Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Mémoire sur l’utilité de la méthode de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations

Joseph-Louis Lagrange

Mémoire sur l’utilité de la méthode de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations, dans lequel on examine les avantages de cette méthode par le calcul des probabilités, et où l’on résout différents Problèmes relatifs à cette matière

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 173-234).

MÉMOIRE

SUR

L’UTILITÉ DE LA MÉTHODE DE PRENDRE LE MILIEU

ENTRE

LES RÉSULTATS DE PLUSIEURS OBSERVATIONS,

DANS LEQUEL ON EXAMINE LES AVANTAGES DE CETTE MÉTHODE PAR LE CALCUL DES PROBABILITÉS, ET OÙ L’ON RÉSOUT DIFFÉRENTS PROBLÈMES RELATIFS À CETTE MATIÈRE.

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(Miscellanea Taurinensia, t. V, 1770-1773.)

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Quand on a plusieurs observations d’un même phénomène dont les résultats ne sont pas tout à fait d’accord, on est sûr que ces observations sont toutes, ou au moins en partie, peu exactes, de quelque source que l’erreur puisse provenir ; alors on a coutume de prendre le milieu entre tous les résultats, parce que de cette manière, les différentes erreurs se répartissant également dans toutes les observations, l’erreur qui peut se trouver dans le résultat moyen devient aussi moyenne entre toutes les erreurs. Or, quoique tout le monde reconnaisse l’utilité de cette pratique pour diminuer, autant qu’il est possible, l’incertitude qui naît de l’imperfection des instruments et des erreurs inévitables des observations, j’ai cru cependant qu’il serait bon d’examiner et d’apprécier par le calcul les avantages qu’on peut espérer de retirer d’une semblable méthode ; c’est l’objet que je me suis proposé dans ce Mémoire. Je commencerai par supposer que les erreurs qui peuvent se glisser dans chaque observation soient données, et qu’on connaisse aussi le nombre des cas qui peuvent donner ces erreurs, c’est-à-dire la facilité de chaque erreur ; je supposerai ensuite que l’on connaisse seulement les limites entre lesquelles toutes les erreurs possibles doivent être renfermées avec la loi de leur facilité, et je chercherai dans l’une et dans l’autre de ces hypothèses quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen soit nulle, ou égale à une quantité donnée, ou seulement comprise entre des limites données. Je ferai voir en même temps comjnent on peut déterminer, a posteriori, la loi même de la facilité des erreurs, et quelle est la probabilité que dans cette détermination on ne se trompera pas d’une quantité donnée : d’où je déduirai des règles assez simples pour la correction des instruments par des vérifications réitérées.

Au reste, je suivrai dans toutes ces recherches la règle ordinaire du calcul des probabilités, suivant laquelle on estime la probabilité d’un événement par le nombre des cas favorables, divisé par le nombre de tous les cas possibles. La difficulté ne consiste que dans l’énumération de ces cas ; mais cette énumération demande souvent des calculs assez compliqués, et dont on ne peut venir à bout que par des artifices particuliers : c’est ce qui a lieu surtout dans la matière que je vais traiter.

Problème I.

1. On suppose que dans chaque observation on peut se tromper d’une unité, tant en plus qu’en moins, mais que le nombre des cas qui peuvent donner un résultat exact est au nombre des cas qui peuvent donner une erreur d’une unité comme $a:2b\,;$ on demande quelle est la probabilité d’avoir un résultat exact en prenant le milieu entre les résultats particuliers d’un nombre $n$ d’observations.

Puisqu’il y a a cas qui donnent zéro d’erreur, et $2b$ cas qui donnent $+1$ et $-1,$ c’est-à-dire $b$ cas qui donnent $+1,$ et $b$ cas qui donnent $-1$ d’erreur, il est clair par les règles ordinaires des probabilités que la probabilité que l’erreur soit nulle dans chaque observation particulière sera exprimée par ${\frac {a}{a+2b}}\,:$ voyons donc quelle sera ∣a probabilité que l’erreur soit aussi nulle en prenant le milieu entre $n$ observations. Il est facile de, voir que cette question se réduit à celle-ci :

Ayant $n$ dés dont chacun, ait $a$ faces marquées d’un zéro, $b$ faces marquées d’une unité positive, et $b$ faces marquées d’une unité négative, en sorte que le nombre total des faces soit $a+2b,$ trouver la probabilité qu’il y a d’amener zéro en jetant tous ces dés au hasard.

Or on sait, par la théorie des combinaisons, que si on élève le trinôme $a+b\left(x+x^{-1}\right)$ à la puissance $n,$ le coefficient du terme absolu, c’est-à-dire de celui où la puissance de $x$ sera zéro, dénotera le nombre des cas ou des hasards où la somme des points marqués par tous les dés sera égale à zéro : donc, nommant ce coefficient $\mathrm {A} ,$ on aura, à cause que le nombre de toutes les combinaisons possibles est $(a+2b)^{n},$ on aura, dis-je ${\frac {\mathrm {A} }{(a+2b)^{n}}}$ pour la probabilité cherchée.

Tout se réduit donc à trouver le coefficient de $\mathrm {A} \,;$ or, c’est à quoi l’on peut parvenir de plusieurs manières différentes.

1^o Si on développe la puissance $\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}$ suivant le théorème de Newton, on aura, comme on sait,

$a^{n}+na^{n-1}b\left(x+x^{-1}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\left(x+x^{-1}\right)^{2}+\ldots \,;$

or, il est facile de voir que les puissances impaires de $x+x^{-1}$ ne renferment aucun terme sans $x,$ et que, dans les puissances paires, il y a toujours un terme sans $x,$ qui est celui du milieu, dans lequel les exposants de $x$ et $x^{-1}$ sont les mêmes. Ainsi, le terme sans $x$ de sera $2,$ celui de $\left(x+x^{-1}\right)^{4}$ sera ${\frac {4.3}{1.2}},$ celui de $\left(x+x^{-1}\right)^{6}$ sera ${\frac {6.5.4}{1.2.3}},$ et ainsi des autres ; donc on aura en général

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+{\frac {2}{1}}{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4.3}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-5)}{1.2.3.4.5.6}}a^{n-6}b^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+n(n-1)a^{n-2}b^{2}\\&+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.2}}a^{n-4}b^{4}+{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-5)}{2.3.2.3}}a^{n-6}b^{6}+\ldots .\end{aligned}}$

2^o Il est visible que le trinôme $a+b\left(x+x^{-1}\right)$ peut se décomposer en ces deux binômes $\alpha +\beta x,\alpha +\beta x^{-1},$ ce qui donne, par la comparaison des termes, $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=a$ et $\alpha \beta =b\,;$ d’où l’on tire $\alpha \pm \beta ={\sqrt {a\pm 2b}},$ et delà

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {{\sqrt {a+2b}}+{\sqrt {a-2b}}}{2}},\\\beta =&{\frac {{\sqrt {a+2b}}-{\sqrt {a-2b}}}{2}}.\end{aligned}}$

Cela posé, on aura donc

${\begin{aligned}\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=&(\alpha +\beta x)^{n}\left(\alpha +{\frac {\beta }{x}}\right)^{n}\\=&\left[\alpha ^{n}+n\alpha ^{n-1}\beta x+{\frac {n(n-1)}{2}}\alpha ^{n-2}\beta ^{2}x^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\alpha ^{n}+{\frac {n\alpha ^{n-1}\beta }{x}}+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {\alpha ^{n-2}\beta ^{2}}{x^{2}}}+\ldots \right],\end{aligned}}$

d’où il est facile de conclure que l’on aura

$\mathrm {A} =\alpha ^{2n}+\left(n\alpha ^{n-1}\beta \right)^{2}+\left[{\frac {n(n-1)\alpha ^{n-2}\beta ^{2}}{1.2}}\right]^{2}+\left[{\frac {n(n-1)(n-2)\alpha ^{n-3}\beta ^{3}}{1.2.3}}\right]^{2}+\ldots .$

2. Corollaire I. — Soit $a=b,$ c’est-à-dire qu’il y ait un nombre égal de cas qui donnent $0,$ ou $+1,$ ou $-1$ d’erreur ; la probabilité d’avoir un résultat exact dans chaque observation particulière sera ${\frac {a}{a+2b}}={\frac {1}{3}},$ et celle d’avoir un résultat exact, en prenant le terme moyen entre les résultats de $n$ observations, sera, suivant la première formule ${\biggl [}{\biggr .}$ en divisant le haut et le bas de la fraction ${\frac {\mathrm {A} }{(a+2b)^{n}}}$ par ${\biggl .}a^{n}{\biggr ]},$

${\frac {1+n(n-1)+{\cfrac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.1.2}}+{\cfrac {n(n-1)\ldots (n-5)}{1.2.3.1.2.3}}+\ldots }{3^{n}}}.$

Donc, en faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura

${\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {7}{27}},&{\cfrac {19}{81}},&{\cfrac {51}{243}},&{\cfrac {141}{729}},\ldots .\end{array}}$

On voit par cette table que la probabilité que l’erreur soit nulle diminue à mesure que l’on prend un plus grand nombre d’observations, de sorte que si l’on voulait estimer l’avantage qu’il peut y avoir à prendre le milieu entre plusieurs observations, par l’excès de la probabilité que l’erreur soit nulle dans le résultat moyen, sur celle que l’erreur soit aussi nulle dans chaque résultat particulier, on trouveraitr dans le cas dont il s’agit ici, que l’avantage serait toujours négatif, c’est-à-dire qu’il se changerait en désavantage, lequel irait même en augmentant plus il y aurait d’observations ; d’où il semble que l’on pourrait conclure que, dans ce cas, il vaudrait mieux s’en tenir à une observation unique, que de prendre le milieu entre plusieurs observations ; mais il y a une considération essentielle à faire sur cette matière, de laquelle il résulte qu’il est toujours plus avantageux dans la pratique de multiplier des observations autant que l’on peut : c’est ce que nous discuterons plus bas.

3. Corollaire II. — Soit maintenant $a=2b,$ en sorte que le nombre des cas qui donnent un résultat exact soit égal au nombre de ceux qui peuvent donner une erreur de $+1$ ou $-1.$ Dans ce cas, il vaudra mieux se servir de la seconde formule, car on aura $\alpha ={\sqrt {b}},\ \beta ={\sqrt {b}},$ de sorte qu’à cause de $a+2b=4b,$ on aura, en divisant le haut et le bas de la fraction ${\frac {\mathrm {A} }{(a+2b)^{n}}}$ par $b^{n},$

${\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}}$

pour la probabilité que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre $n$ observations.

Donc, faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura les résultats suivants

${\begin{array}{lcccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{2}},&{\cfrac {3}{8}},&{\cfrac {5}{16}},&{\cfrac {35}{128}},\ldots .\end{array}}$

où l’on voit que la probabilité diminue à mesure que $n$ augmente, comme dans le cas du Corollaire précédent.

4. Corollaire III. — Soit $b=2a,$ de manière que le nombre des cas qui peuvent donner une erreur d’une unité tant en plus qu’en moins soit double de celui où l’on aurait un résultat exact, on aura ici, pour la probabilité que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre $n$ observations,

${\frac {1+4n(n-1)+{\cfrac {16n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.2}}+{\cfrac {26n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3.2.3}}+\ldots }{5^{n}}}.$

Donc, faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura

${\begin{array}{lcccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{5}},&{\cfrac {9}{25}},&{\cfrac {1}{5}},&{\cfrac {29}{125}},\ldots .\end{array}}$

Ainsi, pour deux observations, l’avantage sera de ${\frac {9}{25}}-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{25}},$ pour trois il sera de ${\frac {1}{5}}-{\frac {1}{5}}=0,$ pour quatre égal à ${\frac {29}{125}}-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{125}},$ etc. ; d’où il paraît que le plus grand avantage a lieu en prenant le milieu entre deux observations seulement.

5. Remarque I. — Pour faciliter davantage la solution du Problème précédent, il est bon de chercher la loi que suivent les termes de la série qui représentent les probabilités qui répondent à $1,2,3,\ldots ,$ observations ; or, si l’on prend la fraction ${\frac {1}{1-z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]}},$ et qu’on la développe en série suivant les puissances de $z,$ on aura, comme on sait,

$1+z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]+z^{2}\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{2}+\ldots ,$

de sorte que dans cette série le coefficient de $z^{n}$ sera la puissance $n$^ième de $a+b\left(x+x^{-1}\right)$ donc, si l’on nomme $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {A}$ qui répondent à $n=1,2,3,\ldots ,$ c’est-à-dire les termes sans $x$ des puissances $a+b\left(x+x^{-1}\right),\ \left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{2},\ldots ,$ il est clair que la série $1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\mathrm {A} '''z^{3}+\ldots$ sera égale à la somme des termes sans $x$ de la fraction ${\frac {1}{1-z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]}}$ développée suivant les puissances de $x$ et de $x^{-1}\,;$ de sorte que si l’on représente par

$\mathrm {Z+Z'} \left(x+{\frac {1}{x}}\right)+\mathrm {Z} ''\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+\ldots$

la série qui résulte du développement de cette fraction suivant les puissances de $x$ et de ${\frac {1}{x}}$ (car il est facile de voir que la série dont il s’agit doit avoir nécessairement cette forme), on aura

$\mathrm {Z} =1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\ldots ;$

ainsi, connaissant la fonction $\mathrm {Z} ,$ il n’y aura plus qu’à la réduire en série suivant les puissances de $z,$ pour avoir les quantités $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots .$ Pour cela, je réduis d’abord le trinôme

$1-az-bz\left(x+x^{-1}\right)\quad {\text{en}}\quad (p-qx)\left(p-qx^{-1}\right),$

ce qui me donne

$p^{2}+q^{2}=1-az\quad {\text{et}}\quad pq=bz\,;$

ensuite, je réduis la fraction

${\frac {1}{(p-qx)\left(p-qx^{-1}\right)}}\quad {\text{en}}\quad \alpha +{\frac {\beta }{p-qx}}+{\frac {\beta }{p-qx^{-1}}},$

et je trouve

$\alpha ={\frac {1}{q^{2}-p^{2}}},\quad \beta ={\frac {p}{p^{2}-q^{2}}}\,;$

maintenant,

${\frac {1}{(p-qx)}}={\frac {1}{p}}+{\frac {qx}{p^{2}}}+{\frac {q^{2}x^{2}}{p^{3}}}+\ldots ,$

et, de même,

${\frac {1}{(p-qx^{-1})}}={\frac {1}{p}}+{\frac {q}{p^{2}x}}+{\frac {q^{2}}{p^{3}x^{2}}}+\ldots \,;$

donc on aura

$\mathrm {Z} =\alpha +{\frac {2\beta }{p}},\quad \mathrm {Z} '=\alpha +{\frac {\beta q}{p^{2}}},\quad \mathrm {Z} ''=\alpha +{\frac {\beta q^{2}}{p^{3}}},\quad \mathrm {Z} '''=\alpha +{\frac {\beta q^{3}}{p^{4}}},\ldots \,;$

donc

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{q^{2}-p^{2}}}+{\frac {2}{p^{2}-q^{2}}}={\frac {1}{p^{2}-q^{2}}}={\frac {1}{(p+q)(p-q)}}\,;$

mais puisque $p^{2}+q^{2}=1-az,$ et $pq=bz,$ on aura

$p+q={\sqrt {1-az+2bz}},\quad p-q={\sqrt {1-az-2bz}}\,;$

donc

$(p+q)(p-q)={\sqrt {(1-az)^{2}-4b^{2}z^{2}}}\,;$

donc enfin

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}}}=1+\mathrm {A} 'z+\mathrm {A} ''z^{2}+\mathrm {A} '''z^{3}+\ldots ,$

de sorte que l’on aura, pour les fonctions connues,

${\begin{aligned}\mathrm {A} '\ \ &=a,\\\mathrm {A} ''\ &={\frac {3a\mathrm {A} '+4b^{2}-a^{2}}{2}},\\\mathrm {A} '''&={\frac {5a\mathrm {A} ''+2\left(4b^{2}-a^{2}\right)\mathrm {A} '}{3}},\\\mathrm {A} ^{\text{ıv}}&={\frac {7a\mathrm {A} '''+3\left(4b^{2}-a^{2}\right)\mathrm {A} ''}{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Dénotons par $\mathrm {P',P'',P'''}$ les probabilités que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre $1,2,3,\ldots ,$ observations, et l’on aura

$\mathrm {P} '={\frac {\mathrm {A} '}{a+2b}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {\mathrm {A} ''}{(a+2b)^{2}}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {\mathrm {A} '''}{(a+2b)^{3}}},\ldots ,$

d’où

$\mathrm {A} '=(a+2b)\mathrm {P} ',\quad \mathrm {A} ''=(a+2b)^{2}\mathrm {P} '',\quad \mathrm {A} '''=(a+2b)^{3}\mathrm {P} ''',\ldots ,$

donc, substituant ces valeurs dans les formules précédentes et faisant, pour plus de simplicité, ${\frac {2b}{a}}=r,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} '\ \ &={\frac {1}{1+r}},\\\mathrm {P} ''\ &={\frac {3\mathrm {P} '+r-1}{2(1+r)}},\\\mathrm {P} '''&={\frac {5\mathrm {P} ''+2(r-1)\mathrm {P} '}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{ıv}}&={\frac {7\mathrm {P} '''+3(r-1)\mathrm {P} ''}{3(1+r)}},\\\mathrm {P} ^{\text{v}}\,&={\frac {9\mathrm {P} ^{\text{ıv}}+4(r-1)\mathrm {P} '''}{5(1+r)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

6. Remarque II. — Si l’on fait $r=1,$ on aura le cas du Corollaire II, où $a=2b,$ et l’on trouvera

$\mathrm {P} '={\frac {1}{2}},\quad \mathrm {P} ''={\frac {1.3}{2.4}},\quad \mathrm {P} '''={\frac {1.3.5}{2.4.6}},\ldots ,$

et, en général,

$\mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots 2n}}.$

De là on voit que la probabilité diminue toujours à mesure que $n$ augmente, ce que nous avons déjà observé dans le Corollaire cité ; de sorte qu’en prenant $n=\infty ,$ la probabilité deviendra infiniment petite ou nulle ; en effet, par la quadrature de Wallis on a ( $\pi$ étant l’arc de $180$ degrés)

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots }{1.3.3.5.5.7\ldots }},$

c’est-à-dire, en prenant $n=\infty ,$

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2.2.4.4.6.6\ldots 2n.2n}{1.3.3.5.5.\ldots (2n-1)(2n-1)(2n+1)}}\,;$

donc, multipliant par $2n+1$ et tirant la racine carrée, on aura

${\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}={\frac {2.4.6\ldots 2n}{1.3.5\ldots (2n-1)}}\,;$

donc, lorsque $n=\infty ,$ on aura

$\mathrm {P} ^{(n)}={\frac {1}{\sqrt {n\pi }}}=0.$

Il est bon de remarquer que, puisque nous avons trouvé dans le Corollaire cité pour la probabilité $\mathrm {P} ^{n}$ l’expression

${\frac {1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots }{4^{n}}},$

on aura, en comparant cette expression avec la précédente, l’équation

$1+n^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)}{2}}\right]^{2}+\left[{\cfrac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\right]^{2}+\ldots ={\frac {1.2.3\ldots (2n-1)}{1.2.3\ldots n}}2^{n},$

laquelle est d’autant plus remarquable qu’elle ne paraît pas aisée à démontrer à priori.

7. Remarque III. — Par les formules de la Remarque I, on aura en général

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {(2n-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}+(n-1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{n(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {(2n+1)\mathrm {P} ^{(n)}+n(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{(n+1)(r+1)}},\\\mathrm {P} ^{(n+2)}&={\frac {(2n+3)\mathrm {P} ^{(n+1)}+(n+1)(r-1)\mathrm {P} ^{(n)}}{(n+2)(r+1)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où les exposants $n-2,n-1,n,$ etc., de $\mathrm {P}$ ne dénotent pas des puissances, mais seulement le quantième du rang. Or, si $n$ est un nombre assez grand, il est clair que les fractions ${\frac {2n-1}{n}},{\frac {2n+1}{n+1}},{\frac {2n+3}{n+2}},$ seront à très-peu près égalés à $2,$ et que les fractions ${\frac {n-1}{n}},{\frac {n}{n+1}},{\frac {n+1}{n+2}},$

seront aussi à très-peu près égales à $1\,;$ de sorte qu’on aura, dans cette hypothèse,

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n)}=&{\frac {\mathrm {P} ^{(n-1)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-2)}}{r+1}},\\\mathrm {P} ^{(n+1)}&={\frac {\mathrm {P} ^{(n)}+(r-1)\mathrm {P} ^{(n-1)}}{r+1}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les quantités $\mathrm {P} ^{(n)},\mathrm {P} ^{(n+1)},$ etc., forment une suite récurrente dont le dénominateur de la fraction génératrice serait

$x^{2}-{\frac {x}{r+1}}-{\frac {r-1}{r+1}}\,;$

ainsi, on aura en général

$\mathrm {P} ^{(n+s)}=\mathrm {A} \left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}+\mathrm {B} \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},$

et, pour déterminer les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on supposera que les termes $\mathrm {P} ^{(n)}$ et $\mathrm {P} ^{(n+1)}$ soient connus, ce qui donnera

$\mathrm {P} ^{(n)}=\mathrm {A} +\mathrm {B}$

et

$\mathrm {P} ^{(n+1)}=\mathrm {A} {\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}+\mathrm {B} {\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}},$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\left(1-{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {\left(1+{\sqrt {4r^{2}-3}}\right)\mathrm {P} ^{(n)}-2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{(n+s)}&=\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}+{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\\&+\left[{\frac {\mathrm {P} ^{(n)}}{2}}-{\frac {2(1+r)\mathrm {P} ^{(n+1)}-\mathrm {P} ^{(n)}}{2{\sqrt {4r^{2}-3}}}}\right]\left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s},\end{aligned}}$

et cette formule sera d’autant plus exacte qu’on prendra le nombre $n$ plus grand.

Ainsi, après avoir calculé les termes $\mathrm {P} ^{(n)}$ et $\mathrm {P} ^{(n+1)},$ soit par les formules du n^o 1, soit par celles de la Remarque I, on pourra trouver à très-peu près tous les termes suivants par la formule précédente.

Au reste, il est facile de voir par cette formule que la probabilité sera nulle à l’infini, c’est-à-dire lorsque $s=\infty \,;$ en effet, il est clair que quel que soit $r,$ pourvu que ce soit un nombre positif, les quantités ${\frac {1\pm {\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}$ seront toujours plus petites que $1\,;$ car supposons, s’il est possible, ${\frac {1\pm {\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}>1,$ on aura donc

$4r^{2}-2\pm 2{\sqrt {4r^{2}-3}}>4\left(1+2r+r^{2}\right),$

savoir

$\pm {\sqrt {4r^{2}-3}}>3+4r,$

et

$4r^{2}-3>16r^{2}+24r+9,$

savoir

$0>12r^{2}+24r+12,$

ce qui ne se peut ; donc, en faisant $s=\infty ,$ les quantités

$\left[{\frac {1+{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}\quad {\text{et}}\quad \left[{\frac {1-{\sqrt {4r^{2}-3}}}{2(1+r)}}\right]^{s}$

deviendront nulles, et par conséquent $\mathrm {P} ^{(n+s)}$ aussi.

8. Scolie. — Soit $\rho$ le résultat que chaque observation devrait donner si elle était exacte : puisqu’on suppose que l’on puisse se tromper d’une unité tant en plus qu’en moins, on aura dans chaque observation un de ces trois résultats : $\rho ,\rho -1,\rho +1\,;$ donc, si l’on a deux observations et qu’on prenne le milieu entre leurs résultats, c’est-à-dire la demi-somme de ces résultats, on aura un de ces cinq résultats

${\frac {2\rho }{2}},\quad {\frac {2\rho -1}{2}},\quad {\frac {2\rho +1}{2}},\quad {\frac {2\rho -2}{2}},\quad {\frac {2\rho +2}{2}},$

savoir

$\rho ,\quad \rho -{\frac {1}{2}},\quad \rho +{\frac {1}{2}},\quad \rho -1,\quad \rho +1\,;$

ainsi, dans ce cas, l’erreur pourra être $1$ ou ${\frac {1}{2}},$ tant en plus qu’en moins ; on verra de même qu’en prenant le milieu entre trois observations, l’erreur pourra être $1,$ ou ${\frac {2}{3}},$ ou ${\frac {1}{3}},$ tant en plus qu’en moins, et ainsi de suite. Ainsi, quoique la probabilité que l’erreur soit nulle puisse être plus petite lorsqu’on prend le résultat moyen de plusieurs observations que lorsqu’on prend le résultat de chaque observation en particulier, cependant, si on cherche la probabilité que l’erreur ne surpasse pas ${\frac {1}{2}},$ ou ${\frac {1}{3}},\ldots ,$ on trouvera que cette probabilité sera plus grande dans le premier cas que dans le second. En effet, dans le premier cas, il n’y a d’autres cas favorables que ceux où l’erreur est absolument nulle ; mais, dans le second, les cas favorables seront non-seulement ceux où l’erreur est nulle, mais aussi ceux où l’erreur est ${\frac {1}{2}},$ ou ${\frac {1}{3}},\ldots ,$ et c’est par cette considération qu’il est toujours plus avantageux de prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations que de s’en tenir au résultat de chaque observation en particulier. Nous allons examiner la question sous ce point de vue dans le Problème suivant.

Problème II.

9. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème précédent, trouver la probabilité qu’en prenant le milieu entre les résultats de $n$ observations, l’erreur ne surpassera pas la fraction ${\frac {m}{n}},$ $m$ étant $<n.$

En prenant le milieu entre les résultats de $n$ observations, il est clair l’erreur peut être : ou $\pm {\frac {1}{n}},$ ou $\pm {\frac {2}{n}},$ ou $\pm {\frac {3}{n}},\ldots ,$ jusqu’à $\pm {\frac {n}{n}},$ savoir $\pm 1.$ Ainsi, la probabilité que l’erreur ne soit pas plus grande que $\pm {\frac {m}{n}}$ sera la somme des probabilités que l’erreur sera nulle, ou $\pm {\frac {1}{n}},$ ou $\pm {\frac {2}{n}},\ldots ,$ jusqu’à $\pm {\frac {m}{n}}.$ Voyons donc d’abord quelle est la probabilité que l’erreur sera $\pm {\frac {\mu }{n}}.$

En ramenant cette question aux dés, comme nous l’avons pratiqué dans le Problème I, il est clair qu’elle se réduit à chercher la probabilité d’amener $+\mu$ ou $-\mu$ points, avec $n$ dés dont chacun ait $a$ faces marquées $0,$ $b$ faces marquées $+1$ et $b$ faces marquées $-1.$ Pour cela, il n’y a qu’à élever le trinôme $a+b\left(x+x^{-1}\right)$ à la puissance $n,$ et le coefficient de $x^{\mu }$ dénotera le nombre des cas où la somme des points de tous les dés sera $\mu ,$ de même que celui de $x^{-\mu }$ dénotera le nombre des cas où la somme des points sera $-\mu \,;$ ainsi, la somme de ces deux coefficients divisée par $(a+2b)^{n},$ qui est le nombre de tous les cas, donnera la probabilité cherchée.

Or, on a

$\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=a^{n}+na^{n-1}b\left(x+x^{-1}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\left(x+x^{-1}\right)^{2}+\ldots ,$

et, de plus,

${\begin{aligned}\left(x+x^{-1}\right)^{2}&=\left(x^{2}+x^{-2}\right)+2,\\\left(x+x^{-1}\right)^{3}&=\left(x^{3}+x^{-3}\right)+3\left(x+x^{-1}\right),\\\left(x+x^{-1}\right)^{4}&=\left(x^{4}+x^{-4}\right)+4\left(x^{2}+x^{-2}\right)+{\frac {4.3}{2}},\\\left(x+x^{-1}\right)^{5}&=\left(x^{5}+x^{-5}\right)+5\left(x^{3}+x^{-3}\right)+{\frac {5.4}{2}}\left(x+x^{-1}\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on suppose

$\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\mathrm {D} \left(x^{3}+x^{-3}\right)+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+{\frac {2}{1}}{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\\&+{\frac {4.3}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3.4.5.6}}a^{n-6}b^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&na^{n-1}b+{\frac {3}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}a^{n-3}b^{3}\\&+{\frac {5.4}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2.3.4.5}}a^{n-5}b^{5}\\&+{\frac {7.6.5}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-6)}{2.3\ldots 7}}a^{n-7}b^{7}+\ldots ,\\\\\mathrm {C} =&{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4}{1}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3\ldots 6}}a^{n-6}b^{6}\\&+{\frac {8.7.6}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-7)}{1.2\ldots 8}}a^{n-8}b^{8}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si on appelle $\mathrm {M}$ le terme de la série $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ dont le quantième sera $\mu +1,$ il est facile de voir qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu +1)}{1.2\ldots \mu }}a^{n-\mu }b^{\mu }\\&+{\frac {\mu +2}{1}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -1)}{1.2\ldots (\mu +2)}}a^{n-\mu +2}b^{\mu +2}\\&+{\frac {(\mu +4)(\mu +3)}{1.2}}{\frac {n(n-1)\ldots (n-\mu -3)}{1.2\ldots (\mu +4)}}a^{n-\mu +4}b^{\mu +4},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, ce terme $\mathrm {M}$ est le coefficient des puissances $x^{\mu }$ et $x^{-\mu },$ de sorte qu’on aura ${\frac {2\mathrm {M} }{(a+2b)^{n}}}$ pour la probabilité que l’erreur soit $\pm {\frac {\mu }{n}}.$ Ainsi, la probabilité que l’erreur ne surpassera pas $\pm {\frac {\mu }{n}}$ sera représentée par la série

${\frac {\mathrm {A+2B+2C+2D+\ldots +2M} }{(a+2b)^{n}}}.$

Pour faciliter la recherche des valeurs de $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ il est bon de faire voir comment ces quantités dépendent les unes des autres ; pour cela, on reprendra l’équation

$\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]^{n}=\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\mathrm {D} \left(x^{3}+x^{-3}\right)+\ldots ,$

et, prenant les différentielles logarithmiques, on aura, après avoir divisé par ${\frac {dx}{x}},$

${\frac {nb\left(x-x^{-1}\right)}{a+b\left(x+x^{-1}\right)}}={\frac {\mathrm {B} \left(x-x^{-1}\right)+2\mathrm {C} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+\ldots }{\mathrm {A} +\mathrm {B} \left(x+x^{-1}\right)+\mathrm {C} \left(x^{2}+x^{-2}\right)+\ldots }}\,;$

donc, multipliant en croix, il viendra

${\begin{aligned}nb\mathrm {A} &\left(x-x^{-1}\right)+nb\mathrm {B} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+nb\mathrm {C} \left(x^{3}-x^{-3}-x+x^{-1}\right)\\&+nb\mathrm {D} \left(x^{4}-x^{-4}-x^{2}+x^{-2}\right)+\ldots \\=&a\mathrm {B} \left(x-x^{-1}\right)+2a\mathrm {C} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+3a\mathrm {D} \left(x^{3}-x^{-3}\right)+\ldots \\&+b\mathrm {B} \left(x^{2}-x^{-2}\right)+2b\mathrm {C} \left(x^{3}-x^{-3}+x-x^{-1}\right)\\&+3b\mathrm {D} \left(x^{4}-x^{-4}+x^{2}-x^{-2}\right)+\ldots \,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en comparant les termes, on aura

${\begin{aligned}nb(\mathrm {A-C} )&=a\mathrm {B} +2b\mathrm {C} ,\\nb(\mathrm {B-D} )&=2a\mathrm {C} +b(\mathrm {B+3D} ),\\nb(\mathrm {C-E} )&=3a\mathrm {D} +b(\mathrm {2C+4E} ),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où, en faisant pour plus de simplicité ${\frac {a}{b}}=\mathrm {K} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {C} &={\frac {n\mathrm {A-KB} }{n+2}},\\\mathrm {D} &={\frac {(n-1)\mathrm {B-2KC} }{n+3}},\\\mathrm {E} &={\frac {(n-2)\mathrm {C-3KD} }{n+4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi, en connaissant les deux premiers termes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on pourra trouver successivement tous les autres.

10. Corollaire. — Supposons, comme dans le n^o 2, $a=b,$ en sorte que l’on ait $\mathrm {K} =1,$ et, faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ et

$a=1,$ ce qui est permis, on trouvera les valeurs suivantes

${\begin{array}{rrrrrrrr}n&&\mathrm {A} &&\mathrm {B} &&\mathrm {C} &&\mathrm {D} &&\mathrm {E} &&\mathrm {F} &&\mathrm {G} \ldots ,\\1&\ \ &1&\ \ &1&\ \ &0&\ \ &0&\ \ &0&\ \ &0&\ \ &0\ldots ,\\2&&3&&2&&1&&0&&0&&0&&0\ldots ,\\3&&7&&6&&3&&1&&0&&0&&0\ldots ,\\4&&19&&16&&10&&4&&1&&0&&0\ldots ,\\5&&51&&45&&30&&15&&5&&1&&0\ldots ,\\6&&141&&126&&90&&50&&21&&6&&1\ldots ,\end{array}}$

................................................

De là on formera la table suivante des probabilités :

${\begin{array}{|c|c|}\hline \ \ \ ^{\mathrm {VALEURS} }\ \ \ &^{\mathrm {PROBABILIT{\acute {E}}S\ QUE\ L'ERREUR\ NE\ SURPASSERA\ PAS\ LES\ FRACTIONS} }\\^{\mathrm {du} }\\^{\mathrm {nombre} \ n}&\overbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } \\\end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c}^{\mathrm {des} }\\^{\mathrm {observations.} }&\ \pm {\cfrac {0}{n}}.&\ \pm {\cfrac {1}{n}}.&\ \pm {\cfrac {2}{n}}.&\ \pm {\cfrac {3}{n}}.&\ \pm {\cfrac {4}{n}}.&\,\ \pm {\cfrac {5}{n}}.\\\\\hline \\1&{\cfrac {1}{3}}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\2&{\cfrac {3}{9}}&{\cfrac {7}{9}}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\3&{\cfrac {7}{27}}&{\cfrac {19}{27}}&{\cfrac {25}{27}}&\ldots &\ldots &\ldots \\4&{\cfrac {19}{81}}&{\cfrac {51}{81}}&{\cfrac {71}{81}}&{\cfrac {79}{81}}&\ldots &\ldots \\5&{\cfrac {51}{243}}&{\cfrac {141}{243}}&{\cfrac {201}{243}}&{\cfrac {231}{243}}&{\cfrac {241}{243}}&\ldots &\\6&{\cfrac {141}{729}}&{\cfrac {393}{729}}&{\cfrac {573}{729}}&{\cfrac {673}{729}}&{\cfrac {715}{729}}&{\cfrac {727}{729}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\\\hline \end{array}}$

On voit, par cette table, qu’en prenant le milieu entre deux observations, la probabilité que l’erreur soit nulle sera ${\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}},$ et celle que l’erreur ne surpassera pas ${\frac {1}{2}}$ tant en plus qu’en moins sera ${\frac {7}{9}}\,;$ or, dans chaque observation particulière, il y a ${\frac {1}{3}}$ de probabilité que l’erreur sera $0,$ et comme, par hypothèse, l’erreur ne peut être que $0$ ou $\pm 1$ il est clair que la probabilité que l’erreur ne surpassera pas ${\frac {1}{2}}$ sera de même ${\frac {1}{3}}.$ Ainsi, quoique la probabilité que l’erreur sera nulle soit la même, soit qu’on prenne le résultat moyen entre deux observations, ou qu’on prenne le résultat particulier d’une observation unique, cependant la probabilité que l’erreur ne surpassera pas ${\frac {1}{2}}$ sera plus grande dans le premier cas a dans le second, ces deux probabilités étant comme ${\frac {7}{9}}:{\frac {1}{3}},$ c’est-à-dire dans la raison de $7:3.$

De même, en prenant le milieu entre trois observations, on aura ${\frac {7}{27}}$ pour la probabilité que l’erreur sera nulle, ${\frac {19}{27}}$ pour la probabilité que l’erreur ne sera pas plus grande que $\pm {\frac {1}{3}}$ et ${\frac {25}{27}}$ pour celle que l’erreur ne sera pas plus grande que $\pm {\frac {2}{3}}\,;$ mais dans chaque observation particulière la probabilité que l’erreur soit nulle est et celle que l’erreur ne surpasse pas ${\frac {1}{3}}$ ou ${\frac {2}{3}}$ est de même ${\frac {1}{3}},$ parce que par hypothèse l’erreur ne peut être que nulle ou $\pm 1\,;$ donc la probabilité que l’erreur soit nulle sera à la vérité plus grande dans le résultat particulier d’une observation unique que dans le résultat moyen de trois observations, et cela dans la raison de $9:7\,:$ mais en revanche la probabilité que l’erreur ne surpassera pas $\pm {\frac {1}{3}}$ sera plus grande dans le second cas que dans le premier en raison de $19:9,$ et celle que l’erreur ne surpassera pas $\pm {\frac {2}{3}}$ le sera encore davantage, cette probabilité étant, dans le second cas, plus grande que dans le premier en raison de $25:9.$

Voilà donc en quoi consiste principalement l’avantage qu’il y a à prendre le milieu entre les résultats de plusieurs observations. Pour rendre la chose encore plus sensible » nous allons rechercher les probabilités que l’erreur ne surpassera pas la fraction en supposant successivement $n$ égal à 1,2,3,\ldots, c’est-à-dire pour une observation unique, pour deux, pour trois,\ldots, et nous aurons

${\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{3}},&{\cfrac {7}{9}},&{\cfrac {19}{27}},&{\cfrac {71}{81}},&{\cfrac {201}{243}},&{\cfrac {673}{729}},\ldots .\end{array}}$

ou bien, en réduisant au même dénominateur $729,$

${\begin{array}{lcccccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,&5,&6,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {243}{729}},&{\cfrac {567}{729}},&{\cfrac {513}{729}},&{\cfrac {629}{729}},&{\cfrac {603}{729}},&{\cfrac {673}{729}},\ldots .\end{array}}$

On voit par là que la probabilité que l’erreur ne surpassera pas \frac{1}{2} va en augmentant, à mesure que l’on prend un plus grand nombre d’observations, mais avec cette différence que la probabilité est plus grande pour deux observations que pour trois, pour quatre que pour cinq, et en général pour un nombre pair quelconque que pour le nombre impair qui le suit immédiatement ; de sorte que, dans l’hypothèse dont il s’agit, il est plus avantageux de ne prendre le milieu qu’entre un nombre quelconque pair d’observations.

11. Remarque. — Nous avons vu dans le n^o 5 que si l’on développe la fraction $1-z\left[a+b\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]$ en une série de cette forme,

$\mathrm {Z} +\mathrm {Z} '\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+\mathrm {Z} ''\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+\ldots ,$

$\mathrm {Z,Z',Z''} ,\ldots$ étant des fonctions de $z,$ on aura

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{p^{2}-q^{2}}},\quad \mathrm {Z} '={\frac {\beta q}{p^{2}}}={\frac {q}{p}}\mathrm {Z} ,\quad \mathrm {Z} ''={\frac {\beta q^{2}}{p^{3}}}={\frac {q}{p}}\mathrm {Z} ',\ldots ,$

$p$ et $g$ étant telles que

$p^{2}+q^{2}=1-az\quad {\text{et}}\quad pq=bz,$

ce qui donne

$p^{2}-q^{2}={\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}},$

et, de là,

${\frac {q}{p}}={\frac {1-az-{\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}}}{2bz}}\,;$

de sorte qu’en faisant, pour plus de simplicité,

$\zeta ={\sqrt {1-2az+\left(a^{2}-4b^{2}\right)z^{2}}},$

on aura

$\mathrm {Z} ={\frac {1}{\zeta }},\quad \mathrm {Z} '={\frac {1-az-\zeta }{2bz}}{\frac {1}{\zeta }},\quad \mathrm {Z} ''=\left({\frac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{2}{\frac {1}{\zeta }}.$

et en général

$\mathrm {Z} ^{(\mu )}=\left({\frac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu }{\frac {1}{\zeta }},$

Or, si l’on développe cette quantité en une série de puissances rationnelles et entières de $z,$ on verra aisément, par ce que nous avons dit plus haut, que le coefficient d’une puissance quelconque, comme $z^{n},$ dénotera le nombre des cas où la somme des erreurs de $n$ observations pourra être $+\mu$ ou $-\mu ,$ de sorte que le double de ce coefficient exprimera le nombre de tous les cas où l’erreur moyenne sera $\pm {\frac {\mu }{n}}.$ De là il est facile jn de conclure que la quantité

${\frac {1+2{\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}+2\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{2}+\ldots +2\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu }}{\zeta }},$

étant regardée comme une fonction de $z$ et développée suivant les puissances de cette variable, donnera une série de telle nature que le coefficient d’une puissance quelconque $z^{n}$ exprimera justement le nombre de cas où l’erreur moyenne pourra être renfermée dans ces limites $-{\frac {\mu }{n}},+{\frac {\mu }{n}}\,;$ de sorte que, ce coefficient étant divisé par le nombre total de cas $(a+2b)^{n},$ on aura la valeur de la probabilité que l’erreur moyenne

ne surpassera pas la fraction ${\frac {\mu }{n}},$ soit en plus ou en moins. Or, la quantité dont il s’agit n’étant autre chose qu’une série géométrique, elle peut se mettre sous cette forme plus simple

$2{\frac {1-\left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)^{\mu +1}}{\zeta \left({\cfrac {1-az-\zeta }{2bz}}\right)}}-{\frac {1}{\zeta }}.$

Ainsi, toute la difficulté consistera à réduire cette même quantité en série infinie qui procède suivant les puissances de $z.$ Pour en venir plus facilement à bout, on la supposera égale à une indéterminée $y,$ et l’on aura une équation entre $y$ et $z,$ qu’on pourra par des différentiations délivrer, tant de la puissance $\mu +1$ que de l’irrationnalité de $\zeta \,;$ par ce moyen, on aura une équation différentielle du second degré entre $y$ et $z,$ et il n’y aura plus qu’à supposer $y=1+\mathrm {A} z+\mathrm {B} z^{2}+\ldots ,$ et déterminer les coefficients $\mathrm {A,B} ,\ldots$ par la comparaison des termes.

Au reste, comme ce calcul est un peu long, nous nous contenterons de l’indiquer ici, pour mettre sur la voie ceux qui voudront pousser cette théorie plus loin.

12. Scolie. — Nous avons supposé dans les deux Problèmes précédents qu’il y avait un nombre égal de cas pour avoir une erreur positive et pour en avoir une négative ; si cela n’était pas ainsi, et que le nombre des cas qui donneraient $0,+1$ et $-1$ d’erreur fussent $a,b$ et $c,$ alors on pourrait résoudre les Problèmes avec la même facilité en considérant le trinôme $a+bx+cx^{-1},$ à la place de $a+b\left(x+x^{-1}\right),$ pour avoir le nombre des cas où l’on aurait une erreur moyenne donnée, et en prenant ensuite $(a+b+c)^{n}$ pour avoir le nombre total des cas à la place de $(a+2b)^{n}.$ On pourrait même, sans faire un nouveau calcul, adapter à ce cas-ci les formules que nous avons déjà trouvées ; car si dans le trinôme $a+bx+{\frac {c}{x}}$ on met $x{\sqrt {\frac {c}{b}}}$ à la place de $x,$ il deviendra $a+{\sqrt {bc}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\,;$ ainsi, il n’y aura qu’à mettre dans le trinôme $a+b\left(x+{\frac {1}{x}}\right)$ des Problèmes précédents ${\sqrt {bc}}$ à la place de $b,$ et ensuite $x{\sqrt {\frac {b}{c}}}$ à la place de $x.$ Du reste, nous allons traiter ce cas d’une manière beaucoup plus générale dans le Problème suivant.

Problème III

13. Supposant que chaque observation soit sujette à une erreur d’une unité en moins et à une erreur de $r$ unités en plus, et que le nombre des cas qui peuvent donner $0,-1,+r$ d’erreur soit respectivement $a,b,c,$ on demande quelle est la probabilité que l’erreur moyenne de plusieurs observations sera renfermée dans des limites données.

Soit $n$ le nombre des observations dont on veut prendre le milieu : on formera la puissance $n$^ième du trinôme $a+{\frac {b}{x}}+cx^{r},$ et le coefficient d’une puissance quelconque $x^{\mu }$ dénotera le nombre des cas où la somme des erreurs sera $\mu ,$ et par conséquent où l’erreur moyenne sera ${\frac {\mu }{n}}.$ Considérons donc la quantité

$\left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n},$

laquelle se réduit à

${\frac {\left[b+x\left(a+cx^{r}\right)\right]^{n}}{x^{n}}},$

et l’on aura, comme on sait,

$\left[b+x\left(a+cx^{r}\right)\right]^{n}=b^{n}+nb^{n-1}x\left(a+cx^{r}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}b^{n-2}x^{2}\left(a+cx^{r}\right)^{2}+\ldots ,$

d’où il est facile de voir que le coefficient d’une puissance quelconque $x^{r}$ sera

${\begin{aligned}&{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+1)}{2.3\ldots s}}b^{n-s}a^{s}\\&\quad +{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+r)}{2.3\ldots (s-r)}}{\frac {s-2r}{1}}b^{n-s+r}a^{s-r}c\\&\quad +{\frac {n(n-1)\ldots (n-s+2r)}{2.3\ldots (s-2r)}}{\frac {(s-2r)(s-2r-1)}{1.2}}b^{n-s+2r}a^{s-2r}c^{2}\\&\quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

cette série étant continuée jusqu’à ce que l’on parvienne à des termes négatifs ; donc ce coefficient sera celui de la puissance $x^{s-n}$ dans la quantité $\left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n}\,;$ donc, si l’on désigne en général par $(\mu )$ le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ de cette dernière quantité, on aura

${\begin{aligned}(\mu )=&{\frac {n(n-1)\ldots (1-\mu )}{2.3\ldots (\mu +n)}}b^{-\mu }a^{\mu +n}\\&+{\frac {n(n-1)\ldots (r-\mu )}{2.3\ldots (\mu +n-r-1)}}b^{r-\mu }a^{\mu +n-r}c\\&+{\frac {n(n-1)\ldots (2r-\mu )}{2\times 2.3\ldots (\mu +n-2r-2)}}b^{2r-\mu }a^{\mu +n-2r}c^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il faudra toujours omettre les termes qui contiendraient des puissances négatives de $a$ ou $b.$

Donc, puisque pour $n$ observations la somme de tous les cas est $(a+b+c)^{n},$ on aura pour la probabilité que l’erreur moyenne soit la quantité ${\frac {(\mu )}{(a+b+c)^{n}}}\,;$ et de là la probabilité que l’erreur moyenne sera renfermée entre ces limites $-{\frac {p}{n}},+{\frac {q}{n}}$ sera exprimée par la série

${\frac {(-p+1)+\ldots +(-1)+(0)+(1)+\ldots +(q-1)}{(a+b+c)^{n}}}.$

Problème IV.

14. Supposant tout, comme dans le Problème précédent, on demande quelle est l’erreur moyenne pour laquelle la probabilité est la plus grande.

Nous avons vu que la probabilité que l’erreur moyenne soit ${\frac {\mu }{n}}$ est ${\frac {(\mu )}{(a+b+c)^{n}}},$ $(\mu )$ étant le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ du trinôme $\left(a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\right)^{n}\,;$ ainsi il ne s’agit que de savoir quel est le terme de la puissance $n$^ième de $a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}$ qui aura le plus grand coefficient ; pour cela il est clair qu’il n’y a qu’à chercher le plus grand terme du trinôme $a+b+c$ élevé à la puissance $n\,;$ car supposant que ce terme soit $\pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma },$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ étant les exposants de $a,b,c,$ dont la somme doit être égale à $n,$ et $\pi$ le coefficient de ce terme, il n’y aura qu’à mettre ${\frac {b}{x}}$ à la place de $b,$ et $cx^{r}$ à la place de $c,$ et l’on aura

$\pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }x^{-\beta +r\gamma }$

pour le terme cherché de la puissance $n$^ième du trinôme $a+{\frac {b}{x}}+cx^{r}\,;$ ainsi on fera $-\beta +r\gamma =\mu ,$ et l’on aura

${\frac {r\gamma -\beta }{n}}$

pour l’erreur moyenne dont la probabilité sera la plus grande.

Or, par les règles des combinaisons, on sait que le coefficient $\pi$ du terme $\pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ doit être

${\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1,2.3\ldots \gamma }}\,;$

dénotons ce terme par $\mathrm {M} ,$ en sorte que l’on ait

${\frac {1.2.3\ldots n\times \pi a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1,2.3\ldots \gamma }}=\mathrm {M} ,$

et il faudra qu’en faisant varier les exposants $\alpha ,\beta ,\gamma$ la valeur de $\mathrm {M}$ diminue ; faisons donc varier $\alpha$ d’une unité, en sorte que $\alpha$ devienne $\alpha +1,$ et comme $\alpha +\beta +\gamma =n,$ il faudra que $\beta$ ou $\gamma$ diminue en même temps d’une unité ; or, il est facile de voir que si dans la valeur de $\mathrm {M}$ on met $\alpha +1$ pour $\alpha$ et $\beta -1$ pour $\beta ,$ cette valeur deviendra

${\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a\mathrm {M} }{b}},$

donc

${\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a\mathrm {M} }{b}}<\mathrm {M} ,$

et, par conséquent,

${\frac {\beta }{\alpha +1}}{\frac {a}{b}}<1\,;$

réciproquement, si l’on augmente $\beta$ d’une unité, et qu’on diminue $\alpha$ aussi d’une unité, on trouvera la condition

${\frac {\alpha }{\beta +1}}{\frac {b}{a}}<1\,;$

ainsi il faudra que l’on ait en même temps

${\frac {\alpha }{\beta +1}}<{\frac {a}{b}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\alpha +1}{\beta }}>{\frac {a}{b}}.$

Or, c’est ce qui aura lieu si ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {a}{b}}.$

On trouvera de la même manière ${\frac {\alpha }{\gamma }}={\frac {a}{c}}\,;$ de sorte qu’en prenant un coefficient indéterminé $p,$ on aura, dans le cas du maximum,

$\alpha =pa,\quad \beta =pb,\quad \gamma =pc\,;$

mais $\alpha +\beta +\gamma =n\,;$ donc $p={\frac {n}{a+b+c}}\,;$ donc enfin

$\alpha ={\frac {na}{a+b+c}},\quad \beta ={\frac {nb}{a+b+c}},\quad \gamma ={\frac {nc}{a+b+c}}.$

Si les quantités ${\frac {na}{a+b+c}},\ {\frac {nb}{a+b+c}},\ {\frac {nc}{a+b+c}}$ sont des nombres entiers, on aura exactement

$\alpha ={\frac {na}{a+b+c}},\quad \beta ={\frac {nb}{a+b+c}},\quad \gamma ={\frac {nc}{a+b+c}}.$

comme nous venons de le trouver ; mais si ces quantités ne sont pas des nombres entiers, alors il faudra prendre pour $\alpha ,\beta ,\gamma$ les nombres entiers qui en seront les plus proches. On peut prendre cependant, pour plus de simplicité, ces mêmes quantités pour les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma$ car l’erreur, s’il y en a, ne pourra jamais être que très-petite ; de cette manière nous aurons pour l’erreur moyenne qui a la plus grande probabilité, l’expression

${\frac {r\gamma -\beta }{n}}={\frac {rc-b}{a+b+c}}.$

15. Corollaire. — De là il s’ensuit qu’on peut toujours regarder la quantité ${\frac {rc-b}{a+b+c}}$ comme l’erreur du résultat moyen, et qu’ainsi on peut prendre la même quantité pour la correction de ce résultat.

Lorsque $r=1$ et $c=b,$ comme dans l’hypothèse du Problème I, la correction du résultat moyen devient nulle ; elle le serait aussi, si l’on avait $b=rc\,;$ mais dans tous les autres cas elle sera d’autant plus grande que $rc$ différera davantage de $b.$

Problème V.

16. On suppose que chaque observation soit sujette à des erreurs quelconques données, et qu’on connaisse en même temps le nombre des cas où chaque erreur peut avoir lieu ; on demande la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations.

Soient $p,q,r.s,\ldots$ les erreurs auxquelles chaque observation est sujette, et $a,b,c,d,\ldots$ les cas qui peuvent donner ces erreurs, savoir $a$ le nombre des cas qui donneraient l’erreur $p,$ $b$ le nombre des cas qui donneraient l’erreur $q,$ et ainsi des autres ; il est clair, par ce que nous avons démontré dans les Problèmes précédents, que si l’on élève le polynôme

$ax^{p}+bx^{q}+cx^{r}+\ldots$

à la puissance $n,$ et qu’on dénote par $\mathrm {M}$ le coefficient de la puissance on aura

${\frac {\mathrm {M} }{(a+b+c+\ldots )^{n}}}$

pour la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $n$ observations soit ${\frac {\mu }{n}}.$ Or on sait, par la théorie des combinaisons, que le coefficient $\mathrm {M}$ sera de cette forme

${\frac {1.2.3.4\ldots n\times a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots \gamma \times \ldots }},$

où les exposants $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ doivent être tels que

$\alpha +\beta +\gamma +\ldots =n\quad {\text{et}}\quad \alpha p+\beta q+\gamma r+\ldots =\mu .$

De plus, il est facile de démontrer, par une méthode semblable à celle du Problème précédent, que le coefficient $\mathrm {M}$ sera le plus grand, lorsqu’on aura

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {na}{a+b+c+\ldots }},\\\beta =&{\frac {nb}{a+b+c+\ldots }},\\\gamma =&{\frac {nc}{a+b+c+\ldots }}\,;\end{aligned}}$

d’où il s’ensuit que l’erreur moyenne, pour laquelle la probabilité sera la plus grande, sera exprimée par

${\frac {\mu }{n}}={\frac {ap+bq+cr+\ldots }{a+b+c+\ldots }}.$

Ainsi cette quantité représentera la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations.

17. Corollaire I. — Si l’on regarde les quantités $a,b,c,\ldots ,$ comme des poids appliqués à une droite indéfinie, à des distances égales à $p,q,$ $r,\ldots$ d’un point fixe pris dans cette droite, et qu’on cherche le centre de gravité de ces poids, la distance de ce centre au point fixe sera la correction qu’il faudra faire au résultat moyen de plusieurs observations ; cela suit évidemment de la formule que nous avons trouvée plus haut pour la valeur de cette correction.

18. Corollaire II. — Donc, si l’on suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles qui peuvent être comprises entre des limites données, et qu’on connaisse la courbe de la facilité des erreurs dans laquelle, les abscisses étant supposées représenter les erreurs, les ordonnées représentent les facilités de ces erreurs, il n’y aura qu’à chercher le centre de gravité de l’aire totale de cette courbe, et l’abscisse répondant à ce centre exprimera la correction du résultat moyen. De là on voit que si la courbe dont il s’agit est égale, est semblable de côté et d’autre de l’ordonnée qui passe par l’origine des abscisses, en sorte que cette ordonnée soit un diamètre de la courbe dont il s’agit, alors la correction sera nulle, le centre de gravité tombant nécessairement dans le diamètre. Ce cas a lieu toutes les fois que les erreurs peuvent être également positives et négatives.

Problème VI.

19. Je suppose qu’on ait vérifié un instrument quelconque, et qu’ayant réitéré plusieurs fois la même vérification on ait trouvé différentes erreurs, dont chacune se trouve répétée un certain nombre de fois ; on demande quelle est l’erreur qu’il faudra prendre pour la correction de l’instrument.

Soient $p,q,r,\ldots$ les erreurs trouvées, et soient $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les nombres qui marquent combien de fois chaque erreur s’est trouvée répétée en faisant $n$ vérifications ; supposons que le nombre des cas qui peuvent donner l’erreur $p,$ ou $q,$ ou $r,\ldots$ soit désigné respectivement par $a,b,c,\ldots \,;$ qu’on élève le polyônme

$ax^{p}+bx^{q}+cx^{r}+\ldots$

à la puissance $n,$ et soit

$\mathrm {N} \left(ax^{p}\right)^{\alpha }\left(bx^{q}\right)^{\beta }\left(cx^{r}\right)^{\gamma }\ldots$

un terme quelconque de ce polynôme : le coefficient $\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ de la puissance $p\alpha +q\beta +r\gamma +\ldots$ de $x$ divisé par $(a+b+c+\ldots )^{n}$ dénotera la probabilité que les erreurs $p,q,r,\ldots$ se trouvent combinées ensemble, de manière que $p$ soit répété $\alpha$ fois, $q$ $\beta$ fois, $r$ $\gamma$ fois, et ainsi des autres. Ainsi cette probabilité sera la plus grande dans la combinaison où la valeur de $\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ sera la plus grande ; mais on a

$\mathrm {N} ={\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots \alpha \times 1.2.3\ldots \beta \times 1.2.3\ldots \gamma \times \ldots }},$

comme nous l’avons déjà vu dans le Problème précédent ; donc, par le

même Problème, la plus grande valeur de

$\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ aura lieu lorsque

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {na}{a+b+c+\ldots }},\\\beta =&{\frac {nb}{a+b+c+\ldots }},\\\gamma =&{\frac {nc}{a+b+c+\ldots }},\end{aligned}}$

équations par lesquelles on pourra déterminer les inconnues $a,b,c,\ldots \,;$ et l’on aura, en faisant $a+b+c+\ldots =s,$

$a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots .$

Or nous avons démontré, dans le Problème cité, que la correction qu’il faut faire au résultat moyen d’un nombre quelconque d’observations est exprimée par

${\frac {ap+bq+cr+\ldots }{a+b+c+\ldots }}\,;$

donc, mettant dans cette expression les valeurs de $a,b,c,\ldots$ que nous venons de trouver, la correction dont il s’agit deviendra

${\frac {\alpha p+\beta q+\gamma r+\ldots }{n}},$

c’est-à-dire égale à l’erreur moyenne entre toutes les erreurs particulières que les $n$ vérifications ont données.

20. Corollaire. — Si l’on voulait tenir compte aussi, au moins d’une manière approchée, des erreurs intermédiaires auxquelles \Gammainstrument pourrait être sujet, il n’y aurait qu’à prendre dans une ligne droite indéfinie des abscisses proportionnelles aux erreurs trouvées $p,q,r,\ldots ,$ comme au n^o 17 ; et y ayant appliqué des ordonnées proportionnelles aux quantités $a,b,c,\ldots ,$ on ferait passer par les extrémités $p,q,r,\ldots$ une ligne parabolique ; on chercherait ensuite le centre de gravité de faire de toute la courbe, et la perpendiculaire abaissée de ce centre sur l’axe y couperait une abscisse qui serait la correction de l’instrument.

On voit par là comment on peut connaître à posteriori la loi de la facilité de chacune des erreurs auxquelles un instrument peut être sujet.

21. Remarque I. — On a trouvé ci-dessus que la plus grande probabilité a lieu lorsque

$a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots ,$

de sorte que les valeurs de $a,b,c,\ldots$ sont les plus probables qu’on puisse supposer. Si on voulait savoir de plus quelle est la probabilité que ces mêmes valeurs ne s’écarteront pas de la vérité d’une quantité quelconque $\pm {\frac {rs}{n}},$ il n’y aurait qu’à mettre, dans l’expression générale de la probabilité (Problème précédent)

${\frac {\mathrm {N} a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots }{s^{n}}},$

au lieu de $a,b,c,$ les quantités ${\frac {s(\alpha +x)}{n}},\ {\frac {s(\beta +y)}{n}},\ {\frac {s(\gamma +z)}{n}},\ldots ,$ et, faisant successivement $x,y,z,\ldots$ égaux à $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots ,\pm r,$ en sorte cependant que l’on ait toujours $x+y+z+\ldots =0,$ à cause que (par hypothèse) $a+b+c+\ldots =s$ et $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =n,$ on aura autant de probabilités particulières, dont la somme sera la probabilité cherchée.

Soit $\mathrm {P}$ la probabilité que l’on ait

$a={\frac {s\alpha }{n}},\quad b={\frac {s\beta }{n}},\quad c={\frac {s\gamma }{n}},\ldots \,;$

mettant ces valeurs dans l’expression précédente, on aura

$\mathrm {P} ={\frac {1.2.3\ldots n}{n^{n}}}{\frac {\alpha ^{\alpha }}{1.2.3\ldots \alpha }}{\frac {\beta ^{\beta }}{1.2.3\ldots \beta }}\ldots .$

Soit de plus $\mathrm {Q}$ la probabilité que l’on ait

$a={\frac {s(\alpha +x)}{n}},\quad b={\frac {s(\beta +y)}{n}},\quad c={\frac {s(\gamma +z)}{n}},\ldots ,$

on aura la valeur de $\mathrm {Q}$ en mettant ces valeurs dans la même expression, et il est facile de voir qu’on aura

$\mathrm {Q=P} \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\alpha }\left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)^{\beta }\left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)^{\gamma }\ldots .$

Donc, si l’on fait en général

$\mathrm {V} =\left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\alpha }\left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)^{\beta }\left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)^{\gamma }\ldots ,$

et que $\int \mathrm {V}$ dénote la somme de toutes les valeurs particulières de $\mathrm {V} ,$ en faisant varier $x,y,z,\ldots$ depuis $0$ jusqu’à $+r,$ et ayant soin que l’on ait toujours $x+y+z\ldots =0,$ la probabilité cherchée sera égale à $\mathrm {P} \int \mathrm {V} .$

Comme il n’est pas facile de trouver l’intégrale $\int \mathrm {V} ,$ surtout lorsqu’il y a plus de deux variables, on pourra se contenter de l’avoir d’une manière approchée ; pour cela, il n’y aura qu’à prendre une valeur moyenne de $\mathrm {V}$ et la multiplier par le nombre de toutes les valeurs particulières de $\mathrm {V}$ qui doivent entrer dans l’intégrale $\int \mathrm {V} ,$ et la difficulté ne consistera qu’à trouver ce nombre. Or, si l’on désigne par $m$ le nombre des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il est facile de concevoir que le nombre dont il s’agit ne sera autre chose que le coefficient de $u^{0},$ c’est-à-dire le terme tout connu de la série qui représente la puissance $m$ du polynôme

$u^{-r}+u^{-r+1}+\ldots +u^{-1}+1+u+\ldots +u^{r-1}+u^{r}.$

Qu’on dénote ce terme par $\mathrm {T} ,$ et l’on aura, comme nous le démontrerons plus bas,

${\begin{aligned}\mathrm {T} &={\frac {(mr+1)(mr+2)(mr+3)\ldots (mr+m-1)}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\-&m{\frac {\left[(m-2)r\right]\left[(m-2)r+1\right]\left[(m-2)r+2\right]\ldots \left[(m-2)r+m-2\right]}{1.2.3\ldots (m-1)}}\\+&{\frac {m(m-1)}{2}}{\frac {\left[(m-4)r-1\right]\left[(m-4)r\right]\left[(m-4)r+1\right]\ldots \left[(m-4)r+m-3\right]}{1.2.3\ldots (m-1)}}-\ldots .\end{aligned}}$

en continuant cette série seulement jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs $mr+1,(m-2)r,(m-4)r-1,\ldots$ devienne négatif.

Donc, si $\mathrm {W}$ est la valeur moyenne de $\mathrm {V} ,$ on aura pour la valeur approchée de $\int \mathrm {V}$ la quantité $\mathrm {TW} ,$ et la probabilité cherchée sera à peu près égale à $\mathrm {PTW} .$

Si, au lieu de prendre pour $\mathrm {W}$ la valeur moyenne de $\mathrm {V} ,$ on prend la plus petite, il est clair que $\mathrm {TW}$ sera nécessairement moindre que la véritable valeur de $\int \mathrm {V} ,$ et par conséquent la probabilité cherchée sera nécessairement plus grande que $\mathrm {PTW} \,;$ ainsi, on pourra parier avec avantage $\mathrm {PTW}$ contre $1-\mathrm {PTW}$ qu’en faisant

${\frac {a}{s}}={\frac {\alpha }{n}},\quad {\frac {b}{s}}={\frac {\beta }{n}},\quad {\frac {c}{s}}={\frac {\gamma }{n}},\ldots ,$

on ne se trompera pas d’une quantité plus grande que ${\frac {r}{n}}$ tant en plus qu’en moins.

22. Remarque II. — Supposons que $n$ soit un nombre très-grand, et que par conséquent les nombres $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ dont la somme est $n,$ soient aussi très-grands ; pour trouver dans ce cas les valeurs de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {V} ,$ on remarquera :

1^o Que lorsque $u$ est un très-grand nombre, on a, à très-peu près,

$\log 1+\log 2+\log 3+\ldots +\log u={\frac {1}{2}}\log \pi +\left(u+{\frac {1}{2}}\right)\log u-u,$

$\pi$ étant le rapport de la périphérie du cercle au rayon ; d’où il suit que l’on aura

$\log {\frac {1.2.3\ldots u}{u^{u}}}={\frac {1}{2}}\log \pi +{\frac {1}{2}}\log u-u,$

et par conséquent

${\frac {1.2.3\ldots u}{u^{u}}}={\frac {\sqrt {\pi u}}{e^{u}}}\,;$

donc, à cause de $\alpha +\beta +\gamma +\ldots =n,$ on aura

$\mathrm {P} ={\sqrt {\frac {\pi n}{\pi \alpha \times \pi \beta \times \pi \gamma \times \ldots }}}.$

2^o Si on prend le logarithme de $\mathrm {V} ,$ on aura

$\log \mathrm {V} =\alpha \log \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)+\beta \log \left(1+{\frac {y}{\beta }}\right)+\gamma \log \left(1+{\frac {z}{\gamma }}\right)+\ldots ,$

mais

$\log \left(1+{\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {x}{\alpha }}-{\frac {x^{2}}{2\alpha ^{2}}}+\ldots \,;$

donc, à cause de $x+y+z+\ldots =0,$ on aura à très-peu près

$\log \mathrm {V} =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}+\ldots \right),$

et de là

$\mathrm {V} =e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {y^{2}}{\beta }}+{\frac {z^{2}}{\gamma }}+\ldots \right)}.$

Soient maintenant

$x=\xi {\sqrt {n}},\quad y=\psi {\sqrt {n}},\quad z=\zeta {\sqrt {n}},\ldots ,$

et

${\frac {\alpha }{n}}=\mathrm {A} ,\quad {\frac {\beta }{n}}=\mathrm {B} ,\quad {\frac {\gamma }{n}}=\mathrm {C} ,\ldots ,$

on aura

$\xi +\psi +\zeta +\ldots =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A+B+C} +\ldots =1\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {1}{(\pi n)^{\frac {m-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {ABC} \ldots }}}}\\\mathrm {V} =&e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }\end{aligned}}$

Or, comme l’incrément ou la différence des quantités $x,y,z,\ldots ,$ est $1,$ la différence des variables $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ sera ${\frac {1}{\sqrt {n}}},$ et par conséquent infiniment petite ; de sorte que, si l’on appelle cette différence $d\theta ,$ on aura

$\mathrm {P} ={\frac {d\theta ^{m-1}}{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}.$

Donc

$\mathrm {PV} ={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }d\theta ^{m-1}}{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}.$

Donc, si l’on intègre la différentielle

${\frac {d\theta ^{m-1}}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }}}$

$m-1$ fois, en mettant d’abord à la place de $\xi$ sa valeur $-\psi -\zeta -\ldots ,$ et faisant varier ensuite successivement les variables $\psi ,\zeta ,\ldots ,$ de la même différentielle $d\theta ,$ et qu’on complète l’intégrale en sorte que les valeurs de $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ s’étendent depuis $-\rho$ jusqu’à $\rho$ (en faisant $r=p{\sqrt {n}}$), on aura, en nommant cette intégrale $\mathrm {R} ,$ la quantité

${\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {\pi ^{m-1}\mathrm {ABC} \ldots }}}$

pour la probabilité que les valeurs de $a,b,c,\ldots$ seront exactes à ${\frac {\rho s}{\sqrt {n}}}$ près.

Soit, par exemple, $m=2,$ en sorte que l’on n’ait trouvé que deux erreurs différentes, dont l’une ait été répétée $\alpha$ fois et l’autre $\beta$ fois, dans un nombre très-grand $n$ de vérifications de l’instrument ; en ce cas il n’y aura qu’une seule intégration à faire, et la différentielle à intégrer sera, en mettant$-\psi$ à la place de $\xi ,$ et faisant $d\theta =d\psi ,$

${\frac {d\psi }{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \psi ^{2}}}},$

laquelle n’est intégrable par aucune des méthodes connues, à moins qu’on ne réduise en série la quantité exponentielle $e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \psi ^{2}}.$ De cette manière on aura la différentielle

$d\psi \mathrm {\left(1-K\psi ^{2}+{\frac {K^{2}\psi ^{4}}{2}}-{\frac {K^{3}\psi ^{6}}{2.3}}+\ldots \right)} ,$

en faisant, pour abréger, $\mathrm {K} =\mathrm {\frac {A+B}{2AB}} \,;$ de sorte que l’intégrale sera

$\psi -\mathrm {{\frac {K\psi ^{3}}{3}}+{\frac {K^{2}\psi ^{5}}{2.5}}-{\frac {K^{3}\psi ^{7}}{2.3.7}}} +\ldots .$

Donc

$\mathrm {R} =2\left(\rho -\mathrm {{\frac {K\rho ^{3}}{3}}+{\frac {K^{2}\rho ^{5}}{2\times 5}}-{\frac {K^{3}\rho ^{7}}{2.3\times 7}}} +\ldots \right)\,;$

donc

$\mathrm {\frac {R}{\sqrt {\pi AB}}}$

exprimera la probabilité que les valeurs de $a$ et $b$ soient renfermées entre ces limites

$s\left(\mathrm {A} \pm {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}\right)\quad {\text{et}}\quad s\left(\mathrm {B} \pm {\frac {\rho }{\sqrt {n}}}\right),$

c’est-à-dire que les facilités des erreurs qui se sont trouvées répétées $\alpha$ et $\beta$ fois, lesquelles sont proportionnelles à ${\frac {a}{s}}$ et ${\frac {b}{s}},$ ne s’écartent pas des quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ données par les observations, d’une quantité plus grande que ${\frac {\rho }{\sqrt {n}}}.$

Si l’on fait, pour plus de simplicité, $\rho =\mu \mathrm {\sqrt {AB}} ,$ on aura $\mathrm {K} ={\frac {\mu ^{2}}{2\rho ^{2}}},$ à cause de $\mathrm {A+B} =1,$ et la probabilité dont il s’agit sera exprimée de cette manière

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(\mu -{\frac {\mu ^{3}}{2\times 3}}+{\frac {\mu ^{5}}{2.4\times 5}}-{\frac {\mu ^{7}}{2.4.6\times 7}}+\ldots \right).$

Donc, si l’on suppose $\mu =1,$ on aura la série

$1-{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{2.4\times 5}}-{\frac {1}{2.4.6\times 7}}+\ldots ,$

dont la somme est à très-peu près $0{,}855624\,;$ de sorte que la probabilité cherchée sera à peu près

${\frac {1{,}611248}{\sqrt {\pi }}}=0{,}682688.$

Ainsi, on pourra dans ce cas parier avec avantage que, en supposant les facilités des erreurs respectivement égales à $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ on ne se trompera pas de la quantité $\mu {\sqrt {\frac {\mathrm {AB} }{n}}},$ qui, à cause de $n$ très-grand, est nécessairement infiniment petite.

Il serait beaucoup plus difficile de trouver la valeur de $\mathrm {R}$ si les variables $\xi ,\psi ,\zeta ,\ldots$ étaient plus de deux, surtout à cause que l’intégration doit être telle, qu’elle n’embrasse que les valeurs de ces mêmes variables qui sont comprises entre les limites$-\rho$ et $+\rho \,;$ mais on pourra, dans ces cas, se servir de l’approximation que nous avons donnée dans le numéro précédent.

Pour cela, on remarquera que puisque nous avons fait $r=\rho {\sqrt {n}},$ et que $n$ est supposé fort grand, le nombre $r$ devra être fort grand aussi ; de sorte qu’on aura, à très-peu près,

$\mathrm {T} ={\frac {r^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}\left[m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots \right],$

en continuant cette série jusqu’à ce que quelqu’un des nombres $m-2,m-4,\ldots$ devienne négatif : donc on aura

$\mathrm {PT} =\left({\frac {\rho }{\sqrt {\pi }}}\right)^{m-1}{\frac {m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\cfrac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)\mathrm {\sqrt {ABC}} }},$

et il n’y aura plus qu’à multiplier cette quantité par $\mathrm {W} ,$ c’est-à-dire par la valeur moyenne, ou si l’on veut par la plus petite valeur de $\mathrm {V}$. Or, comme on a

$\mathrm {V} ={\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}+\ldots \right)} }}},$

il est clair que la plus petite valeur de $\mathrm {V}$ sera celle où la quantité $\mathrm {{\frac {\xi ^{2}}{A}}+{\frac {\psi ^{2}}{B}}+{\frac {\zeta ^{2}}{C}}} +\ldots$ sera la plus grande ; et il est facile de voir que cela arrivera en prenant $\xi =\rho ,\ \psi =-\rho ,\ \zeta =0,\ldots ,$ à cause de $\xi +\psi +\zeta +\ldots =0,$ et supposant que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ soient les plus petites de toutes les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots \,;$ ainsi, on aura

$\mathrm {W} ={\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \rho ^{2}}}}.$

Donc faisant, pour abréger,

$\mathrm {M} ={\frac {m^{m-1}-m(m-2)^{m-1}+{\frac {m(m-1)}{2}}(m-4)^{m-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}},$

on aura la quantité

$\mathrm {M} \left({\frac {\rho }{\sqrt {\pi }}}\right)^{m-1}{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left({\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}\right)} \rho ^{2}}}{\mathrm {\sqrt {ABC\ldots }} }},$

laquelle sera nécessairement moindre que la probabilité cherchée ; de sorte qu’en nommant $\mathrm {H}$ cette quantité, on pourra toujours parier avec avantage $\mathrm {H}$ contre $1-\mathrm {H}$ qu’en supposant les facilités des erreurs égales respectivement $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ on ne se trompera pas de la quantité très-petite ${\frac {\rho }{\sqrt {n}}}.$

Lemme I.

23. Soit $\mathrm {X}$ une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x\,:$ on demande le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ dans la série résultante du développement de la fraction ${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{n}}}.$

On a, comme on sait,

${\begin{aligned}{\frac {1}{(a-x)^{n}}}=&{\frac {1}{a^{n}}}+{\frac {nx}{a^{n+1}}}+{\frac {n(n+1)x^{2}}{2a^{n+2}}}+\ldots \\&={\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}+{\cfrac {2.3\ldots nx}{a^{n+1}}}+{\cfrac {3.4\ldots (n+1)x^{2}}{a^{n+2}}}+\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}}\,;\end{aligned}}$

donc, si l’on ordonne la quantité $\mathrm {X}$ par rapport aux puissances de $x,$ en commençant par la plus haute, de manière que l’on ait en général

$\mathrm {X} =\mathrm {A} x^{\alpha }+\mathrm {B} x^{\alpha -1}+\mathrm {C} x^{\alpha -2}+\ldots +\mathrm {M} x^{\mu }+\mathrm {N} x^{\mu -1}+\ldots ,$

et qu’on multiplie cette série par celle qui exprime la valeur de ${\frac {1}{(a-x)^{n}}},$ il est facile de voir que le terme qui contiendra la puissance $x^{\mu }$ sera

${\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\cfrac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +{\cfrac {3.4\ldots (n+1)}{a^{n+2}}}\mathrm {P} +\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}},$

de sorte que le coefficient cherché sera représenté par la série

${\frac {{\cfrac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\cfrac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +{\cfrac {3.4\ldots (n+1)}{a^{n+2}}}\mathrm {P} +\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)}}.$

Dénotons par $\mathrm {X} '$ la somme de tous les termes de la valeur de $\mathrm {X} ,$ où les puissances de $x$ ne sont pas plus hautes que $x^{\mu },$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {X} '=\mathrm {M} x^{\mu }+\mathrm {N} x^{\mu -1}+\mathrm {P} x^{\mu -2}+\ldots \,;$

divisant par $x^{\mu +1},$ on aura

${\frac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}={\frac {\mathrm {M} }{x}}+{\frac {\mathrm {N} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} }{x^{3}}}+\ldots ,$

donc, différentiant $n-1$ fois et faisant ensuite $x=a,$ on aura

$\pm {\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}}={\frac {1.2.3\ldots (n-1)}{a^{n}}}\mathrm {M} +{\frac {2.3\ldots n}{a^{n+1}}}\mathrm {N} +\ldots ,$

le signe supérieur étant pour le cas où $n$ est impair, et l’inférieur pour celui où $n$ est pair.

Donc, le coefficient cherché de la puissance $x^{\mu }$ sera égal à ce que devient la quantité

${\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}},$

lorsqu’on y fait $x=a.$

24. Remarque. — Si l’on divise la quantité $\mathrm {X}$ par et qu’on en rejette ensuite tous les termes où il y aura des puissances positives de $x,$ il est visible qu’on aura la valeur de ${\frac {\mathrm {X} '}{x^{\mu +1}}}\,;$ donc, à la place de la quantité $\mathrm {X} '$ on peut prendre la quantité même $\mathrm {X} ,$ en ayant soin de rejeter les termes dont nous venons de parler ; de cette manière on aura, pour l’expression du coefficient cherché de $x^{\mu }$, la quantité

${\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}},$

en rejetant dans cette quantité, avant ou après les différentiations, toutes les puissances positives de $x,$ et faisant ensuite $x=a.$

25. Corollaire.. — Supposons qu’on demande le coefficient de $x^{\mu }$ dans la série

$x^{-\alpha }+\ldots +x^{-2}+x^{-1}+x^{0}+x^{1}+x^{2}+\ldots ++x^{\beta }$

élevée à la puissance $n.$

Suivant les règles ordinaires de la sommation des progressions géométriques, on trouve que la somme de cette série est représentée par

${\frac {x^{-\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)}{1-x}},$

de sorte que la puissance $n$^ième de la même série sera égale à

${\frac {x^{-n\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)^{n}}{(1-x)^{n}}}.$

Comparant donc cette formule avec celle du Lemme précédent, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&x^{-n\alpha }\left(1-x^{\alpha +\beta +1}\right)^{n}\\=&x^{-n\alpha }-nx^{-(n-1)\alpha +\beta +1}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{-(n-2)\alpha +2(\beta +1)}\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}x^{-(n-3)\alpha +3(\beta +1)}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, divisant par $x^{\mu +1}$ et faisant, pour abréger

$n\alpha +\mu =\pi ,\quad \alpha +\beta +1=\rho ,$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}=&x^{-(\pi +1)}-nx^{-(\pi +1-\rho )}+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{-(\pi +1-2\rho )}\\&-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}x^{-(\pi +1-3\rho )}+\ldots .\end{aligned}}$

et par conséquent, en différentiant $n-1$ fois,

$(-1)^{n-1}{\frac {d^{n-1}\left({\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}\right)}{dx^{n-1}}}$

${\begin{aligned}=&(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1)x^{-(\pi +n)}\\&-n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )x^{-(\pi +n-\rho )}\\&+{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )x^{-(\pi +n-2\rho )}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On rejettera donc de cette série les termes où les exposants de $x$ se trouveront positifs, c’est-à-dire que si $s$ est le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que ${\frac {\pi +n}{2}},$ on continuera la série seulement jusqu’au terme $s$^ième ; ou bien il suffira de la continuer jusqu’à ce que quelqu’un des premiers facteurs $\pi +1,\pi +1-\rho ,\ldots$ devienne négatif ; ensuite on fera $x=1$ et on divisera le tout par $1.2.3\ldots (n-1)\,;$ on aura ainsi la valeur du coefficient cherché, laquelle sera par conséquent

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1){\biggr .}\\&\quad -n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )\\&\quad -{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(\pi +1-3\rho )(\pi +2-3\rho )\ldots (\pi +n-1-3\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

De là on tire la solution du Problème suivant.

Problème VII.

26. On a plusieurs observations dans chacune desquelles on suppose quon ait pu se tromper également d’une quelconque de ces quantités $-\alpha ,\ldots ,$$-2,-1,0,1,2,\ldots ,\beta \,;$ on demande quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $n$ observations sera ${\frac {\mu }{n}},$ ou quelle sera renfermée entre ces limites ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {+q}{n}}.$

Pour trouver la probabilité que le résultat moyen soit ${\frac {\mu }{n}},$ il faut chercher le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ du polynôme

$x^{-\alpha }+\ldots +x^{-2}+x^{-1}+x^{0}+x^{1}+x^{2}+\ldots ++x^{\beta }$

élevé à la puissance $n,$ et diviser ensuite ce coefficient par la valeur du même polynôme élevé à la puissance $n,$ qui répond à $x=1,$ c’est-à-dire par $(\alpha +\beta +1)^{n}\,;$ c’est ce qui suitévidemment de ce que nous avons démontré dans les Problèmes précédents.

Donc, par le Corollaire précédent, on trouvera que la probabilité cherchée sera, en faisant $\pi =n\alpha +\mu ,\ \rho =\alpha +\beta +1,$

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n-1)\rho ^{n}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +n-1){\biggr .}\\&\quad -n(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +n-1-\rho )\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +n-1-2\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

en continuant cette série jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs $\pi +1,$ $\pi +1-\rho ,\ldots$ devienne négatif.

Telle est l’expression générale de la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit ${\frac {\mu }{n}}\,;$ ainsi, pour avoir la probabilité que l’erreur soit contenue entre les limites ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {+q}{n}},$ il n’y aura qu’à faire varier $\mu$ dans la quantité précédente, et prendre la somme de toutes les quantités particulières qui répondront à

$\mu =-p,\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots ,q.$

Or, puisque la quantité $\mu$ n’entre que dans la valeur de $\pi ,$ il n’y aura donc que cette quantité de variable ; de sorte que la difficulté se réduira à sommer des suites dont le terme général sera de cette forme

$(s+1)(s+2)(s+3)\ldots (s+k).$

Pour cela, soit la somme de cette série représentée par

$u(s+1)(s+2)\ldots (s+k),$

$u$ étant une fonction inconnue de $s,$ et mettant $s-1$ à la place de $s$ et $u'$ à la place de $u,$ on aura

$u's(s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)\,;$

cette quantité étant retranchée de la précédente, on aura la différence

$\left[u(s+k)-u's\right](s+1)(s+2)\ldots (s+k-1)\,;$

mais il faut que cette différence soit égale au terme général de la série dont on cherche la somme, donc on aura l’équation

$u(s+k)-u's=s+k,$

à laquelle on satisfera en faisant

$u={\frac {s+k+1}{k+1}}\,;$

de sorte que la somme générale de la série dont le terme général est $(s+1)(s+2)\ldots (s+k)$ sera représentée par

${\frac {(s+1)(s+2)\ldots (s+k)(s+k+1)}{k+1}},$

et par conséquent la somme de tous les termes compris entre ces deux-ci

$(s'+1)(s'+2)\ldots (s'+k)\quad {\text{et}}\quad (s''+1)(s''+2)\ldots (s''+k)$

sera égale à

${\frac {s''(s''+1)(s''+2)\ldots (s''+k)-(s'+1)(s'+2)\ldots (s'+k+1)}{k+1}}.$

Appliquant donc ceci à la formule trouvée plus haut, on aura, pour la probabilité que l’erreur moyenne tombe entre ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {q}{n}},$ l’expression suivante, dans laquelle j’ai fait, pour abréger, $n\alpha -p=\delta$ et $n\alpha +q=\gamma ,$

${\frac {1}{1.2.3\ldots n\rho ^{n}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)-(\delta +1)(\delta +2)\ldots (\delta +n){\biggr .}\\&\quad -n\left[(\gamma -\rho )\ldots (\gamma -\rho +n-1)-(\delta -\rho +1)\ldots (\delta -\rho +n)\right]\\&\quad +{\frac {n(n-1)}{2}}\left[(\gamma -2\rho )\ldots (\gamma -2\rho +n-1)-(\delta -2\rho +1)\ldots (\delta -2\rho +n)\right]\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Cette série doit être continuée jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs $\gamma -\rho ,$$\gamma -2\rho ,\ldots$ devienne négatif ; et quant aux autres facteurs $\delta -\rho +1,$$\delta -2\rho +1,\ldots ,$ si quelqu’un d’entre eux se trouve négatif, alors il faudra augmenter le nombre ⅞ d’autant d’unités qu’il faudra pour le rendre positif ; cela suit évidemment de ce que la série, dont la précédente est la somme, ne doit être continuée que jusqu’à ce que quelqu’un des premiers facteurs $\pi +1-\rho ,$$\pi +1-2\rho ,\ldots$ devienne négatif, comme nous l’avons vu dans le numéro précédent.

27. Corollaire. — Supposons que les nombres $\alpha$ et $\beta$ deviennent infinis, aussi bien que $p$ et $q,$ mais de façon qu’ils aient entre eux des rapports finis ; et soient

${\frac {\beta }{\alpha }}=l,\quad {\frac {p}{\alpha }}=r,\quad {\frac {q}{\alpha }}=s,$

en sorte que l’on ait

$\beta =\alpha l,\quad p=\alpha r,\quad q=\alpha s,$

$l,r,s$ étant des nombres finis ; dans ce cas on aura

$\rho =\alpha +\beta =(1+l)\alpha ,\ \ \delta =n\alpha -p=(n-r)\alpha ,\ \ \gamma =n\alpha +q=(n+s)\alpha \,:$

de sorte qu’en substituant ces valeurs dans la formule précédente, et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de $\alpha =\infty ,$ on aura celle-ci, où $f=1+l,$

${\frac {1}{1.2.3\ldots nf^{n}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(n+s)^{n}-n(n+s-f)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}n(n+s-2f)^{n}-\ldots {\biggr .}\\&\quad {\biggl .}-(n-r)^{n}-n(n-r-f)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}n(n-r-2f)^{n}+\ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

chacune de ces deux séries devant être-continuée seulement jusqu’à ce que quelqu’une des quantités $n+s-f,\ n+s-2f,\ldots$ et $n-r-f,$$n-r-2f,\ldots$ devienne négative.

Le cas de ce Corollaire a lieu lorsqu’on suppose que chaque observation est également sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre des limites données ; car si on prend la plus grande erreur négative pour l’unité, et qu’on désigne la plus grande erreur positive par $l,$ la formule précédente dénotera la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $n$ observations soit renfermée entre ces deux limites $-{\frac {r}{n}}$ et $+{\frac {s}{n}}.$

Au reste, nous donnerons plus bas une méthode beaucoup plus simple pour résoudre ces sortes de questions.

Problème VIII.

28. Supposant que les erreurs qu’on peut commettre dans chaque observation soient $-\omega ,\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots ,\omega ,$ et que le nombre des cas qui répondent à chacune de ces erreurs soit respectivement proportionnel à $1,2,3,\ldots ,\alpha +1,\ldots ,3,2,1,$ on demande quelle est la probabilité que l’erreur du résultat moyen de $m$ observations soit comprise entre les limites ${\frac {-p}{m}}$ et ${\frac {q}{m}}.$

Commençons par chercher la probabilité que l’erreur moyenne soit ${\frac {\mu }{m}}\,;$ cette probabilité sera égale au coefficient de la puissance $x^{\mu }$ du polynôme

$x^{-\omega }+2x^{-\omega +1}+\ldots +\omega x^{-1}+(\omega +1)x^{0}+\omega x^{1}+\ldots +2x^{\omega -1}+x^{\omega }$

élevé à la puissance $m,$ ce coefficient étant ensuite divisé par la valeur du même polynôme élevé à la puissance $n,$ qui répond à $x=1.$

Or on a

$1+2x+\ldots (\omega +1)x^{\omega }+\ldots +2x^{2\omega -1}+x^{2\omega }=\left(1+x+\ldots +x^{\omega }\right)$

$=\left({\frac {1-x^{\omega +1}}{1-x}}\right)^{2}\,;$

donc le polynôme dont il s’agit sera égal à

$x^{-\omega }\left({\frac {1-x^{\omega +1}}{1-x}}\right)^{2},$

et par conséquent la puissance $n$ de ce polynôme sera représentée par

${\frac {x^{-m\omega }\left(1-x^{\omega +1}\right)^{2m}}{(1-x)^{2m}}}.$

Cette formule étant comparée à celle du n^o 25, on aura

$n=2m,\quad n\alpha =m\omega ,\quad \alpha +\beta +1=\omega +1,$

d’où l’on tire

$n=2m,\quad \alpha ={\frac {m\omega }{n}}={\frac {\omega }{2}},\quad \quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {\omega }{2}}\,;$

donc (Problème précédent) la probabilité cherchée sera

${\frac {1}{1.2.3\ldots 2m\rho ^{2m}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}(\pi +1)(\pi +2)\ldots (\pi +2m-1){\biggr .}\\&\quad -2m(\pi +1-\rho )(\pi +2-\rho )\ldots (\pi +2m-1-\rho )\\&\quad +{\frac {2m(2m-1)}{2}}(\pi +1-2\rho )(\pi +2-2\rho )\ldots (\pi +2m-1-2\rho )\\&\quad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

en supposant $\pi =m\omega +\mu$ et $\rho =\omega +1,$ et continuant la série jusqu’à ce que quelqu’un des facteurs $\pi +1-\rho ,\ \pi +1-2\rho ,\ldots$ devienne négatif.

De là on trouvera, comme dans le Problème précédent, que la probabilité que l’erreur movenne se trouve entre les limites ${\frac {-p}{n}}$ et ${\frac {q}{n}}$ sera exprimée par

${\frac {1}{1.2.3\ldots 2m\rho ^{2m}}}$

${\begin{aligned}\times &{\biggl [}\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +2m-1)-(\delta +1)(\delta +2)\ldots (\delta +2m){\biggr .}\\&\quad -2m\left[(\gamma -\rho )\ldots (\gamma +2m-1-\rho )-(\delta +1-\rho )\ldots (\delta +2m-\rho )\right]\\&\quad +{\frac {2m(2m-1)}{2}}\\&\qquad \times \left[(\gamma -2\rho )\ldots (\gamma +2m-1-2\rho )-(\delta +1-2\rho )\ldots (\delta +2m-2\rho )\right]\\&\qquad {\biggl .}\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\biggr ]},\end{aligned}}$

$\gamma$ étant $=m\omega +q$ et $\delta =m\omega -p.$ À l’égard de la continuation de ces deux séries, il faudra suivre les règles prescrites plus haut (24).

29. Corollaire. — Supposons maintenant que les nombres $\omega ,p$ et $q$ deviennent infinis, mais en sorte que l’on ait ${\frac {p}{\omega }}=r,\ {\frac {q}{\omega }}=s,$ $r$ et $s$ étant des nombres finis, et la formule précédente deviendra (25)

${\begin{aligned}&{\frac {(2m+s)^{2m}-2m\left[2(m-1)+s\right]^{2m}+{\cfrac {2m(2m-1)}{2}}\left[2(m-2)+s\right]^{2m}-\ldots }{1.2.3\ldots 2m.2^{2m}}},\\-&{\frac {(2m-r)^{2m}-2m\left[2(m-1)-r\right]^{2m}+{\cfrac {2m(2m-1)}{2}}\left[2(m-2)-r\right]^{2m}-\ldots }{1.2.3\ldots 2m.2^{2m}}},\end{aligned}}$

ces deux séries étant continuées jusqu’à ce que quelqu’une des quantités qui sont élevées à la puissance $2n$ devienne négative.

Cette formule exprimera donc la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit comprise entre les limites ${\frac {-r}{n}}$ et ${\frac {s}{n}},$ dans l’hypothèse que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles contenues entre ces deux limites $-1$ et $+1,$ et que la facilité de chaque erreur soit proportionnelle à la différence qu’il y a entre cette erreur et la plus grande erreur possible dans le même sens ; cette hypothèse est plus conforme à la nature que celle du n^o 27 ; la courbe des erreurs (20) serait ici un triangle isocèle quelconque.

30. Scolie. — En général, on pourra trouver, à l’aide du Lemme précédent, la probabilité que l’erreur moyenne soit égale à une quantité donnée dans l’hypothèse que les erreurs, auxquelles chaque observation est sujette, forment une progression arithmétique, et que les facilités de ces erreurs forment une progression algébrique quelconque, dont les différences d’un ordre quelconque deviennent nulles ; car soit

$\mathrm {A} x^{-\alpha }+\mathrm {B} x^{-\alpha +1}+\ldots +\mathrm {P} x^{-1}+\mathrm {Q} x^{0}+\mathrm {R} x^{1}+\ldots +\mathrm {V} x^{\beta }$

le polynôme dont les exposants de $x$ représentent les erreurs, et les coefficients, les facilités de ces erreurs ; qu’on dénote par $\mathrm {\Delta A,\Delta ^{2}A} ,\ldots$ les différences premières, secondes, …, de la série

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$

en sorte que

$\mathrm {\Delta A=B-A,\quad \Delta ^{2}A=C-2B+A} ,\ldots ,$

et qu’on dénote de même par $\mathrm {\Delta V,\Delta ^{2}V} ,\ldots$ les différences de la série

$\mathrm {V,X,Y} ,\ldots$

supposée continuée au delà de $\mathrm {V} ,$ on aura, comme on sait, pour la valeur du polynôme proposé, la série

$x^{-\alpha }\left[{\frac {\mathrm {A} -\mathrm {V} x^{\alpha +\beta +1}}{1-x}}+x{\frac {\Delta \mathrm {A} -\Delta \mathrm {V} x^{\alpha +\beta +1}}{(1-x)^{2}}}+\ldots \right].$

Or, si la série

$\mathrm {A,B,C,\ldots ,V,X} ,\ldots$

est telle que ses différences d’un ordre quelconque $m,$ par exemple, deviennent nulles, on aura

$\Delta ^{m}\mathrm {A} =0,\quad \Delta ^{m}\mathrm {V} =0,$

et toutes les différences ultérieures seront aussi zéro ; de sorte que l’expression précédente deviendra finie quand même le polynôme proposé contiendrait un nombre infini de termes ; de plus cette expression pourra se réduire à cette forme ${\frac {\Xi }{(1-x)^{m}}},$ $\Xi$ étant une fonction rationnelle et entière de $x\,;$ de sorte qu’en élevant cette quantité à une puissance quelconque, on aura toujours une expression qui sera dans le cas de celle du Lemme.

Lemme II.

31. On demande le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ dans la série qui résultera du développement de la fraction

${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}}},$

$\mathrm {X}$ étant, comme dans le Lemme I, une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x.$

On sait que la fraction ${\frac {1}{(a-x)^{m}(b-x)n}}$ peut se décomposer en différentes fractions telles que celles-ci

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {A} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A} '}{(a-x)^{m-1}}}+{\frac {\mathrm {A} ''}{(a-x)^{m-2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)}}{a-x}}\\+&{\frac {\mathrm {B} }{(b-x)^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {B} '}{(b-x)^{n-1}}}\ +{\frac {\mathrm {B} ''}{(b-x)^{n-2}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}}{b-x}},\end{aligned}}$

les coefficients $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots$ étant égaux à ce que deviennent les quantités

$+{\frac {1}{(b-x)^{n}}},\quad -{\frac {d{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{dx}},\quad +{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{2dx^{2}}},\ldots ,$

lorsque $x=a,$ et les coefficients $\mathrm {B,B',B''} ,\ldots$ étant égaux à ce que deviennent les quantités

$+{\frac {1}{(a-x)^{m}}},\quad -{\frac {d{\cfrac {1}{(a-x)^{m}}}}{dx}},\quad +{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{(a-x)^{m}}}}{2dx^{2}}},\ldots ,$

lorsque $x=b.$ Donc la fraction proposée se changera dans ces deux suites de fractions

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {AX} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A'X} }{(a-x)^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)\mathrm {X} }}{a-x}}\\+&{\frac {\mathrm {BX} }{(b-x)^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {B'X} }{(b-x)^{n-1}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}\mathrm {X} }{b-x}}.\end{aligned}}$

Mais, par le Lemme I, le coefficient de la puissance $x^{\mu }$ dans la série résultante d’une fraction telle ${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m-1}}}$ peut s’exprimer par

${\frac {(-1)^{m-s-1}}{1.2.3\ldots (m-s-1)}}{\frac {d^{m-s-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}}{dx^{m-s-1}}},$

en y faisant, après les différentiations, $x=a.$

Donc, en général, la fraction ${\frac {\mathrm {A} ^{s}\mathrm {X} }{(a-x)^{m-s}}}$ donnera pour le coefficient de $x^{\mu }$ la quantité

${\frac {(-1)^{s}}{1.2.3\ldots s}}{\frac {d^{s}{\cfrac {1}{(b-x)^{n}}}}{dx^{s}}}\times {\frac {(-1)^{m-s-1}}{1.2.3\ldots (m-s-1)}}{\frac {d^{m-s-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}}{dx^{m-s-1}}},$

où il faut faire $x=a.$ Donc, puisque

$d^{m-1}yz=$

$yd^{m-1}z+(m-1)dyd^{m-2}z+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}d^{2}yd^{m-3}z+\ldots +zd^{m-1}y\,;$

il est facile de voir que les fractions

${\frac {\mathrm {AX} }{(a-x)^{m}}}+{\frac {\mathrm {A'X} }{(a-x)^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {A} ^{(m-1)\mathrm {X} }}{a-x}},$

prises toutes ensemble, donneront pour le coefficient de $x^{\mu }$ la quantité

${\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}}}}{dx^{m-1}}},$

$x$ étant fait égal à $a.$

De même les fractions

${\frac {\mathrm {BX} }{(b-x)^{n}}}+{\frac {\mathrm {B'X} }{(b-x)^{n-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} ^{(n-1)}\mathrm {X} }{b-x}}$

donneront pour le coefficient de $x^{\mu }$ la quantité

${\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}}}}{dx^{n-1}}},$

$x$ étant fait égal à $b.$

Donc, en réunissant ces deux quantités, on aura pour le coefficient de $x^{\mu }$ dans la série résultante de la fraction ${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}}}$ l’expression

${\begin{aligned}{\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}}}}{dx^{m-1}}}&\qquad (x=a)\\+{\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}}}}{dx^{n-1}}}&\qquad (x=b)\end{aligned}}$

en ayant soin de rejeter dans la valeur de ${\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}$ toutes les puissances positives de $x.$

32. Corollaire. — Il est facile de conclure de là que si l’on développait en série la fraction

${\frac {\mathrm {X} }{(a-x)^{m}(b-x)^{n}(c-x)^{p}\ldots }},$

on aurait pour le coefficient de $x^{\mu }$ l’expression suivante

${\begin{aligned}{\frac {(-1)^{m-1}}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {d^{m-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(b-x)^{n}(c-x)^{p}\ldots }}\right]}{dx^{m-1}}}&\qquad (x=a)\\+{\frac {(-1)^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {d^{n-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}(c-x)^{p}\ldots }}\right]}{dx^{n-1}}}&\qquad (x=b)\\+{\frac {(-1)^{p-1}}{1.2.3\ldots (p-1)}}{\frac {d^{p-1}\left[{\cfrac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}(a-x)^{m}(b-x)^{n}\ldots }}\right]}{dx^{p-1}}}&\qquad (x=c)\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en ne prenant dans la valeur de ${\frac {\mathrm {X} }{x^{\mu +1}}}$ que les puissances négatives de $x,$ et rejetant toutes les positives.

33. Remarque. — Par le moyen du Lemme précédent, on pourra donc déterminer aisément la probabilité que l’erreur moyenne, résultant de tant d’observations qu’on voudra, soit nulle ou égale à une quantité donnée, lorsque le polynôme (30)

$\mathrm {A} x^{-\alpha }+\mathrm {B} x^{-\alpha +1}+\ldots +\mathrm {P} x^{-1}+\mathrm {Q} x^{0}+\mathrm {R} x^{1}+\ldots +\mathrm {V} x^{\beta }$

forme une série récurrente quelconque ; car alors la somme de cette série pourra s’exprimer, comme on sait, par une fraction rationnelle telle que

${\frac {\Xi }{(a-x)^{\lambda }(b-x)^{\pi }(c-x)^{\rho }\ldots }},$

$\Xi$ étant une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x\,;$ de sorte qu’en élevant cette quantité à une puissance quelconque, on aura toujours une expression qui pourra se rapporter à celles du Lemme ci-dessus.

Au reste, l’hypothèse la plus conforme à la nature est celle où l’on suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs comprises entre des limites données, en sorte que le nombre de toutes les erreurs possibles soit infini, comme dans les n^os 27 et 29 ; or, pour trouver en ce cas la probabilité que l’erreur moyenne d’un nombre quelconque d’observations soit aussi renfermée entre des limites données, il n’est pas nécessaire de considérer d’abord un nombre fini d’erreurs et de supposer ensuite que ce nombre devienne infini, comme nous l’avons pratiqué dans les numéros cités ; mais on peut y parvenir directement par une méthode beaucoup plus simple et plus générale, laquelle est fondée sur le Lemme suivant.

Lemme III.

34. Si $y$ dénote une fonction quelconque de $x,$ telle que ${\frac {d^{m}y}{dx^{m}}}$ soit une quantité constante, on aura

$\int ya^{x}dx=$

$a^{x}\left[{\frac {y}{\log a}}-{\frac {dy}{dx(\log a)^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dx^{2}(\log a)^{3}}}-\ldots \pm {\frac {d^{m}y}{dx^{m}(\log a)^{m+1}}}\right]+\mathrm {const} .\,;$

c’est ce qui est aisé à vérifier par la différentiation.

35. Corollaire I. — Si i’on fait $y=x^{m},$ $m$ étant un nombre entier et positif, on aura donc

$\int x^{m}a^{x}dx=a^{x}\left[{\frac {x^{m}}{\log a}}-{\frac {mx^{m-1}}{(\log a)^{2}}}+{\frac {m(m-1)x^{m-2}}{(\log a)^{3}}}-\ldots \right.$

$\left.\pm {\frac {m(m-1)(m-2)\ldots 2.1}{(\log a)^{m+1}}}\right]+\mathrm {const} .$

Qu’on prenne l’intégrale $\int x^{m}a^{x}dx$ en sorte qu’elle soit nulle lorsque $x=0,$ et l’on aura

$\int x^{m}a^{x}dx=a^{x}\left[{\frac {x^{m}}{\log a}}-{\frac {mx^{m-1}}{(\log a)^{2}}}+\ldots +(-1)^{m}{\frac {1.2.3\ldots m}{(\log a)^{m+1}}}\right].$

Or, si l’on suppose que $a$ soit une fraction moindre que l’unité, en sorte que ${\frac {1}{a}}$ soit un nombre plus grand que l’unité, et qu’on fasse $x=\infty ,$ il est facile de voir que $\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}$ sera une quantité infinie d’un ordre infiniment plus grand que $x^{m}$ et qu’aucune puissance finie de $x\,;$ donc ${\frac {x^{m}}{\left({\cfrac {1}{a}}\right)^{x}}}$ ou bien $a^{x}x^{m}$ sera nulle, et, à plus forte raison aussi, toutes les autres quantités $a^{x}x^{m-1},a^{x}x^{m-2},\ldots$ seront nulles, de sorte qu’on aura dans ces cas

$\int x^{m}a^{x}dx={\frac {1.2.3\ldots m}{(-\log a)^{m+1}}}.$

D’où je conclus que la quantité ${\frac {1}{(-\log a)^{m}}}$ est égale à l’intégrale de $x^{m-1}a^{x}dx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et divisée par $1.2.3\ldots (m-1),$ pourvu que $a$ soit un nombre positif moindre que l’unité.

Si $a$ était un nombre positif plus grand que l’unité, il n’y aurait qu’à mettre ${\frac {1}{a}}$ à la place de $x$ dans la formule précédente, et l’on en conclurait que la quantité ${\frac {1}{(\log a)^{m}}}$ serait égale à l’intégrale de ${\frac {x^{m-1}dx}{a^{x}}}$ prise de même depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ et divisée par $1.2.3\ldots (m-1)\,;$ on voit par là comment on peut réduire les puissances quelconques de ${\frac {1}{\log a}}$ en des séries infinies qui procèdent suivant les puissances de $a.$

36. Corollaire II. — Donc, si l’on a une fonction quelconque, rationnelle et sans diviseur, de $a$ telle que

$\mathrm {A} =\mathrm {P} a^{p}+\mathrm {Q} a^{p-1}+\mathrm {R} a^{p-2}+\ldots ,$

et qu’on demande le coefficient de la puissance $a^{p-x}$ dans la fonction ${\frac {\mathrm {A} }{(\log a)^{m}}},$ il n’y aura qu’à mettre, à la place de ${\frac {1}{(\log a)^{m}}}$ la somme des valeurs de ${\frac {x^{m-1}dx}{a^{x}}}$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ divisée par $1.2.3\ldots (m-1)$ (Corollaire précédent), et rassemblant tous les termes où $a$ se trouvera élevé à la puissance donnée, on aura pour le coefficient de cette puissance la série

${\frac {\mathrm {P} x^{m-1}+\mathrm {Q} (x-1)^{m-1}+\mathrm {R} (x-2)^{m-2}+\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}}dx,$

laquelle ne devra être continuée que jusqu’à ce que quelqu’un des termes $x-1,x-2,\ldots$ devienne négatif ; et comme ce coefficient ne dépend point de la valeur de $a,$ il est clair que la formule que nous venons de trouver aura toujours lieu, soit que $a$ soit plus grand ou moindre que l’unité.

Si, au lieu de la fonction ${\frac {\mathrm {A} }{(\log a)^{m}}},$ on avait celle-ci

${\frac {\mathrm {A} }{(\log a-\alpha )^{m}}},$

comme $\log a-\alpha =\log {\frac {a}{e^{\alpha }}},$ il faudrait substituer à la place de ${\frac {1}{(\log a-\alpha )^{m}}}$ la somme des valeurs de ${\frac {e^{\alpha x}x^{m-1}dx}{a^{x}}}$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\infty ,$ divisée par $1.2.3\ldots (m-1),$ et l’on aurait pour le coefficient de $a^{p-x}$ la série

${\frac {\mathrm {P} e^{\alpha x}x^{m-1}+\mathrm {Q} e^{\alpha (x-1)}(x-1)^{m-1}+\mathrm {R} e^{\alpha (x-2)}(x-2)^{m-2}+\ldots }{1.2.3\ldots (m-1)}}dx.$

Enfin, si l’on avait la fonction

${\frac {\mathrm {A} }{(\log a-\alpha )^{m}(\log a-\beta )^{n}\ldots }},$

on décomposerait d’abord, par ⅛s méthodes connues, la fraction

${\frac {1}{(\log a-\alpha )^{m}(\log a-\beta )^{n}\ldots }},$

en celles-ci

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {F} }{(\log a-\alpha )^{m}}}+{\frac {\mathrm {F} '}{(\log a-\alpha )^{m-1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {F} ^{(m-1)}}{\log a-\alpha }}\\+&{\frac {\mathrm {G} }{(\log a-\beta )^{n}}}\ \,+{\frac {\mathrm {G} '}{(\log a-\beta )^{n-1}}}\ +\ldots +{\frac {\mathrm {G} ^{(n-1)}}{\log a-\beta }}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

ensuite, multipliant chacune de ces fractions par $\mathrm {A} ,$ on aurait autant de fonctions de $a,$ dans lesquelles on pourrait trouver le coefficient de la puissance $a^{x}$ par la formule ci-dessus.

37. Remarque. — Par le moyen du Lemme précédent, on peut trouver l’intégrale

$\int ya^{x}dx,$

lorsque $y=\mathrm {X} e^{-\alpha x},$ $\mathrm {X}$ étant une fonction, rationnelle et sans diviseur, de $x,$ telle que sa différentielle d’un ordre quelconque soit constante ; car pour cela il n’y aura qu’a mettre, dans la formule du Lemme, $\mathrm {X}$ à la place de $y$ et $ae^{-\alpha }$ à la place de $a\,;$ moyennant quoi on aura

$\int {\frac {\mathrm {X} a^{x}}{e^{x\alpha }}}dx=$

${\frac {a^{x}}{e^{\alpha x}}}\left[{\frac {\mathrm {X} }{\log a-\alpha }}-{\frac {d\mathrm {X} }{dx(\log a-\alpha )^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}(\log a-\alpha )^{3}}}-\ldots \right]+\mathrm {const} .$

Et l’on trouvera de même l’intégrale de $ya^{x}dx,$ lorsque $y$ sera composée de différentes fonctions de même espèce que ${\frac {\mathrm {X} }{e^{\alpha x}}}.$

D’où il s’ensuit que l’on pourra aussi trouver l’intégrale de $ya^{x}dx$ lorsque $y$ sera de cette forme : $\mathrm {X} \cos \alpha x$ ou $\mathrm {X} \sin \alpha x,$ ou composée de plusieurs fonctions d’une forme semblable ; car il n’y aura qu’à mettre à la place des sinus et cosinus les expressions exponentielles imaginaires qui leur sont équivalentes, et, le calcul achevé, on remettra à la place de ces expressions les sinus ou cosinus qui y répondent. Ce sont là les seuls cas où la formule $ya^{x}dx$ soit, intégrable, au moins par les méthodes connues jusqu’ici ; dans tous les autres cas l’intégration ne peut s’exécuter que par approximation.

Problème X.

38. On suppose que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre ces deux limites, $p$ et $-q,$ et que la facilité de chaque erreur $x,$ cest-à-dire le nombre des cas où elle peut avoir lieu divisé par le nombre total des cas, soit représentée par une fonction quelconque de $x$ désignée par $y\,;$ on demande la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit comprise entre les limites $r$ et $-s.$

On commencera d’abord par chercher la probabilité que l’erreur moyenne soit $z,$ et cette probabilité étant représentée par une fonction de $z,$ il n’y aura qu’à en prendre l’intégrale depuis $z=r$ jusqu’à $z=s\,;$ ce sera la probabilité cherchée.

Maintenant, pour avoir la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit $z,$ il faudra considérer le polynôme qui est représenté par l’intégrale de $ya^{x}dx,$ en supposant cette intégrale prise de manière qu’elle s’étende depuis $x=p$ jusqu’à $x=-q\,;$ on élèvera ce polynôme à la puissance $n,$ et l’on cherchera le coefficient de puissance $z$ de $a,$ par les règles données dans les Corollaires du Lemme précédent ; ce coefficient, qui sera une fonction de $z,$ exprimera la probabilité que l’erreur moyenne soit $z,$ comme il est facile de le voir d’après ce qui a été démontré plus haut.

39. Exemple I. — Supposons d’abord que $y$ soit une quantité constante $\mathrm {K} ,$ en sorte que toutes les erreurs soient également probables, et l’intégrale de $ya^{x}dx$ sera ${\frac {\mathrm {K} a^{x}}{\log a}},$ de sorte qu’en prenant cette intégrale depuis $x=p$ jusqu’à $x=-q,$ on aura pour sa valeur complète ${\frac {\mathrm {K} \left(a^{p}-a^{-q}\right)}{\log a}}\,;$ qu’on élève donc cette quantité à la puissance $n,$ et l’on aura une quantité de la forme ${\frac {\mathrm {A} }{(\log a)^{n}}},$ où (faisant $p+q=t$)

$\mathrm {A=K} ^{n}\left[a^{pn}-na^{pn-t}+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{pn-2t}-\ldots \right].$

Donc, par le Corollaire II du Lemme (36), le coefficient de puissance $a^{pn-x}$ sera

${\frac {\mathrm {K} ^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}\left[x^{n-1}-n(x-t)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}(x-2t)^{n-1}\right.$

$\left.-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(x-3t)^{n-1}\right]dx,$

en ayant soin de ne continuer la série que jusqu’à ce qu’on parvienne à des termes $x-mt$ qui soient négatifs. Faisant donc $pn-x=z,$ c’est-à-dire $x=pn-z,$ on aura la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit $z.$ On intégrera maintenant la formule précédente en y faisant varier $x,$ et l’on prendra l’intégrale en sorte qu’elle soit nulle lorsque $x=pn-r,$ et complète lorsque $x=pn+s\,;$ on aura de cette manière la quantité

${\frac {\mathrm {K} ^{n}}{1.2.3\ldots n}}\left[(pn+s)^{n}-n(pn+s-t)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(pn+s-2t)^{n}-\ldots \right.$

$\left.-(pn-r)^{n}+n(pn-r-t)^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}(pn-r-2t)^{n}+\ldots \right],$

laquelle exprimera la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit contenue entre les limites $r$ et $-s\,;$ au reste cette formule revient à la même que celle du n^o 27.

40. Exemple II. — On suppose que la quantité $y$ soit $\mathrm {K} \left(p^{2}-x^{2}\right),$ et que les deux limites des erreurs soient $p$ et $-p,$ il faudra intégrer la différentielle $\mathrm {K} a^{x}\left(p^{2}-x^{2}\right)dx,$ et prendre l’intégrale en sorte qu’elle s’étende depuis $x=-p$ jusqu’à $x=p.$ Or, puisque la seconde différentielle de $p^{2}-x^{2}$ est constante, on aura par le Lemme cette intégrale

$\mathrm {K} a^{x}\left[{\frac {p^{2}-x^{2}}{\log a}}+{\frac {2x}{(\log a)^{2}}}-{\frac {2}{(\log a)^{3}}}\right],$

laquelle étant complétée, comme on vient de le dire, donnera

${\frac {2\mathrm {K} p\left(a^{p}+a^{-p}\right)}{(\log a)^{2}}}-{\frac {2\mathrm {K} \left(a^{p}-a^{-p}\right)}{(\log a)^{3}}}\,;$

on élèvera donc cette quantité à la puissance $n,$ et l’on aura

${\frac {(2\mathrm {K} p)^{n}\left(a^{p}+a^{-p}\right)}{(\log a)^{2n}}}-n{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-1}\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-1}\left(a^{p}-a^{-p}\right)}{(\log a)^{2n+1}}}$

$+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-2}\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-2}\left(a^{p}-a^{-p}\right)^{2}}{(\log a)^{2n+2}}}+\ldots \,;$

on développera les puissances de $a^{p}+a^{-p}$ et de $a^{p}-a^{-p},$ et l’on cherchera ensuite par les règles du n^o 36 le coefficient de la puissance $a^{z}.$ Pour faciliter ces opérations nous supposerons

${\begin{aligned}&\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n}=a^{pn}+\mathrm {P} a^{pn-2p}+\mathrm {Q} a^{pn-4p}+\ldots \\&\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-1}\left(a^{p}-a^{-p}\right)\,=a^{np}+\mathrm {P} 'a^{np-2p}+\mathrm {Q} 'a^{np-4p}+\ldots \\&\left(a^{p}+a^{-p}\right)^{n-2}\left(a^{p}-a^{-p}\right)^{2}=a^{np}+\mathrm {P} ''a^{np-2p}+\mathrm {Q} ''a^{np-4p}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera, pour le coefficient de la puissance $np-x,$ la série

${\begin{aligned}{\frac {(2\mathrm {K} p)^{n}}{1.2.3\ldots (2n-1)}}&\left[x^{2n-1}+\mathrm {P} (x-2p)^{2n-1}\ +\mathrm {Q} (x-4p)^{2n-1}\ \,+\ldots \right]dx\\-n{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-1}}{1.2.3\ldots 2n}}&\left[x^{2n}\quad +\mathrm {P} '(x-2p)^{2n}\ \ \ +\mathrm {Q} '(x-4p)^{2n}\quad +\ldots \right]dx\\+{\frac {n(n-1)}{2}}\qquad \qquad &\\\times {\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-2}}{1.2.3\ldots (2n+1)}}&\left[x^{2n+1}+\mathrm {P} ''(x-2p)^{2n+1}+\mathrm {Q} ''(x-4p)^{2n+1}+\ldots \right]dx\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On fera donc $z=np-x,$ c’est-à-dire $x=np-z,$ et l’on intégrera de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $z=r$ et complète lorsque, $z=-s,$ c’est-à-dire nulle quand $x=np-r$ et complète quand

$x=np+s\,;$ on aura la quantité

${\frac {(2\mathrm {K} p)^{n}}{1.2.3\ldots 2n}}\left[(np+s)^{2n}+\mathrm {P} \left[(n-2)p+s)\right]^{2n}+\mathrm {Q} \left[(n-4)p+s\right]^{2n}+\ldots \right.$

$\left.-(np-r)^{2n}-\mathrm {P} \left[(n-2)p-r)\right]^{2n}-\mathrm {Q} \left[(n-4)p-r\right]^{2n}-\ldots \right].$

$-n{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-1}}{1.2.3\ldots (2n+1)}}$

$\times \left[(np+s)^{2n+1}+\mathrm {P} '\left[(n-2)p+s)\right]^{2n+1}+\mathrm {Q} '\left[(n-4)p+s\right]^{2n+1}+\ldots \right.$

$\left.-(np-r)^{2n+1}-\mathrm {P} '\left[(n-2)p-r)\right]^{2n+1}-\mathrm {Q} '\left[(n-4)p-r\right]^{2n+1}-\ldots \right].$

$+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {(2\mathrm {K} )^{n}p^{n-2}}{1.2.3\ldots (2n+2)}}$

$\times \left[(np+s)^{2n+2}+\mathrm {P} ''\left[(n-2)p+s)\right]^{2n+2}+\mathrm {Q} ''\left[(n-4)p+s\right]^{2n+2}+\ldots \right.$

$\left.-(np-r)^{2n+2}-\mathrm {P} ''\left[(n-2)p-r)\right]^{2n+2}-\mathrm {Q} ''\left[(n-4)p-r\right]^{2n+2}-\ldots \right].$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

laquelle exprimera la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit comprise entre les limites $r$ et $-s\,;$ au reste il faudra toujours se souvenir que les séries précédentes ne doivent être continuées que jusqu’à ce que quelques-unes des quantités qui sont élevées aux puissances $2n,2n+1,\ldots$ deviennent négatives.

41. Remarque. — L’hypothèse du dernier exemple paraît la plus simple et la plus naturelle qu’on puisse imaginer ; il est vrai que celle du Problème VIII paraît encore plus simple, puisqu’on y suppose que la facilité des erreurs $x$ et $-x$ soit représentée par $p-x,$ $p$ étant la plus grande valeur possible de $x,$ c’est-à-dire la limite des erreurs, tant positives que négatives ; mais cette hypothèse a l’inconvénient que la loi de continuité n’y est pas observée en passant des erreurs positives aux négatives ; c’est pourquoi, si l’on voulait y appliquer la méthode du Problème précédent, il faudrait, en faisant $y=\mathrm {K} (p-x),$ prendre d’abord l’intégrale $\int ya^{x}dx$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=p,$ laquelle serait

$\mathrm {K} \left[{\frac {a^{p}-1}{(\log a)^{2}}}-{\frac {p}{\log a}}\right]\,;$

ensuite, en faisant $x$ négatif et conservant la même valeur de $y,$ il fau-

drait prendre de même l’intégrale $\int ya^{x}dx$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=p,$ laquelle serait (en ne faisant que mettre ${\frac {1}{a}}$ à la place de $a$ dans l’expression précédente)

$\mathrm {K} \left[{\frac {a^{-p}-1}{(\log a)^{2}}}+{\frac {p}{\log a}}\right],$

et la somme de ces deux intégrales particulières serait l’intégrale complète de $\int yaxdx$ depuis $x=p$ jusqu’à $x=-p$ dans l’hypothèse dont il s’agit ; on aura donc la quantité

$\mathrm {K} \left[{\frac {a^{p}+a^{-p}-2}{(\log a)^{2}}}\right]\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K} \left({\frac {a^{\frac {p}{2}}-a^{-{\frac {p}{2}}}}{\log a}}\right)^{2},$

qu’il faudra élever à la puissance $n,$ et sur laquelle on pourra ensuite opérer, comme dans l’Exemple I ; on pourra même, sans faire un nouveau calcul, appliquer ici les formules de cet Exemple en y mettant $2n$ à la place de $n,$ ${\frac {p}{2}}$ à la place de $p$ et de $q,$ et par conséquent $p$ à la place de $t=p+q\,;$ de cette manière on aura sur-le-champ l’expression de la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit renfermée entre les limites $r$ et $-s,$ laquelle sera

${\frac {\mathrm {K} ^{2n}}{1.2.3\ldots 2n}}\left[(pn+s)^{2n}-2n\left[(n-1)p+s\right]^{2n}+{\frac {2n(2n-1)}{2}}\left[(n-2)p+s\right]^{2n}-\ldots \right.$

$\left.-(pn-r)^{2n}+2n\left[(n-1)p-r\right]^{2n}-{\frac {2n(2n-1)}{2}}\left[(n-2)p-r\right]^{2n}+\ldots \right],$

ce qui s’accorde avec la formule du n^o 29.

Problème XI.

42. Supposant que chaque observation soit sujette à toutes les erreurs possibles comprises entre les limites $p$ et $-p$ ( $p$ étant l’arc de $90$ degrés), et que la facilité de chaque erreur $x$ soit proportionnelle à $\cos x,$ on demande la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations sera renfermée entre les limites $r$ et $-s.$

On aura donc ici $y=\mathrm {K} \cos x,$ et il s’agira d’abord d’intégrer la différentielle $\mathrm {K} a^{x}\cos xdx,$ dont l’intégrale ${\biggl (}{\biggr .}\!$ en mettant ${\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}+e^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}}$ à la place de $\!\cos x{\biggl .}{\biggr )}$ se trouvera par le n^o 37,

${\frac {\mathrm {K} a^{x}}{2}}\left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{\log a+{\sqrt {-1}}}}+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{\log a-{\sqrt {-1}}}}\right),$

c’est-à-dire, en repassant des exponentielles imaginaires aux sinus et cosinus,

$\mathrm {K} a^{x}{\frac {\log a.\cos x+\sin x}{(\log a)^{2}+1}}\,;$

cette intégrale doit maintenant être prise en sorte qu’elle s’étende depuis $x=-p,$ auquel cas $\cos x=0$ et $\sin x=1,$ jusqu’à $x=p,$ où $\cos x=0$ et $\sin x=1\,;$ ainsi l’on aura pour l’intégrale complète

${\frac {\mathrm {K} \left(a^{p}+a^{-p}\right)}{(\log a)^{2}+1}}.$

Qu’on élève donc cette quantité à la puissance $n,$ et faisant, pour abréger,

$\mathrm {A=K} ^{n}\left[a^{pn}+na^{pn-2p}+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{pn-4p}+\ldots \right],$

on aura la quantité

${\frac {\mathrm {A} }{\left[(\log a)^{2}+1\right]^{n}}},$

dans laquelle il s’agira maintenant de chercher le coefficient de la puissance $a^{z}.$

Pour cela il faudra (36) décomposer la fraction

${\frac {1}{\left[(\log a)^{2}+1\right]^{n}}},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad {\frac {1}{\left(\log a+{\sqrt {-1}}\right)^{n}\left(\log a-{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},$

en ces fractions simples

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {F} }{(\log a+{\sqrt {-1}})^{n}}}+{\frac {\mathrm {F} '}{(\log a+{\sqrt {-1}})^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {F} ''}{(\log a+{\sqrt {-1}})^{n-2}}}+\ldots \\+&{\frac {\mathrm {G} }{(\log a-{\sqrt {-1}})^{n}}}\,+{\frac {\mathrm {G} '}{(\log a-{\sqrt {-1}})^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {G} ''}{(\log a-{\sqrt {-1}})^{n-2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura par les méthodes connues (31)

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {F} =&{\frac {1}{\left(-2{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},\quad &\mathrm {F} '=&-{\frac {n}{\left(-2{\sqrt {-1}}\right)^{n+1}}},\quad &\mathrm {F} ''=&{\frac {n(n+1)}{2\left(-2{\sqrt {-1}}\right)^{n+2}}}+\ldots ,\\\mathrm {G} =&{\frac {1}{\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{n}}},&\mathrm {G} '=&-{\frac {n}{\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{n+1}}},&\mathrm {G} ''=&{\frac {n(n+1)}{2\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{n+2}}}+\ldots \,;\end{alignedat}}$

multipliant ensuite par $\mathrm {A}$ chacune de ces fractions, on trouvera, par la méthode du n^o 36, que le coefficient de la puissance $a^{pn-x}$ sera exprimé de cette manière :

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-1)}}\\&\quad \times \left[\left(\mathrm {F} e^{-x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} e^{x{\sqrt {-1}}}\right)x^{n-1}\right.\\&\qquad +n\left[\mathrm {F} e^{-(x-2p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} e^{(x-2p){\sqrt {-1}}}\right](x-2p)^{n-1}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[\mathrm {F} e^{-(x-4p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} e^{(x-4p){\sqrt {-1}}}\right](x-4p)^{n-1}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\&\quad \times \left[\left(\mathrm {F} 'e^{-x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} 'e^{x{\sqrt {-1}}}\right)x^{n-2}\right.\\&\qquad +n\left[\mathrm {F} 'e^{-(x-2p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} 'e^{(x-2p){\sqrt {-1}}}\right](x-2p)^{n-2}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[\mathrm {F} 'e^{-(x-4p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} 'e^{(x-4p){\sqrt {-1}}}\right](x-4p)^{n-2}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-3)}}\\&\quad \times \left[\left(\mathrm {F} ''e^{-x{\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} ''e^{x{\sqrt {-1}}}\right)x^{n-3}\right.\\&\qquad +n\left[\mathrm {F} ''e^{-(x-2p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} ''e^{(x-2p){\sqrt {-1}}}\right](x-2p)^{n-3}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[\mathrm {F} ''e^{-(x-4p){\sqrt {-1}}}+\mathrm {G} ''e^{(x-4p){\sqrt {-1}}}\right](x-4p)^{n-3}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or on a $e^{\pm x{\sqrt {-1}}}=\cos x\pm {\sqrt {-1}}\sin x,$ et ainsi des autres ; donc, substituant ces valeurs, et faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {G\ \ +F\ \ } =&f,\qquad &\mathrm {G\ \ -F\ \ } =&{\frac {g}{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {G'\ +F'\ } =&f',&\mathrm {G'\ -F'\ } =&{\frac {g'}{\sqrt {-1}}},\\\mathrm {G''+F''} =&f'',&\mathrm {G''-F''} =&{\frac {g''}{\sqrt {-1}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{alignedat}}$

où les quantités $f,g,f',g',\ldots$ seront nécessairement réelles, la formule précédente deviendra

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-1)}}\\&\quad \times \left[\left(f\cos x+g\sin x\right)x^{n-1}\right.\\&\qquad +n\left[f\cos(x-2p)+g\sin(x-2p)\right](x-2p)^{n-1}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[f\cos(x-4p)+g\sin(x-4p)\right](x-4p)^{n-1}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\&\quad \times \left[\left(f'\cos x+g'\sin x\right)x^{n-2}\right.\\&\qquad +n\left[f'\cos(x-2p)+g'\sin(x-2p)\right](x-2p)^{n-2}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[f'\cos(x-4p)+g'\sin(x-4p)\right](x-4p)^{n-2}+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} ^{n}dx}{1.2.3\ldots (n-3)}}\\&\quad \times \left[\left(f''\cos x+g''\sin x\right)x^{n-3}\right.\\&\qquad +n\left[f''\cos(x-2p)+g''\sin(x-2p)\right](x-2p)^{n-3}\\&\qquad +\left.{\frac {n(n-1)}{2}}\left[f''\cos(x-4p)+g''\sin(x-4p)\right](x-4p)^{n-3}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

où il faudra continuer les différentes séries jusqu’à ce que les quantités $x,x-2p,x-4p,\ldots$ ou leurs exposants deviennent négatifs ; cette quantité exprimera donc la probabilité que l’erreur moyenne de $n$ observations soit $pn-x\,;$ par conséquent il n’y aura plus qu’à l’intégrer de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $x=pn-r$ et complète lorsque $r=pn+s$ pour avoir l’expression cherchée de la probabilité que l’erreur moyenne soit renfermée entre les limites données $r$ et $-s\,;$ mais comme cette intégration est facile par les méthodes connues, nous n’entrerons pas dans un plus grand détail là-dessus ; et nous terminerons même ici nos recherches, par lesquelles on doit voir qu’il ne reste plus de difficulté dans la solution des questions qu’on peut proposer sur ce sujet.