substituant ${\frac {\gamma ''dx''}{\theta }}$ à la place de $dt$ dans l’équation $\lambda ''=0$ et multipliant par $-\gamma ''dx'',$ une nouvelle équation intégrable, et dont l’intégrale sera

$g\int \gamma ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int \theta d\vartheta =\mathrm {const} .$

Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, pour en éliminer le terme $\int \theta d\vartheta ,$ on aura celle-ci

$g\left(\int \gamma ''x''dx''-\int \gamma 'x'dx'\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left(\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)=\mathrm {L} ,$

dans laquelle les quantités $\int \gamma ''x''dx''-\int \gamma 'x'dx'$ et $\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}$ expriment les intégrales de $\gamma xdx$ et de ${\frac {dx}{\gamma }},$ prises depuis $x=x'$ jusqu’à $x=x'',$ et où $\mathrm {L}$ est une constante.

Cette équation donnera donc $\theta$ en $x',$ puisque $x''$ est déjà connue en $x'$ par l’équation trouvée plus haut. Ayant ainsi $\theta$ en $x',$ on trouvera aussi $t$ en $x',$ par l’équation $dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$ dont l’intégrale est

$t=\int {\frac {\gamma 'dx'}{\theta }}+\mathrm {H} ,$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire.

À l’égard des deux constantes $\mathrm {L}$ et $\mathrm {H} ,$ on les déterminera par l’état initial du fluide. Car, lorsque $t=0,$ la valeur de $x'$ sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase ; et si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra que l’on ait $\theta =0,$ lorsque $t=0,$ pour que les expressions $p,\,q,\,r$ (art. 28) deviennent nulles. Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs de $\lambda '$ et $\lambda ''$ seraient données lorsque $t=0,$ puisque la quantité $\lambda$ rapportée à la surface du fluide exprime la pression que le fluide y exerce, et qui doit être contrebalancée par la pression extérieure (art. 2). Or on a (art. 29)

$\lambda ''-\lambda '=-g(x''-x')+{\frac {d\theta }{dt}}\left(\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\gamma ''^{2}}}-{\frac {1}{\gamma '^{2}}}\right)\,;$

donc, en faisant $t=0,$ on aura une équation qui servira à déterminer la valeur initiale de $\theta .$

Ainsi le problème est résolu, et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.

31. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas, on aura, comme dans le cas précédent, pour la surface supérieure, les deux équations

$\lambda '=0,\quad {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0\,;$

mais, pour la surface inférieure, on aura simplement l’équation $\lambda ''=0,$ puisque, à cause de l’écoulement du fluide, il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais, d’un autre côté, l’abscisse $x'',$ pour cette même surface, sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura que trois inconnues à déterminer, savoir, $x',\,\theta$ et $\vartheta .$

Les deux premières équations donnent d’abord, comme dans le cas précédent, celles-ci

$dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},\quad g\gamma 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\gamma '}}=0\,;$

ensuite l’équation $\lambda '=0$ donnera

$-gx''+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ''^{2}}}=0,$

où l’on remarquera que $x'',\gamma ''$ et $\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}$ sont des constantes, que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par $f,\,h,\,n.$ Ainsi, en substituant à $dt$ sa valeur ${\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$ multipliant ensuite par $-\gamma 'dx',$ on aura l’équation

$gf\gamma 'dx'-n\theta d\theta -\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}\gamma 'dx'}{2h^{2}}}=0.$

Donc retranchant de celle-ci l’équation précédente, pour en éliminer les termes $\theta d\vartheta ,$ on aura

$g(f-x')\gamma 'dx'-\left(n-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)\theta d\theta -\left({\frac {\gamma '}{2h^{2}}}-{\frac {1}{2\gamma '}}\right)\theta ^{2}dx'=0,$

équation qui ne contient que les deux variables $x'$ et $\theta ,$ et par laquelle on pourra donc déterminer une de ces variables en fonction de l’autre.

Ensuite on aura $t$ exprimé par la même variable, en intégrant l’équation

$dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},$

et l’on déterminera les constantes par l’état initial du fluide, comme dans le problème précédent.

32. Le troisième cas a lieu lorsqu’un fluide coule dans un vase indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hauteur par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l’inverse du précédent ; car on aura ici pour la surface inférieure les deux équations

$\lambda ''=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0\,;$

et, pour la surface supérieure, on aura simplement l’équation $\lambda '=0,$ à cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n’y aura qu’à changer dans les équations de l’article précédent les quantités $x',\,\gamma '$ en $x'',\,\gamma '',$ et prendre pour $f,\,h,\,n$ les valeurs données de $x',\,\gamma ',\,\int {\frac {dx'}{\gamma '}}.$

Au reste, nous supposons que l’addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l’augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche, pendant le premier instant, est la même que si le vase n’était pas entretenu plein à la même hauteur durant cet instant.

33. Enfin, le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée ; et qui est entretenu toujours plein à la même hauteur. Ici les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent entièrement ; par conséquent, on aura simplement, pour ces deux surfaces, les équations

$\lambda '=0,\qquad \lambda ''=0\,;$

mais en même temps les deux abscisses $x'$ et $x''$ seront données et constantes, en sorte qu’il n’y aura que les deux inconnues $\theta$ et $\vartheta$ à déterminer en $t.$

Soit donc

$x'=f,\quad \gamma '=h,\quad \int {\frac {dx'}{\gamma '}}=n,\quad x''=\mathrm {F} ,\quad \gamma ''=\mathrm {H} ,\quad \int {\frac {dx''}{\gamma ''}}=\mathrm {N} \,;$

les deux équations $\lambda '=0,\ \lambda ''=0$ deviendront

${\begin{aligned}-gf+{\frac {d\theta }{dt}}n\,+{\frac {d\vartheta }{dt}}+\ {\frac {\theta ^{2}}{2h^{2}}}=&0,\\-g\mathrm {F} +{\frac {d\theta }{dt}}\mathrm {N} +{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\mathrm {H} ^{2}}}=&0\,;\end{aligned}}$

d’où, chassant ${\frac {d\vartheta }{dt}},$ on aura

$g(\mathrm {F} -f)-(\mathrm {N} -n){\frac {d\theta }{dt}}-\left({\frac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\frac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}=0,$

d’où l’on tire

$dt={\frac {(\mathrm {N} -n)d\theta }{g(\mathrm {F} -f)-\left({\cfrac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\cfrac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}}},$

équation séparée, et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.

34. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers auteurs auxquels on doit des théories du mouvement des fluides ont trouvées, d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur paralléli\sine en descendant dans le vase. (Voir l’Hydrodynamique de Daniel Bernoulli, l’Hydraulique de Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de d’Alembert.) Notre analyse fait voir que cette supposition n’est exacte que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut, dans tous les cas, être employée pour une première approximation, et que les solutions qui en résultent sont exactes, aux quantités du second ordre près, en regardant les largeurs du vase comme des quantités du premier ordre.

Mais le grand avantage de cette analyse est qu’on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides, dans des vases de figure quelconque ; car, ayant trouvé, ainsi que nous venons de le faire, les premières valeurs des inconnues, en négligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser l’approximation plus loin, en ayant égard successivement aux termes négligés. Ce détail n’a de difficulté que la longueur du calcul, et nous n’y entrerons point quant à présent.

Applications des mêmes formules au mouvement d’un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en particulier au mouvement des ondes.

35. Puisqu’on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les coordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas ; les abscisses $x$ et les autres ordonnées $y$ deviendront horizontales, et l’on aura (art. 23)

$\cos \xi =0,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =1.$

En prenant les axes des $x$ et $y$ dans le plan horizontal formé par la surface supérieure du fluide dans l’état d’équilibre, soit $z=\alpha$ l’équation du fond du canal, $\alpha$ étant une fonction de $x$ et $y.$

Nous regarderons les quantités $z$ et $\alpha$ comme très petites du premier ordre, et nous négligerons les quantités du second ordre et des suivants, c’est-à-dire celles qui contiendront les carrés et les produits de $z$ et $\alpha .$

L’équation de condition relative au fond du canal donnera (art. 26)

$\varphi ''={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right),$

d’où l’on voit que $\varphi ''$ est une quantité du premier ordre.

Ensuite la valeur de la quantité $\lambda$ se réduira à $\lambda '+\lambda ''z$ (art. 25) ; et il faudra négliger dans l’expression de $\lambda '$ les quantités du second ordre, et dans celle de $\lambda ''$ les quantités du premier. Ainsi, à cause de

$\cos \xi =0,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =1,$

on aura, par les formules du même article,

$\lambda '={\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2},\quad \lambda ''=-g.$

On aura donc (art. 27), pour la surface supérieure du fluide, l’équation

$\lambda '-gz=0,$

et ensuite l’équation de condition

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}-g\varphi ''+gz\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)=0.$

L’équation $\lambda '-gz=0$ donne sur-le-champ $z={\frac {\lambda '}{g}}$ pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant, et, comme l’équation de condition doit avoir lieu aussi relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à $z$ cette même valeur ${\frac {\lambda '}{g}}.$

Cette équation deviendra donc par là de cette forme

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)-g\varphi ''=0,$

et, substituant encore pour $\varphi ''$ sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci

${\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right]=0,$

dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de $\lambda '$ sa valeur

${\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}\,;$

et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer $\varphi '$ en fonction de $x,\,y,\,t.$

Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide, par l’équation

$z={\frac {1}{g}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2g}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2g}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}\,;$

et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales $p,\,q$ de chaque particule du fluide, on les aurait par les formules (art. 25)

$p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}.$

36. Le calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l’intégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit, et il ne reste d’autre ressource que de simplifier cette équation par quelque limitation.

Nous supposerons pour cela que le fluide, dans son mouvement, ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous du niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées $z$ de la surface supérieure soient toujours très petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales $p$ et $q$ soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités ${\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},\,{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}$ soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité $\varphi '$ soit elle-même infiniment petite.

Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire

${\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}-g{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)-g{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)=0,$

et l’on aura

$z={\frac {1}{g}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},\qquad p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}.$

Cette équation contient donc la théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et, par conséquent, la vraie théorie des ondes formées par les élévations et les abaissements successifs et infiniment petits d’une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La théorie des ondes que Newton a donnée dans la proposition xlvi du Livre II des Principes étant fondée sur la supposition précaire et peu naturelle que les oscillations verticales des ondes soient analogues à celles de l’eau dans un tuyau recourbé, doit être regardée comme absolument insuffisante pour expliquer ce problème.

37. Si l’on suppose que le canal ou bassin ait un fond horizontal, alors la quantité $\alpha$ sera constante et égale à la profondeur de l’eau, et l’équation pour le mouvement des ondes deviendra

${\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=g\alpha \left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right).$

Cette équation est entièrement semblable à celle qui détermine les petites agitations de l’air dans la formation du son, en n’ayant égard qu’au mouvement des particules parallèlement à l’horizon, comme on le verra dans l’article 9 de la Section suivante. Les élévations $z$ au-dessus du niveau de l’eau répondent aux condensations de l’air, et la profondeur $\alpha$ de l’eau dans le canal répond à la hauteur de l’atmosphère supposée homogène, ce qui établit une parfaite analogie entre les ondes formées à la surface d’une eau tranquille, par les élévations et les abaissements successifs de l’eau, et les ondes formées dans l’air, par les condensations et raréfactions successives de l’air, analogie que plusieurs auteurs avaient déjà supposée, mais que personne jusqu’ici n’avait encore rigoureusement démontrée.

Ainsi, comme la vitesse de la propagation du son se trouve égale à celle qu’un corps grave acquerrait en tombant de la moitié de la hauteur de l’atmosphère supposée homogène, la vitesse de la propagation des ondes sera la même que celle qu’un corps grave acquerrait en descendant d’une hauteur égale à la moitié de la profondeur de l’eau dans le canal. Par conséquent, si cette profondeur est d’un pied, la vitesse des ondes sera de $5{,}495$ pieds par seconde ; et si la profondeur de l’eau est plus ou moins grande, la vitesse des ondes variera en raison sous-doublée des profondeurs, pourvu qu’elles ne soient pas trop considérables.

Au reste, quelle que puisse être la profondeur de l’eau^[4] et la figure de son fond, on pourra toujours employer la théorie précédente, si l’on suppose que, dans la formation des ondes, l’eau n’est ébranlée et remuée qu’à une profondeur très petite, supposition qui est très plausible en elle-même, à cause de la ténacité et de l’adhérence mutuelle des particules de l’eau, et que je trouve d’ailleurs confirmée par l’expérience, même à l’égard des grandes ondes de la mer. De cette manière donc, la vitesse des ondes déterminera elle-même la profondeur $\alpha$ à laquelle l’eau est agitée dans leur formation ; car, si cette vitesse est de $n$ pieds par seconde, on aura

$\alpha ={\frac {n^{2}}{30{,}196}}$ pieds.

On trouve, dans le Tome X des anciens Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, des expériences sur la vitesse des ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donné un pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exactement $1{,}412$ pieds par seconde. Faisant donc $n=1{,}412,$ on aura la profondeur $\alpha$ de ${\frac {66}{1000}}$ de pied, savoir de ${\frac {8}{10}}$ de pouce, ou $10$ lignes à peu près.

1. Cette fin de l’article 6 ne se trouve pas dans la première édition. (J. Bertrand.)
   
2. Il semble qu’il faudrait plutôt : il faut, en vertu de l’équation (L), que la quantité suivante soit une différentielle exacte. (J. Bertrand.)
   
3. Il ne faut pas croire que toute intégrale de cette équation fournisse la solution du problème : la fin du paragraphe montre, au contraire, que la fonction $\varphi$ est assujettie à d’autres conditions. (J. Bertrand.)
   
4. L’hypothèse que fait ici Lagraage n’est pas admissible, même comme première approximation. Voir une Note à la fin du Volume. (J. Bertrand.)