MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE
DE LA
VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES
DANS TOUS LES PROBLÈMES DE LA MÉCANIQUE[1].
(Mémoires de la première Classe de l’Institut de France, année 1808.)
L’application de l’Algèbre à la Théorie des courbes, qu’on doit à Descartes, avait fait naître la distinction des quantités en constantes et en variables, et la découverte du Calcul différentiel a appris à soumettre au calcul les variations instantanées de ces dernières quantités. Depuis on a beaucoup étendu la considération de la variabilité, et l’on peut dire que presque tous les artifices d’Analyse qu’on a inventés se réduisent à faire varier de différentes manières, soit ensemble ou séparément, tant les quantités qui sont par leur nature variables, que celles que l’état de la question suppose constantes. L’art consiste à choisir parmi toutes les variations possibles celles qui, dans chaque cas, peuvent conduire aux résultats les plus simples et les plus avantageux.
On sait que l’intégration introduit toujours dans le calcul des quantités constantes relativement aux variables des équations, et dont la valeur est arbitraire. On peut donc aussi faire varier ces constantes ; ces variations, envisagées sous différents points de vue, ont produit des Théories nouvelles, parmi lesquelles celle de la variation des éléments des planètes est la plus importante.
Dans le Mémoire[2] que j’ai lu, il y a six mois, sur cette Théorie, j’ai cherché à déduire immédiatement des équations différentielles du mouvement des planètes les variations de leurs éléments, en considérant ceux-ci comme les constantes arbitraires que l’intégration doit introduire lorsqu’on fait abstraction des forces perturbatrices, et en attribuant tout l’effet des perturbations à la variation de ces constantes. Je suis parvenu de cette manière à un résultat général et indépendant de la figure des orbites planétaires. J’ai trouvé que la fonction des distances qui exprime la somme des intégrales des forces perturbatrices, multipliées chacune par l’élément de sa direction, a cette propriété remarquable, qu’en y faisant varier les seules constantes arbitraires, ses différences partielles relatives à chacune de ces constantes ne renferment point le temps, et ne sont exprimées que par des fonctions linéaires des différences de ces constantes, et dans lesquelles les coefficients de ces différences ne dépendent que des mêmes constantes. De là il a été facile de déduire les variations des éléments, exprimées par des formules différentielles qui ne renferment que les éléments eux-mêmes et les différences partielles de la fonction dont on a parlé par rapport à ces éléments ; résultat important auquel M. de Laplace est parvenu de son côté par la considération des formules du mouvement elliptique.
J’ai entrepris depuis d’étendre à un système de corps qui agissent les uns sur les autres, d’une manière quelconque, l’Analyse qui m’avait réussi pour les variations des éléments des planètes, en l’appliquant ; aux formules générales que j’ai données dans la Mécanique analytique, pour le mouvement d’un système quelconque de corps ; après plusieurs tentatives infructueuses je suis parvenu, non sans étonnement, vu la grandie généralité des équations différentielles, à un résultat analogue à celui que j’avais trouvé pour les planètes, et dont celui-ci n’est plus qu’un cas particulier. Cette nouvelle Analyse, qui fait l’objet de ce Mémoire, sera le complément de la Théorie de la variation des constantes arbitraires, et pourra être utile dans plusieurs Problèmes de Mécanique.
Quel que soit le système de corps dont on cherche le mouvement, et de quelque manière qu’ils agissent les uns sur les autres, on peut toujours réduire les variables, qui déterminent leur position dans l’espace, à un petit nombre de variables indépendantes, en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, autant de variables qu’il y a de conditions ; c’est-à-dire, en exprimant toutes les variables, qui sont au nombre de trois pour chaque corps, par un petit nombre d’entre elles, ou par d’autres variables quelconques qui, n’étant plus assujetties à aucune condition, seront indépendantes. Cette réduction supposée, le Problème mécanique consiste à déterminer chacune de ces variables par le temps ; or j’ai donné, dans la seconde Partie de la Mécanique analytique, la forme générale des équations différentielles pour chacune des variables indépendantes dont il s’agit ; de sorte que la solution du Problème ne dépend plus que de l’intégration de ces différentes équations différentielles, qui sont essentiellement du second ordre, et qui sont plus ou moins compliquées suivant la nature du Problème.
Supposons que dans un Problème donné on soit parvenu à intégrer complétement les équations dont il dépend, mais en faisant abstraction de certaines forces qui agissent sur les corps dans une raison quelconque des distances, et qu’on peut regarder comme des forces perturbatrices du mouvement du système. À l’imitation de ce qu’on fait à l’égard des planètes, on peut réduire l’effet de ces forces, surtout si on les suppose très-petites, à ne faire varier dans la solution générale que les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations ; et, comme il doit y avoir deux constantes arbitraires à raison de chaque variable, puisque ces variables dépendent d’équations différentielles du second ordre, on peut faire en sorte que, non-seulement leurs expressions finies, mais encore leurs expressions différentielles, soient les mêmes que si les constantes dont il s’agit demeuraient invariables ; de sorte qu’à chaque instant les lieux des corps dans l’espace, ainsi que leurs vitesses et leurs directions, soient représentés par les mêmes formules, en ayant égard aux forces perturbatrices, que lorsqu’on fait abstraction de ces forces, comme cela a lieu pour les planètes.
En considérant sous ce point de vue la variation des constantes arbitraires, j’ai trouvé que la fonction qui représente l’intégrale de toutes les forces perturbatrices, multipliées chacune par l’élément de la distance dont elle dépend, jouit aussi de la même propriété, que ses différences partielles relatives à chacune des constantes arbitraires sont exprimées uniquement par des fonctions différentielles de ces mêmes constantes sans le temps ; de sorte que l’on a, pour les variations de ces constantes, des équations différentielles qui ne renferment que ces constantes avec les différences partielles de la fonction dont il s’agit, relatives à chacune d’elles, comme dans le cas des perturbations des planètes, forme extrêmement avantageuse pour le calcul des variations des constantes, et surtout pour la détermination de leurs variations séculaires. Ainsi cette propriété, que j’ai reconnue à l’égard du mouvement des planètes, a lieu, en général, pour tous les Problèmes sur le mouvement des corps, et peut être regardée comme un résultat général des lois fondamentales de la Mécanique. Elle fournit en même temps un nouvel instrument pour faciliter la solution de plusieurs Problèmes importants.
Le Système du monde, outre les perturbations des planètes, auquel la Théorie de la variation des éléments s’applique naturellement, en offre encore un autre plus difficile, et susceptible également de la même Théorie c’est celui de la rotation des planètes autour de leur centre de gravité, en ayant égard à leur figure non sphérique et à l’attraction que les autres planètes exercent sur chacune de leurs molécules. En faisant abstraction de ces forces d’attraction, qu’on peut regarder comme des forces perturbatrices, le Problème consiste à déterminer le mouvement d’un corps solide de figure quelconque autour de son centre de gravité, lorsqu’il n’est sollicité par aucune force et qu’il a seulement reçu une impulsion initiale quelconque ; et l’on sait que ce Problème, pour lequel d’Alembert avait donné le premier les équations différentielles, a été résolu complétement par Euler. On a ici, comme pour le mouvement d’une planète dans son orbite, trois équations différentielles, du second ordre entre trois variables indépendantes ; par conséquent les expressions finies de ces variables doivent renfermer six constantes arbitraires qu’on peut regarder comme les éléments de la rotation, et dont trois tiennent à la rotation elle-même, et les trois autres sont relatives au plan auquel on rapporte la rotation, comme dans le cas du mouvement de translation. Ces éléments deviendront variables par l’action des forces perturbatrices, et la détermination de leurs variations est un Problème dont la solution n’a pas encore été donnée, ni même tentée, que je sache, sous ce point de vue général. Je me propose d’en faire l’objet d’un autre Mémoire ; dans celui-ci je ne vais exposer que l’Analyse générale et applicable à tous les Problèmes de Mécanique.
Formules générales pour la variation des constantes arbitraires,
dans les Problèmes de Mécanique.
1. Soit un système de corps
qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, et qui soient de plus sollicités par des forces accélératrices
tendant à des centres fixes ou à des corps mêmes du système, et proportionnelles à des fonctions quelconques des distances
en sorte que les différentielles
soient toujours intégrables.
Soient
les coordonnées rectangles du corps
celles du corps
et soit
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}m+{\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{2dt^{2}}}m'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab39d14281fac8a9eee597fdf40f2a29794d9182)
étant l’élément du temps supposé constant.
Soit de plus
![{\displaystyle \mathrm {V} =\left(\int \mathrm {P} dp+\int \mathrm {Q} dq+\ldots \right)m+\left(\int \mathrm {P} 'dp'+\int \mathrm {Q} 'dq'+\ldots \right)m'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fc172ac447869277ce86ca9e94fcc9e3ee9c84)
Cette quantité
sera aussi une fonction des coordonnées ![{\displaystyle x,y,z,x',y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1b42ba6e946e8a302af78d10c49d17d24e1a91)
![{\displaystyle z',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87963213bc24850dfad48307a08002fd7a620212)
puisque, en désignant par
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301cc1b37ba8f0fb0c9bedee5efa5e0b5bc9e791)
les coordonnées du centre de la force
![{\displaystyle \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780cae1add02ad4aa1c3719fb704cc88e591f64f)
on a
![{\displaystyle p={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}+(z-\gamma )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c179c527327da0f0677a6e9eb1c3481ae9ca0310)
et ainsi des autres.
2. Les conditions du système dépendantes de la disposition des corps entre eux, étant traduites en Analyse, fourniront autant d’équations de condition entre leurs coordonnées
par lesquelles quelques-unes de ces variables seront déterminées en fonctions des autres ; de sorte qu’il ne restera qu’un certain nombre de variables indépendantes, par lesquelles la position du système sera déterminée a chaque instant.
Désignons, en général, par
les variables indépendantes dont les coordonnées
seront des fonctions connues ; il est clair que les quantités
et
deviendront aussi des fonctions de ces mêmes variables ; et en particulier la quantité
sera une fonction de
et de leurs dérivées
que nous dénoterons pour plus de simplicité, par
mais la quantité
sera une simple fonction de
3. Cela posé, j’ai démontré, dans la Mécanigue analytigue [Partie II, Section IV[3]], que ces variables fournissent autant d’équations différentielles de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{dr'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{dr}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=0,\\&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{ds'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{ds}}+{\frac {d\mathrm {V} }{ds}}=0,\\&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{du'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{du}}+{\frac {d\mathrm {V} }{du}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924d754bc0a9d99036f8b16c0c18eb22e9c1c3ef)
Il est visible que ces équations seront toutes du second ordre, de sorte que les expressions finies de
contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu’il y a de variables. Nous dénoterons ces constantes par
4. Supposons maintenant que, le Problème étant résolu dans cet état et les expressions de
étant connues en fonctions de
et de
on demande de résoudre le même Problème, dans le cas où les différents corps du système seraient de plus soumis à l’action de forces perturbatrices de la nature des forces
mais dont les centres soient mobiles d’une manière quelconque indépendante du système.
Désignons par
ce que devient la fonction
pour les forces perturbatrices dont il s’agit ; il n’y aura qu’à mettre
à la place de
dans les équations précédentes, pour avoir les équations du mouvement du même système altéré par les forces perturbatrices.
Ces équations seront ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{dr'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{dr}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}={\frac {d\Omega }{dr}},\\&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{ds'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{ds}}+{\frac {d\mathrm {V} }{ds}}={\frac {d\Omega }{ds}},\\&{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{du'}}}{dt}}-{\frac {d\mathrm {T} }{du}}+{\frac {d\mathrm {V} }{du}}={\frac {d\Omega }{du}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa623a4a6371d03b141f18367c510b3aa508cf8)
et, si l’on suppose que les mêmes expressions de
ainsi que celles de
y satisfassent encore en regardant comme variables les constantes arbitraires
la question sera réduite à déterminer ces variables d’après ces conditions.
5. Nous ne considérerons ici que trois variables indépendantes,
mais on verra aisément que l’Analyse est générale, quel que soit le nombre de ces variables. On n’aura donc entre ces variables que trois équations, qui, à cause que
ne contient point
peuvent se mettre sous cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt=&{\frac {d\Omega }{dr}}dt,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt=&{\frac {d\Omega }{ds}}dt,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt=&{\frac {d\Omega }{du}}dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7175f00fa37ef5c7ad1fed72f41820e1c04b207)
en faisant ![{\displaystyle \mathrm {R=T-V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f0d9f335890f317642f6bbb2fafe5da336550f)
Dans ces équations,
est une fonction donnée de
et de
et
est aussi une fonction donnée seulement de
mais qui peut contenir encore d’autres variables dépendant du mouvement des centres des forces perturbatrices.
6. Nous supposerons connue la solution complète de ces équations dans le cas où l’on fait abstraction des seconds membres qui dépendent de la fonction
ainsi, pour ce cas, les valeurs de
seront censées connues en fonctions de
et des six constantes arbitraires
et il s’agira de faire varier ces constantes de manière que les expressions finies de
ainsi que celles de
c’est-à-dire, de leurs différentielles
relatives seulement à
et indépendantes de la variation des constantes, satisfassent en entier aux mêmes équations, en ayant égard aux termes dépendants de
7. Dénotons par la caractéristique, comme dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes, les différentielles provenant de la variation des six constantes arbitraires
on aura par l’algorithme des différences partielles, en regardant
ainsi que
comme fonctions de
et de
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\delta r=&{\frac {dr}{da}}da&+&{\frac {dr}{db}}db&+&{\frac {dr}{dc}}dc&+&{\frac {dr}{df}}df&+&{\frac {dr}{dg}}dg&+&{\frac {dr}{dh}}dh,\\\delta s=&{\frac {ds}{da}}da&+&{\frac {ds}{db}}db&+&{\frac {ds}{dc}}dc&+&{\frac {ds}{df}}df&+&{\frac {ds}{dg}}dg&+&{\frac {ds}{dh}}dh,\\\delta u=&{\frac {du}{da}}da&+&{\frac {du}{db}}db&+&{\frac {du}{dc}}dc&+&{\frac {du}{df}}df&+&{\frac {du}{dg}}dg&+&{\frac {du}{dh}}dh\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fc98a33ac32b550d423104d9639311d20805d5)
et de même
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\delta r'=&{\frac {dr'}{da}}da&+&{\frac {dr'}{db}}db&+&{\frac {dr'}{dc}}dc&+&{\frac {dr'}{df}}df&+&{\frac {dr'}{dg}}dg&+&{\frac {dr'}{dh}}dh,\\\delta s'=&{\frac {ds'}{da}}da&+&{\frac {ds'}{db}}db&+&{\frac {ds'}{dc}}dc&+&{\frac {ds'}{df}}df&+&{\frac {ds'}{dg}}dg&+&{\frac {ds'}{dh}}dh,\\\delta u'=&{\frac {du'}{da}}da&+&{\frac {du'}{db}}db&+&{\frac {du'}{dc}}dc&+&{\frac {du'}{df}}df&+&{\frac {du'}{dg}}dg&+&{\frac {du'}{dh}}dh.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4562fe9c55125d67fcf40784c33c35b7902c75e1)
En regardant les constantes
comme variables en même temps que
les différentielles de
seront ainsi
![{\displaystyle r'dt+\delta r,\quad s'dt+\delta s,\quad u'dt+\delta u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb465fd8703628615c6d37048fee17f48c3cc64)
donc, pour que ces différentielles se réduisent à
comme si les constantes arbitraires ne variaient pas, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \delta r=0,\quad \delta s=0,\quad \delta u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1989c90d68c146e61ec654f7ff86302a4f0dd4)
8. Maintenant, si l’on considère l’équation
![{\displaystyle d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt={\frac {d\Omega }{dr}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff476e683771bf352efeed9a18c711a0e5b3fea)
il est facile de voir que, comme
estune fonction de
et de
la partie de la différentielle de
provenant de la variation des constantes arbitraires sera simplement
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\delta u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1863d70c66e27540c3122943214ed335df03fd9c)
à cause de
![{\displaystyle \delta r=0,\ \delta s=0,\ \delta u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0a5c482dabb8627c5b5d97fed772501db4b30e)
Donc cette partie seule devra être égalée au second membre
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dr}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a7f7490295545435854d7f970f5612e41416c3)
puisque l’équation est censée satisfaite, sans cette partie et sans le second membre, par les mêmes valeurs de
![{\displaystyle r,s,u,r',s',u'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0794b879ae8acbb624730ba26c424d35363f5d32)
en
![{\displaystyle t,a,b,c,f,g,h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df1fc32ad9b3328ce37ae61c060436da1941b7a)
que dans le cas où il n’y a que
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
de variable.
On aura de cette manière l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\delta u'={\frac {d\Omega }{dr}}dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4c311a2d2f18085a7fd3c45efdde263a37baa3)
et pareillement les deux autres équations donneront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\,\delta r'+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\ \ \delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\delta u'=&{\frac {d\Omega }{ds}}dt,\\{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\delta s'+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\ \ \delta u'=&{\frac {d\Omega }{du}}dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed16ad06a0fcad5fb453adef00ab47e74e2b81a2)
Ces trois équations, jointes aux équations
![{\displaystyle \delta r=0,\quad \delta s=0,\quad \delta u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a6ead0a70a0228e04a3aa3156cd5960ec86944)
renferment toutes les conditions du Problème, et serviront à déterminer les valeurs des nouvelles variables
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Le but de l’Analyse que nous allons exposer est simplement de réduire les valeurs des différentielles
![{\displaystyle {\frac {da}{dt}},\ \ {\frac {db}{dt}},\ \ {\frac {dc}{dt}},\ \ {\frac {df}{dt}},\ \ {\frac {dg}{dt}},\ \ {\frac {dh}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597677e08d13cd6b9e8127af9c0ae2540e33c7bc)
données par ces équations à des expressions qui ne renferment que les quantités
et les différences partielles de
relatives à ces mêmes quantités, sans le temps
comme nous l’avons fait pour les variations des éléments des planètes dans le Mémoire cité.
9. En multipliant la première équation par
et retranchant les équations
![{\displaystyle \delta r=0,\quad \delta s=0,\quad \delta u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a6ead0a70a0228e04a3aa3156cd5960ec86944)
multipliées respectivement par
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}{\frac {dr'}{da}},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}{\frac {dr'}{da}},{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}{\frac {dr'}{da}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f764d342895826e377e6a9f84e6ebfc434926ce)
je forme celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dr}}{\frac {dr}{da}}dt=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}\delta r'-{\frac {dr'}{da}}\delta r\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}\delta s'-{\frac {dr'}{da}}\delta s\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}\delta u'-{\frac {dr'}{da}}\delta u\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048bab66120ca4b30adc87c0d7fd4c3651e50530)
J’aurai de même par les deux autres équations ces transformées
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{ds}}{\frac {ds}{da}}dt=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {ds}{da}}\delta r'-{\frac {ds'}{da}}\delta r\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\left({\frac {ds}{da}}\delta s'-{\frac {ds'}{da}}\delta s\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}\delta u'-{\frac {ds'}{da}}\delta u\right),\\{\frac {d\Omega }{du}}{\frac {du}{da}}dt=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {du}{da}}\delta r'-{\frac {du'}{da}}\delta r\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d'sdu'}}\left({\frac {du}{da}}\delta s'-{\frac {du'}{da}}\delta s\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}\delta u'-{\frac {du'}{da}}\delta u\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d84a74419d937e1f385e132c426f1cc2fbb081)
J’ajoute ces trois équations ensemble, et comme
n’est fonction que de
sans
il est clair qu’on a
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dr}}{\frac {dr}{da}}+{\frac {d\Omega }{ds}}{\frac {ds}{da}}+{\frac {d\Omega }{du}}{\frac {du}{da}}={\frac {d\Omega }{da}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c665f1c4cfd5aac5b0243d7ee5f7fe611b037291)
On aura donc cette équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{da}}dt=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}\delta r'-{\frac {dr'}{da}}\delta r\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\left({\frac {ds}{da}}\delta s'-{\frac {ds'}{da}}\delta s\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}\delta u'-{\frac {du'}{da}}\delta u\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}\delta s'+{\frac {ds}{da}}\delta r'-{\frac {dr'}{da}}\delta s-{\frac {ds'}{da}}\delta r\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}\delta u'+{\frac {du}{da}}\delta r'-{\frac {dr'}{da}}\delta u-{\frac {du'}{da}}\delta r\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}\delta u'+{\frac {du}{da}}\delta s'-{\frac {ds'}{da}}\delta u-{\frac {du'}{da}}\delta s\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9b8d8f1aadf79c791c0bcc1c6270d9872f7ebd2)
10. J’y substitue maintenant les valeurs de
données ci-dessus (7), et j’ordonne les termes par rapport aux différences
on aura une formule de cette forme
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt=\mathrm {A} da+\mathrm {B} db+\mathrm {C} dc+\mathrm {F} df+\mathrm {G} dg+\mathrm {H} dh\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37db4e549dda188fc9b9af9b78fe0e263594240c)
et il est d’abord facile de voir que le coefficient
![{\displaystyle \mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a)
sera nul par la destruction mutuelle des termes qui le composent. On aura ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {ds}{db}}\right)+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}{\frac {du'}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {du}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {ds'}{db}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {ds}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {ds}{db}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9cb253f7fd38996cba7ac2c296dbaeefa6b2a26)
En changeant successivement dans cette expression de
la lettre
en
c’est-à-dire, les différentielles partielles relatives à
en pareilles différentielles relatives à
on aura les expressions des valeurs de
Comme
est une fonction donnée de
et que ces quantités sont des fonctions supposées connues de
et de
il est visible que les coefficients
dont il s’agit seront aussi des fonctions de
et de
La question est maintenant de déterminer la nature de ces fonctions.
11. Pour cela on se rappellera que les fonctions
et leurs dérivées
sont telles qu’elles satisfont aux trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3761ae3b9cb98553cef9f3f5c671ee7c26a6fc39)
en y regardant les quantités
comme des constantes arbitraires quelconques, et la quantité
comme seule variable. Ainsi, en donnant aux constantes
des accroissements quelconques ![{\displaystyle \delta a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014c4c5305e7cb8b61171b6c2fc9746da9d5facb)
![{\displaystyle \delta b,\delta c,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4a2f262811b7504eda8df5d0b10dd72e0c33e8)
infiniment petits et constants, c’est-à-dire, indépendants de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
les équations différentielles qui en résulteront seront encore satisfaites par les mêmes valeurs de
![{\displaystyle r,s,u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb0686c427604795530f1dfb728e4b00ee152b6)
et de leurs différences.
Désignons de nouveau par la caractéristique
les différentielles de
qui résultent des accroissements
attribués aux constantes
il est clair que, puisque
est une fonction de
et de
on aura, par l’algorithme des différences partielles, ces différences relatives à
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}\delta u&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\delta u',\\\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\delta u&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\delta r'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,ds'}}\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,du'}}\delta u'.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f940816738ad3bf371cd85e52919c9aec1bd48da)
Donc la première équation, différentiée suivant
donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}d&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\delta s+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\delta u+\ {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\ \delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,du'}}\delta u'\right)\\-&\left(\ {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}\ \delta r+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}\,\delta s+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}\,\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdr'}}\delta r'+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\,\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\delta u'\right)dt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fe85edf494e1148e463e35805af16d206aee3b)
De même la deuxième et la troisième donneront ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}d&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\delta r+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}\delta s+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\delta r'+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\ \delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'\,du'}}\delta u'\right)\\-&\left(\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}\,\delta r+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds^{2}}}\ \,\delta s+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}\,\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\delta u'\right)dt=0,\\\\d&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\delta r+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\delta s+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}\delta u+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\delta s'+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\ \,\delta u'\right)\\-&\left(\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}\,\delta r+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}\,\delta s+\ \,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du^{2}}}\ \,\delta u+\,{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\,\delta r'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\delta s'+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}\delta u'\right)dt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a433be5b392efa20d9e8ae5cb6958e38a420ee85)
12. Si, au lieu des accroissements
on attribue aux mêmes constantes
d’autres accroissements infiniment petits et constants que nous désignerons par
et qu’on dénote par la caractéristique
les différences des fonctions
qui en proviennent, on aura trois autres équations semblables aux précédentes, dans lesquelles la caractéristique
sera simplement remplacée par la caractéristique
13. Qu’on ajoute maintenant ensemble les trois équations précédentes multipliées respectivement par
et qu’on en retranche la somme des trois pareilles équations, dans lesquelles le
est changé en
après les avoir multipliées respectivement par
on aura cette équation
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}&&\Delta r\,d&{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,dr'}}&\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}&\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}&\delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}&\delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}&\delta u'{\biggl .}{\biggr )}\\&-&\Delta r\ \ &{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}&\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}&\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}&\delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,dr'}}&\delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}&\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}&\delta u'{\biggl .}{\biggr )}dt\\&+&\Delta s\,d&{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}&\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}&\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}&\delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&\delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}&\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&\delta u'{\biggl .}{\biggr )}\\&-&\Delta s\ \ &{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}&\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds^{2}}}&\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}&\delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}&\delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}&\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}&\delta u'{\biggl .}{\biggr )}dt\\&+&\Delta u\,d&{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}&\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}&\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}&\delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,du'}}&\delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}&\delta u'{\biggl .}{\biggr )}\\&-&\Delta u\ \ &{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdu}}&\delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}&\delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du^{2}}}&\delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}&\delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}&\delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}&\delta u'{\biggl .}{\biggr )}dt\\&-&\delta r\,d&{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,dr'}}&\Delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}&\Delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}&\Delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}&\Delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&\Delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}&\Delta u'{\biggl .}{\biggr )}\\&+&\delta r\ \ &{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr^{2}}}&\Delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}&\Delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du}}&\Delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,dr'}}&\Delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}&\Delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}&\Delta u'{\biggl .}{\biggr )}dt\\&-&\delta s\,d&{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}&\Delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}&\Delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}&\Delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&\Delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}&\Delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&\Delta u'{\biggl .}{\biggr )}\\&+&\delta s\ \ &{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds}}&\Delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds^{2}}}&\Delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}&\Delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}&\Delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}&\Delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}&\Delta u'{\biggl .}{\biggr )}dt\\&-&\delta u\,d&{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}&\Delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}&\Delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}&\Delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'\,du'}}&\Delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&\Delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}&\Delta u'{\biggl .}{\biggr )}\\&+&\delta u\ \ &{\biggl (}{\biggr .}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdu}}&\Delta r&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du}}&\Delta s&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du^{2}}}&\Delta u&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}&\Delta r'&+&&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}&\Delta s'&+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}&\Delta u'{\biggl .}{\biggr )}dt=0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd1fff3f0ddba018975b545ae57dfba2bae81f42)
14. Et, si l’on exécute les différentiations relatives à la caractéristique
qui se rapporte au temps
qu’on efface les termes qui se détruisent et qu’on ordonne les autres par rapport aux différentielles de
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}&&(\Delta r\delta r'&&-\delta r\Delta r')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}&&(\Delta s\delta s'&&-\delta s\Delta s')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}&&(\Delta u\delta u'&&-\delta u\Delta u')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&&(\Delta r\delta s'&&-\delta r\Delta s'+\Delta s\delta r'-\delta s\Delta r')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}&&(\Delta r\delta u'&&-\delta r\Delta u'+\Delta u\delta r'-\delta u\Delta r')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&&(\Delta s\delta u'&&-\delta s\Delta u'+\Delta u\delta s'-\delta u\Delta s')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dsdr'}}&&(\Delta r\delta s&&-\delta r\Delta s)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dudr'}}&&(\Delta r\delta u&&-\delta r\Delta u)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drds'}}&&(\Delta s\delta r&&-\delta s\Delta r)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{duds'}}&&(\Delta s\delta u&&-\delta s\Delta u)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{drdu'}}&&(\Delta u\delta r&&-\delta u\Delta r)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dsdu'}}&&(\Delta u\delta s&&-\delta u\Delta s)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}&&(\Delta r\,d\delta r'&&-\delta r\,d\Delta r')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}&&(\Delta s\,d\delta s'&&-\delta s\,d\Delta s')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}&&(\Delta u\,d\delta u'&&-\delta u\,d\Delta u')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&&(\Delta r\,d\delta s'&&-\delta r\,d\Delta s'+\Delta s\,d\delta r'-\delta s\,d\Delta r')\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79512385245a3f574afbfdb5c9946b55bbe1a6af)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}&&(\Delta r\,d\delta u'&&-\delta r\,d\Delta u'&&+\Delta u\,d\delta r'-\delta u\,d\Delta r')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&&(\Delta s\,d\delta u'&&-\delta s\,d\Delta u'&&+\Delta u\,d\delta s'-\delta u\,d\Delta s')\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,dr'}}&&(\Delta r\,d\delta r&&-\delta r\,d\Delta r&&-\Delta r\delta r'dt+\delta r\Delta r'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}&&(\Delta r\,d\delta s&&-\delta r\,d\Delta s&&-\Delta s\delta r'dt+\delta s\Delta r'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}&&(\Delta r\,d\delta u&&-\delta r\,d\Delta u&&-\Delta u\delta r'dt+\delta u\Delta r'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}&&(\Delta s\,d\delta r&&-\delta s\,d\Delta r&&-\Delta r\delta s'dt+\delta r\Delta s'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,ds'}}&&(\Delta s\,d\delta s&&-\delta s\,d\Delta s&&-\Delta s\delta s'dt+\delta s\Delta s'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}&&(\Delta s\,d\delta u&&-\delta s\,d\Delta u&&-\Delta u\delta s'dt+\delta u\Delta s'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}&&(\Delta u\,d\delta r&&-\delta u\,d\Delta r&&-\Delta r\delta u'dt+\delta r\Delta u'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}&&(\Delta u\,d\delta s&&-\delta u\,d\Delta s&&-\Delta s\delta u'dt+\delta s\Delta u'dt)\\+&d{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,du'}}&&(\Delta u\,d\delta u&&-\delta u\,d\Delta u&&-\Delta u\delta u'dt+\delta u\Delta u'dt)=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d808aa9c703e47ddbbc563960b7a92367b0a27c)
15. Si maintenant on fait attention que
et par conséquent
![{\displaystyle \delta r'dt=\delta dr=d\delta r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a079a6036f82e511ffa5ad4bec98c731d7a33908)
à cause de l’indépendance des caractéristiques
et
et par la même raison
![{\displaystyle \delta s'dt=d\delta s,\quad \delta u'dt=d\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262cbf7a23a0ab309547000e5a2134561b738741)
ainsi que
![{\displaystyle \Delta r'dt=d\Delta r,\quad \Delta s'dt=d\Delta s,\quad \Delta u'dt=d\Delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd9beeba2758ff0440b4d295052ee1a01c5fa78)
on verra d’abord que les coefficients de
se détruisent
d’eux-mêmes, et que le premier membre de l’équation devient intégrable par rapport à
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
ce qu’on ne pouvait pas espérer.
L’équation intégrale est ainsi
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}&&(\Delta r\delta r'&&-\delta r\Delta r')\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}&&(\Delta s\delta s'&&-\delta s\Delta s')\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}&&(\Delta u\delta u'&&-\delta u\Delta u')\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}&&(\Delta r\delta s'&&+\Delta s\delta r'-\delta r\Delta s'-\delta s\Delta r')\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}&&(\Delta r\delta u'&&+\Delta u\delta r'-\delta r\Delta u'-\delta u\Delta r')\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}&&(\Delta s\delta u'&&+\Delta u\delta s'-\delta s\Delta u'-\delta u\Delta s')\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5dc579737d7a7ac946ca766f8b77733b28c9c1)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\right)&&(\Delta r\delta s-\delta r\Delta s)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\right)&&(\Delta r\delta u-\delta r\Delta u)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\right)&&(\Delta s\delta u-\delta s\Delta u)=\mathrm {K} ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319c2e37d84298396f5850ad52115b90a04423d2)
la quantité
étant une constante par rapport à
et qui peut être par conséquent une fonction de
et de leurs différences relatives aux caractéristiques
et
À l’égard des valeurs des différences
il est facile de concevoir qu’elles doivent être exprimées comme celles du no 7, mais en y changeant les différentielles
en
Il en sera de même des différences
en changeant
en
![{\displaystyle \Delta g,\Delta h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0298fbba460d9849c57071d5b5d38e418dd1defe)
16. Comme ces différences
ainsi que
sont constantes, c’est-à-dire, indépendantes de
et absolument arbitraires, l’équation précédente subsistera toujours, quelques valeurs qu’on leur donne. Supposons d’abord
![{\displaystyle \Delta b=0,\quad \Delta c=0,\quad \Delta f=0,\quad \Delta g=0,\quad \Delta h=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c984fd82d3c811723b15772a2f34755339781f)
ensuite
![{\displaystyle \delta a=0,\quad \delta c=0,\quad \delta f=0,\quad \delta g=0,\quad \delta h=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bdfb2f3b4629cb1949c9dce6a83531b0e7e60e9)
on aura (7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta r\ =&{\frac {dr}{da}}\Delta a,\qquad &\Delta s\ =&{\frac {ds}{da}}\Delta a,\qquad &\Delta u\ =&{\frac {du}{da}}\Delta a,\\\Delta r'=&{\frac {dr'}{da}}\Delta a,&\Delta s'=&{\frac {ds'}{da}}\Delta a,&\Delta u'=&{\frac {du'}{da}}\Delta a,\\\delta r\ =&{\frac {dr}{db}}\delta b,&\delta s\ =&{\frac {ds}{db}}\delta b,&\delta u\ =&{\frac {du}{db}}\delta b,\\\delta r'=&{\frac {dr'}{db}}\delta b,&\delta s'=&{\frac {ds'}{db}}\delta b,&\delta u'=&{\frac {du'}{db}}\delta b\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af28643b87348c747e0b3bbb46e232cef5ef5bd)
et, ces valeurs étant substituées dans l’équation intégrale ci-dessus, on aura, après avoir effacé le facteur commun ![{\displaystyle \Delta a\delta b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020e6119d900e7a3b326b90c52f1fe771f13083e)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr}{db}}\,{\frac {dr'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\left({\frac {ds}{da}}\,{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds}{db}}\,{\frac {ds'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}{\frac {du'}{db}}-{\frac {du}{db}}{\frac {du'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds'}{db}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr}{db}}\,{\frac {ds'}{da}}-{\frac {ds}{db}}\,{\frac {dr'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr}{db}}{\frac {du'}{da}}-{\frac {du}{db}}{\frac {dr'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds}{db}}{\frac {du'}{da}}-{\frac {du}{db}}{\frac {ds'}{da}}\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\,\right)\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds}{db}}-{\frac {dr}{db}}{\frac {ds}{da}}\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {dr}{db}}{\frac {du}{da}}\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\right)\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {ds}{db}}{\frac {du}{da}}\right)\end{aligned}}\right\}=(a,b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf6bca38b38ca702d5e32771cf5555bfe2bd78)
Je désigne par le symbole
une quantité constante relativement à
et composée des constantes
laquelle sera égale à ce que devient le premier membre de l’équation lorsque, après la substitution des valeurs de
et de leurs dérivées
en fonction de
et de
on y fait
ou bien on en rejette tous les termes dépendants de
.
17. Or on voit que les premiers termes de cette équation coïncident avec ceux de l’expression du coefficient
du terme
dans la valeur de
(10). Ainsi, en substituant
à la place de ces termes, on aura simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\,\right)\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds}{db}}-{\frac {dr}{db}}{\frac {ds}{da}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {dr}{db}}{\frac {du}{da}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\right)\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {ds}{db}}{\frac {du}{da}}\right)=(a,b),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23718116f3a0751a2ebcafa6ad1cb521615a29fb)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} =(a,b)&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\,\right)\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds}{db}}-{\frac {ds}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\right)\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du}{da}}{\frac {ds}{db}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb82918f6cb2d99cdf92f79ec862ef792016776)
18. Supposons ensuite dans les valeurs de
les différences
nulles ; on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta r\ =&{\frac {dr}{dc}}\delta c,&\delta s\ =&{\frac {ds}{dc}}\delta c,&\delta u\ =&{\frac {du}{dc}}\delta c,\\\delta r'=&{\frac {dr'}{dc}}\delta c,\qquad &\delta s'=&{\frac {ds'}{dc}}\delta c,\qquad &\delta u'=&{\frac {du'}{dc}}\delta c.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35dcb176024e21bc14449a2b94f7416d91d6f820)
En substituant ces valeurs dans la même équation générale, et conservant les valeurs précédentes de
on aura, en effaçant le facteur commun
cette autre équation
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {dr'}{dc}}-{\frac {dr}{dc}}\,{\frac {dr'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'^{2}}}\left({\frac {ds}{da}}\,{\frac {ds'}{dc}}-{\frac {ds}{dc}}\,{\frac {ds'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}{\frac {du'}{dc}}-{\frac {du}{dc}}{\frac {du'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds'}{dc}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {dr'}{dc}}-{\frac {dr}{dc}}\,{\frac {ds'}{da}}-{\frac {ds}{dc}}\,{\frac {dr'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du'}{dc}}+{\frac {du}{da}}{\frac {dr'}{dc}}-{\frac {dr}{dc}}{\frac {du'}{da}}-{\frac {du}{dc}}{\frac {dr'}{da}}\right)\\+&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du'}{dc}}+{\frac {du}{da}}{\frac {ds'}{dc}}-{\frac {ds}{dc}}{\frac {du'}{da}}-{\frac {du}{dc}}{\frac {ds'}{da}}\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}\,\right)\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds}{dc}}-{\frac {dr}{dc}}{\frac {ds}{da}}\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du}{dc}}-{\frac {dr}{dc}}{\frac {du}{da}}\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}\right)\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du}{dc}}-{\frac {ds}{dc}}{\frac {du}{da}}\right)\end{aligned}}\right\}=(a,c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a26f5039ad58230b5bf18a30d230ba64f23a39)
La quantité désignée par le symbole
exprime la valeur de la formule qui forme le premier membre de l’équation lorsque l’on y fait
ou qu’on rejette tous les termes indépendants de
et l’on voit que cette quantité répond à celle qu’on a désignée par le symbole
en ce que la lettre
est partout à la place de
On voit aussi de la même manière que les premiers termes de cette équation forment la valeur du coefficient
du terme
de l’expression de
ainsi l’on en peut déduire la valeur de
e coefficient exprimée de cette manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} =(a,c)&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\,\right)\left({\frac {dr}{da}}\,{\frac {ds}{dc}}-{\frac {ds}{da}}{\frac {dr}{dc}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du}{dc}}-{\frac {du}{da}}{\frac {dr}{dc}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\right)\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du}{dc}}-{\frac {du}{da}}{\frac {ds}{dc}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac5e8cab6b8fccc8bbcb37720897cd0f2878551)
Comme cette expression de
résulte de celle de
en y changeant simplement
en
on aura pareillement celles de
en changeant successivement
en
19. Ainsi la valeur de
(10) deviendra, par ces substitutions,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{da}}dt&=(a,b)db+(a,c)dc+(a,f)df+(a,g)dg+(a,h)dh\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\right){\frac {dr}{da}}\,\left({\frac {ds}{db}}db\,+{\frac {ds}{dc}}dc+{\frac {ds}{df}}df+{\frac {ds}{dg}}dg+{\frac {ds}{dh}}dh\right)\\-&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,dr'}}\right){\frac {ds}{da}}\,\left({\frac {dr}{db}}db\,+{\frac {dr}{dc}}dc+{\frac {dr}{df}}df+{\frac {dr}{dg}}dg+{\frac {dr}{dh}}dh\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\right){\frac {dr}{da}}\left({\frac {du}{db}}db+{\frac {du}{dc}}dc+{\frac {du}{df}}df+{\frac {du}{dg}}dg+{\frac {du}{dh}}dh\right)\\-&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dr\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,dr'}}\right){\frac {du}{da}}\left({\frac {dr}{db}}db+{\frac {dr}{dc}}dc+{\frac {dr}{df}}df+{\frac {dr}{dg}}dg+{\frac {dr}{dh}}dh\right)\\+&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\right){\frac {ds}{da}}\left({\frac {du}{db}}db+{\frac {du}{dc}}dc+{\frac {du}{df}}df+{\frac {du}{dg}}dg+{\frac {du}{dh}}dh\right)\\-&\left({\frac {d^{2}\mathrm {R} }{ds\,du'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{du\,ds'}}\right){\frac {du}{da}}\left({\frac {ds}{db}}db+{\frac {ds}{dc}}dc+{\frac {ds}{df}}df+{\frac {ds}{dg}}dg+{\frac {ds}{dh}}dh\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4eff264499c2601d7ba4f8dfd565e08cdb2a07)
20. Si maintenant on se rappelle que les équations
du no 7 donnent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}&{\frac {dr}{db}}db&&+{\frac {dr}{dc}}dc&&+{\frac {dr}{df}}df&&+{\frac {dr}{dg}}dg&&+{\frac {dr}{dh}}dh&&=-{\frac {dr}{da}}da,\\&{\frac {ds}{db}}db&&+{\frac {ds}{dc}}dc&&+{\frac {ds}{df}}df&&+{\frac {ds}{dg}}dg&&+{\frac {ds}{dh}}dh&&=-{\frac {ds}{da}}da,\\&{\frac {du}{db}}db&&+{\frac {du}{dc}}dc&&+{\frac {du}{df}}df&&+{\frac {du}{dg}}dg&&+{\frac {du}{dh}}dh&&=-{\frac {du}{da}}da,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993947188ec44073400ef1ca13cb398af53f807a)
on voit tout de suite que cette expression de
se réduit à la forme très-simple
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt=(a,b)db+(a,c)dc+(a,f)df+(a,g)dg+(a,h)dh\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99fe601ed2b930c5942a8d33bd3875695d3bfa3)
et de là, par l’analogie qui règne dans nos formules, on pourra déduire immédiatement les expressions de
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{db}}dt,{\frac {d\Omega }{dc}}dt,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c9581fcd83f5d6479877087e2bdef4488182b3)
en changeant simplement a en
![{\displaystyle b,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113c4f53d2e6b22ce517e2d46c8ebfcf1f77bb22)
On aura ainsi, en observant que la valeur de
![{\displaystyle (a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c)
ne fait que changer de signe par le changement de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
en
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
et
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
en
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
et qu’il en est de même des valeurs de tous les autres symboles
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\frac {d\Omega }{db}}dt=&-(a,b)da&&+(b,c)dc&&+(b,f)df&&+(b,g)dg&&+(b,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{dc}}dt=&-(b,c)db&&-(a,c)da&&+(c,f)df&&+(c,g)dg&&+(c,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{df}}dt=&-(b,f)db&&-(c,f)dc&&-(a,f)da&&+(f,g)dg&&+(f,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{dg}}dt=&-(b,g)db&&-(c,g)dc&&-(f,g)df&&-(a,g)da&&+(g,h)dh,\\{\frac {d\Omega }{dh}}dt=&-(b,h)db&&-(c,h)dc&&-(f,h)df&&-(g,h)dg&&-(a,h)da,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f47e8482c02ee6bd186fc37b3cd9ec3fe5ea91)
formules entièrement semblables à celles que nous avons trouvées dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes (6), et qui n’en diffèrent que par la valeur des symboles ![{\displaystyle (a,b),(a,c),(b,c),\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e53f356255dcf903e98ba2d2cb9b0f864a27a7d)
21. À l’égard de ces valeurs, il est bon d’observer qu’elles ne dépendent pas de la fonction
elle-même, mais seulement de ses différences partielles relatives à
de sorte que, comme on a supposé
(5), et que
n’est fonction que de
(2), on aura simplement
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}={\frac {d\mathrm {T} }{dr'}},\quad {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}={\frac {d\mathrm {T} }{ds'}},\quad {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}={\frac {d\mathrm {T} }{du'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a994df4bd87c500c3a6e6d95eaf3ed1b23b241)
par conséquent, dans les expressions des valeurs dont il s’agit, on pourra mettre partout
à la place de ![{\displaystyle \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be30d6add602e05f39858715ffff7116c759c1fc)
De cette manière on aura, en général, pour un symbole quelconque
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&={\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'^{2}}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds'^{2}}}\,\left({\frac {ds}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {ds}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du'^{2}}}\left({\frac {du}{da}}{\frac {du'}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {du}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'ds'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {ds'}{db}}\,+{\frac {ds}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {ds}{db}}\,-{\frac {ds'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'du'}}\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds'du'}}\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du'}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {ds}{db}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds\,dr'}}\,-{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr\,ds'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {ds}{db}}-{\frac {ds}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du\,dr'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr\,du'}}\right)\left({\frac {dr}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du}{da}}{\frac {dr}{db}}\right)\\&+\left({\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du\,ds'}}-{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds\,du'}}\right)\left({\frac {ds}{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {du}{da}}{\frac {ds}{db}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521624a1a72024329be326bf175c160021f94e6d)
en faisant
ou bien en rejetant tous les termes qui contiendraient
après la substitution des valeurs de
et de
en fonction de ![{\displaystyle t,a,b,c,f,g,h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de6906c7d8d2d6b88de35c9b3c7e3958a8fd0b9)
22. On voit aussi, par cette formule, comment on pourrait l’étendre au cas où il y aurait un plus grand nombre de variables indépendantes.
À l’égard de la fonction
elle n’est autre chose que la moitié de la somme des masses multipliées chacune par le carré de sa vitesse, c’est-à-dire, la moitié de la force vive du système exprimée en fonction des variables indépendantes et de leurs dérivées relatives au temps. Ainsi notre Analyse a toute la généralité et la simplicité qu’on peut désirer.
23. Lorsqu’on aura trouvé les valeurs de tous les symboles ![{\displaystyle (a,b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0066e8fc90702a659ee69bff970050aba59ee02c)
en fonction des constantes
on aura autant d’équations de la forme de celles du no 20, par lesquelles on pourra déterminer les variations de toutes les constantes par les procédés ordinaires de l’élimination, et il est clair que l’on aura pour chacune de ces variations des formules de la forme
![{\displaystyle {\frac {da}{dt}}=\mathrm {L} {\frac {d\Omega }{da}}+\mathrm {M} {\frac {d\Omega }{db}}+\mathrm {N} {\frac {d\Omega }{dc}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cd8f98c04f80921adb96005bce71795ba04b0e)
dans lesquelles les coefficients
seront de simples fonctions de
sans
comme on l’a vu dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes ; et l’on aura les variations séculaires en n’ayant égard, dans le développement de la fonction
qu’aux termes non périodiques.
24. Dans le cas des perturbations d’une planète, ses trois coordonnées
sont indépendantes l’une de l’autre, et on peut les prendre pour les variables
On aura alors
![{\displaystyle \mathrm {T} =m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}={\frac {1}{2}}m\left(r'^{2}+s'^{2}+u'^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cf5afaa75e3c1d45ab67d27049ec933cce5ac4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'^{2}}}\ \ =&m,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds'^{2}}}\ \ =&m,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du'^{2}}}\ \ =&m,\\{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'ds'}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dr'du'}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds'du'}}=&0,\\{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{ds\,dr'}}=&0,&{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{du\,dr'}}=&0,\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af76b1113a9a7db84d13ff69819ca9e32128b1d)
L’expression générale de
devient ainsi
![{\displaystyle m\left({\frac {dr}{da}}{\frac {dr'}{db}}-{\frac {dr'}{da}}{\frac {dr}{db}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {ds'}{db}}-{\frac {ds'}{da}}{\frac {ds}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {du'}{db}}-{\frac {du'}{da}}{\frac {du}{db}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fc11a09220472ea374e7b92e01a9d7b39ce018)
laquelle s’accorde avec celle du no 6 du Mémoire cité, en y changeant
en
et
en
et effaçant le facteur
qui est la masse de la planète, parce que, les quantités
et
se trouvant toutes multipliées par
ce facteur disparaît de lui-même des équations différentielles.
Pour le mouvement de rotation, nous avons donné dans la Mécanique analytique l’expression de
en fonction des angles
à la place desquels il n’y aura qu’à substituer
ADDITION.
25. Depuis là lecture de ce Mémoire j’ai observé que l’équation intégrale trouvée dans le no 15 pouvait se réduire à cette forme simple
![{\displaystyle \Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18175834538c9f09dddadb3d17747e0439298244)
et j’ai reconnu qu’il était possible de la déduire directement des trois équations différentielles
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt=&0,\\d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3761ae3b9cb98553cef9f3f5c671ee7c26a6fc39)
par le seul jeu des caractéristiques
et
et sans exécuter les différentiations relatives à
.
En effet, si l’on ajoute ces équations ensemble, après les avoir multipliées respectivement par
on a
![{\displaystyle \Delta r\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\,d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\,d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\left({\frac {d\mathrm {R} }{dr}}\Delta r+{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}\Delta s+{\frac {d\mathrm {R} }{du}}\Delta u\right)dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1d5ee790203db47aeae2365fcd7e019dbb138d)
Or
![{\displaystyle \Delta r\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}=d\left(\Delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}d\Delta r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cba21eb525a7c29fc8d9cf5a182d61e79db2d0e)
Mais nous avons déjà vu que
(numéro cité) ; ainsi l’on aura
![{\displaystyle \Delta r\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}=d\left(\Delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}\Delta r'dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0114a5f3bcad801fa1bbf8f6e9f161ab1d508f84)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta s\,d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}=&d\left(\Delta s{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}\Delta s'dt,\\\Delta u\,d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}=&d\left(\Delta u{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\Delta u'dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdf956131d245bdf1fc47faeddc69a70071f53e)
Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on pourra lui donner cette forme
puisque
est une fonction de
![{\displaystyle d\left(\Delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\Delta \mathrm {R} dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244151d2da468f422ebb9567e97e6ede7ce99cc7)
On trouvera pareillement, en changeant la caractéristique
en
![{\displaystyle d\left(\delta r{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\delta s{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\delta u{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\delta \mathrm {R} dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dbb4077d6b6983662491d0e1bca5e8a45ec10a)
Maintenant, si l’on affecte tous les termes de la première équation de la caractéristique
et ceux de la seconde de la caractéristique
et qu’on regarde les variations
comme constantes à l’égard de la caractéristique
ainsi que les variations
comme constantes à l’égard de la caractéristique
que de plus on se souvienne que le
n’a rapport qu’au temps
et est par conséquent indépendant de
et
on aura ces deux équations-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\delta \Delta \mathrm {R} dt&=0,\\d\left(\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)-\Delta \delta \mathrm {R} dt&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e75b1b912d3a420d725ad063e43b9f1c8f156b)
Or, puisque les deux caractéristiques
et
sont indépendantes entre elles, en supposant les variations de
relatives à ces caractéristiques aussi indépendantes les unes des autres, il est clair qu’on aura
![{\displaystyle \delta \Delta \mathrm {R} =\Delta \delta \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6cdbeb39cbded62a6f06e7a9b1eace9d5413a3)
Donc, retranchant les deux équations l’une de l’autre, on aura une équation intégrable relativement à
et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle \Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18175834538c9f09dddadb3d17747e0439298244)
qui est la même que celle que nous avons déjà trouvée.
Mais, quoique cette Analyse soit bien plus simple que celle du Mémoire, parce que les différentiations n’y sont qu’indiquées, elle peut néanmoins laisser quelques doutes dans l’esprit, à cause de la supposition que nous y avons faite de l’indépendance des variations de ![{\displaystyle r,s,u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333e6b294386f9d79f6dc1d07b9e646ec8d9a056)
relatives aux deux caractéristiques
et
tandis qu’il n’y a à la rigueur d’indépendantes que les variations
et
C’est pourquoi l’entière Analyse, quoique beaucoup plus longue, ne doit pas être regardée comme inutile, puisqu’elle peut servir à mettre notre Théorie à l’abri de toute objection.
26. Au reste, d’après la forme que nous venons de donner à l’équation intégrale, on peut simplifier les expressions des symboles
En effet il est facile de voir qu’en regardant directement
comme fonction de
et substituant
à la place de
comme nous l’avons fait (21), si l’on suppose, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}=\mathrm {T} ',\quad {\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}=\mathrm {T} '',\quad {\frac {d\mathrm {T} }{du'}}=\mathrm {T} ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accff6bb2d39b5e6e4aecfbab87dfc3aa429726d)
on aura, par l’algorithme des différences partielles,
![{\displaystyle (a,b)={\frac {dr}{da}}{\frac {d\mathrm {T} '}{db}}+{\frac {ds}{da}}{\frac {d\mathrm {T} ''}{db}}+{\frac {du}{da}}{\frac {d\mathrm {T} '''}{db}}-{\frac {dr}{db}}{\frac {d\mathrm {T} '}{da}}-{\frac {ds}{db}}{\frac {d\mathrm {T} ''}{da}}-{\frac {du}{db}}{\frac {d\mathrm {T} '''}{da}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4025d72fff30130b906c03d5782c3484b534e62e)
et ainsi des autres symboles, en changeant seulement les lettres
en
où l’on rejettera après les substitutions tous les termes qui contiendront le temps
ou bien on y fera
pour que les valeurs de ces symboles ne dépendent que des constantes arbitraires ![{\displaystyle a,b,c,f,g,h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fa64318846ceff1cbc064ca211cae7c1243cf6)
On voit aussi, par cette forme que nous venons de donner aux expressions des symboles, comment elle peut s’étendre à un plus grand nombre de variables
et de constantes arbitraires
27. Je ferai encore ici une autre observation importante. On sait que la loi de Mécanique appelée la conservation des forces vives a lieu dans tout système de corps liés entre eux d’une manière quelconque, qui agissent les uns sur les autres par des forces proportionnelles à des fonctions des distances, et sont en même temps soumis à des forces étrangères dirigées vers des centres fixes et proportionnelles aussi à des fonctions des distances aux centres ; mais elle cesse d’avoir lieu, si les forces étrangères ou quelques-unes d’entre elles tendent à des centres mobiles et indépendants du système.
Cependant on peut démontrer par les formules de ce Mémoire que les variations de la force vive du système, produites par ces sortes de forces que nous regardons comme des forces perturbatrices, ne peuvent jamais croître comme le temps, mais doivent toujours être périodiques, si les mouvements des corps du système sans les forces perturbatrices, ainsi que ceux des centres de ces forces, sont simplement périodiques ; et ce résultat a lieu en ayant égard non-seulement aux premiers termes dus aux forces perturbatrices, mais aussi à ceux qui contiendraient les carrés et les produits de ces mêmes forces.
28. En effet les équations du système sans les forces perturbatrices sont de la forme (5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt=0,\\&d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt=0,\\&d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d522cc4da3089bc5dddd1d1783b182f5e75a35d0)
quel que soit le nombre des variables ![{\displaystyle r,s,u,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc5e848333e6da17189e870d8efe533b26a2fe1)
En ajoutant ensemble ces équations, après les avoir multipliées respectivement par
on a
![{\displaystyle r'd{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+s'd{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+u'd{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}+\ldots -{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dr-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}ds-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}du-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1aac6d4f9aa2502349a7a2400b56b1c81ad514b)
Or la première partie de cette équation peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle d\left({\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}u'+\ldots \right)-{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}dr'-{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}ds'-{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}du'-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d230ec0fd9936566c51b7e8234c72431d9553ecb)
Donc, puisque
ne contient d’autres variables que
l’équation prendra cette forme
![{\displaystyle d\left({\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}u'+\ldots \right)-d\mathrm {R} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ae405055610c0550d990b23b6b61b6468d84c9)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}u'+\ldots -\mathrm {R} =a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed34d69dde4520fb67f9507577b2c39066e78e3)
étant une constante arbitraire.
Or
(5) ; et, comme
n’est censé contenir que
sans
l’équation précédente devient
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {T} }{du'}}u'+\ldots -\mathrm {T+V} =a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27b9be24e0f522cbc842a88dda04a85ec7c9d70)
Mais, la quantité
étant exprimée en fonction de
et de ![{\displaystyle r',s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21111082baeab17eba07d2082277bbee4913a89b)
il est facile de voir qu’elle ne peut être qu’une fonction homogène de deux dimensions de
et qu’ainsi on doit avoir, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}r'+{\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}s'+{\frac {d\mathrm {T} }{du'}}u'+\ldots =2\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5fc74f8ecb8037a50ae959ca59295cb20a8be1)
De sorte que l’équation qu’on vient de trouver se réduira à
![{\displaystyle \mathrm {T+V} =a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25e7eb9be5b1a8f9bf31e812e304e3866fd9da6)
laquelle exprime la loi de la conservation des forces vives. [
Voyez la cinquième Section de la seconde Partie de la
Mécanique analytique, Article IV
[4].]
29. Lorsqu’on a égard aux forces perturbatrices, les équations des mouvements du système sont (5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d{\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt={\frac {d\Omega }{dr}}dt,\\&d{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt={\frac {d\Omega }{ds}}dt,\\&d{\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt={\frac {d\Omega }{du}}dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236b9ec4fdc89bf284c6285f49c5906f5a4c1354)
et, en faisant sur ces équations les mêmes opérations, on aura, au lieu de l’équation
celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {T+V} =a+\int \left({\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7ee20f390dafa6015690cc951252c950c63e03)
dans laquelle la quantité
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a466f046100b43adcb19175424d0dc5cfda355b4)
n’est pas intégrable, parce que la quantité
est en même temps fonction de
et des variables qui dépendent du mouvement des centres des forces perturbatrices.
Ainsi, dans le cas des forces perturbatrices, la constante arbitraire
de l’équation
devient variable, et l’on a
![{\displaystyle da={\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0a59eb4c2ba502fe855b19b52cdd1ba6474fab)
La force vive du système (1) étant exprimée par
elle sera égale à
mais la quantité
est une fonction donnée des variables qui déterminent la position instantanée des corps dans l’espace. Donc les variations de la constante arbitraire
seront celles que la force vive éprouve par l’action des forces perturbatrices.
30. La quantité
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a466f046100b43adcb19175424d0dc5cfda355b4)
n’est autre chose que la différentielle de
en ne faisant varier que les quantités
qui appartiennent au système ; et, comme ces quantités sont censées connues en fonction du temps
la quantité dont il s’agit peut être regardée comme la différentielle de
par rapport au temps
en tant qu’on n’a égard qu’aux variables relatives au système. Or les équations différentielles du mouvement du système ne renfermant point le temps fini
mais seulement sa différentielle
parmi les constantes arbitraires que les intégrales de ces équations doivent contenir, il y en aura nécessairement une qui se trouvera ajoutée au temps fini
.
Ainsi, en nommant
cette constante, les expressions finies de
seront fonctions de
Donc la différentielle de relative à
en tant que
entre dans les expressions de
sera la même que la différentielle de
relative à
d’où il suit qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{dr}}dr+{\frac {d\Omega }{ds}}ds+{\frac {d\Omega }{du}}du+\ldots ={\frac {d\Omega }{dc}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbd576bb531bca2b972cdf94748b6f42c25290f)
Par conséquent on aura sur-le-champ cette équation relative aux variations des constantes arbitraires
et ![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
![{\displaystyle da={\frac {d\Omega }{dc}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83cb28c2b3a0490652ac0843f50faca3338a028e)
Cette expression de la variation de la constante arbitraire
est très-remarquable par sa simplicité et sa généralité, et surtout parce qu’on y parvient à priori, indépendamment de la variation des autres constantes arbitraires.
31. Cela posé, je vais prouver que la valeur variable de
ne peut contenir aucun terme non périodique de la forme
car pour cela il faudrait que
contînt un terme constant
Or, la fonction
ne contenant par l’hypothèse que des quantités périodiques, il est impossible que la différentielle
contienne un terme non périodique
Si l’on veut avoir égard aux secondes dimensions des forces perturbatrices, il faudra tenir compte, dans la valeur de
des variations des constantes arbitraires
Pour cela on suivra un procédé analogue à celui des nos 10 et 11 du Mémoire sur la variation des éléments des planètes, et l’on parviendra à un résultat semblable, vu que les différences partielles de
relatives aux constantes arbitraires sont exprimées de la même manière par les symboles
comme on l’a vu plus haut (20).
32. Dans l’orbite des planètes autour du Soleil,
devient
![{\displaystyle m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfbc7be748dc4819a2f4759ea5f1954f02c2b0d)
et
devient :
![{\displaystyle -{\frac {m(1+m)}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232be9d4cc1164852e8360e20a69ce11cf2a98cf)
étant le rayon vecteur de la planète
et la masse du Soleil étant prise pour l’unité. Alors la constante
devient
![{\displaystyle -{\frac {m(1+m)}{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b119f439199cf5c1adf59b56f27ded2b0962ea2)
étant le grand axe de l’orbite, comme on le voit par l’équation rapportée dans le no 8 du Mémoire cité.
Ainsi le Théorème sur la variation du grand axe n’est qu’un cas particulier de celui que nous venons de démontrer.
33. Dans la rotation d’un corps solide, on a [Mécanique analytique, Partie II, Section VI, Article 40[5]]
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} r^{2}\right)-\mathrm {F} qr-\mathrm {G} pr-\mathrm {H} pq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5df763430e3e6a568dfa7bf66cf1f619b50b9e9)
![{\displaystyle p,q,r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd013a2bae7bf9b04fbf84a70479a2af3bf278)
étant les vitesses de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux, et
![{\displaystyle \mathrm {A,B,C,F,G,H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d40c64b41b0175ee59b11e0b9078f444484b9183)
étant des constantes dépendantes de la figure du corps et de la position des trois axes ; et, si l’on nomme
![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
la vitesse de rotation autour de l’axe instantané de rotation, et
![{\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2490a3287bddceaaca2f650b1b77df1111bc7b)
les angles que cet axe fait avec les trois axes des rotations
![{\displaystyle p,q,r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9dd9d43d4a7f5d74ccf3473156ad7f84cb4880)
on a [Section citée, Article 45
[6]]
![{\displaystyle p=\rho \cos \lambda ,\quad q=\rho \cos \mu ,\quad r=\rho \cos \nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d13eb03b4ad90073d5db9a9fdf341f3d941a3b5)
La force vive
sera ainsi
![{\displaystyle \mathrm {\left(A\cos ^{2}\lambda +B\cos ^{2}\mu +C\cos ^{2}\nu -2F\cos \mu \cos \nu -2G\cos \lambda \cos \nu -2H\cos \lambda \cos \mu \right)\rho ^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58df55ccf0095b04294ba94d8ca392069e51b455)
Donc, s’il y a des forces perturbatrices, la valeur de
ne pourra jamais être sujette à une variation croissante comme le temps, en ayant même égard aux secondes dimensions des forces perturbatrices.
Ce résultat s’applique naturellement à la rotation de la Terre et des planètes, en tant qu’elle peut être altérée par l’attraction des autres planètes.
34. Je dois ajouter, relativement à l’analyse du no 25, qu’on peut la rendre rigoureuse en formant d’abord l’équation
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\Delta r\left(d\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt\right)&&-\delta r\left(d\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt\right)\\+&\Delta s\left(d\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt\right)&&-\delta s\left(d\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt\right)\\+&\Delta u\left(d\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt\right)&&-\delta u\left(d\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt\right)=0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b62bff22288d58679e8f6676ed2e58609894e9d)
qui se transforme aisément en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}d&\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta \ \,{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta \ {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)\\-&\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\Delta r'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)dt\\+&\left(\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\delta r'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\delta s'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\delta u'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)dt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c364e0e2bda1e0f3f4367bde1996ac9a47c8c496)
Or,
![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
étant une fonction des variables
![{\displaystyle r,s,u,r',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7919e1aa1ee0a97cb32d5e6d6de9d77fbe0ac6)
il est facile de voir, par le développement des différentielles marquées par
![{\displaystyle \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32769037c408874e1890f77554c65f39c523ebe2)
et
![{\displaystyle \delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019f26293a6ac6d9e1521a005825cc3716cf12ed)
que les deux formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\Delta r'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\ldots ,\\&\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\delta r'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14a070fc04bec03e5b6e58dda6f86c31c54cefc)
sont identiques. Donc il reste l’équation intégrable
![{\displaystyle d\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750e1b2c78ac675c99061d08843d2e359808ba9f)
35. Enfin, si dans l’expression de
du no 20 on substitue les valeurs des symboles
données dans le no 26, et qu’on dénote, comme dans le no 7, par la caractéristique
les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes
on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {T} }{du'}}-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{dr'}}}{da}}\delta r-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{ds'}}}{da}}\delta s-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {T} }{du'}}}{da}}\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea1e1999c241eca44f3014e5dc1f2a5ce2fb9ce)
où le
devant disparaître du second membre y peut être supposé tout ce que l’on voudra.
On aura autant de pareilles équations qu’il y a de constantes arbitraires, en changeant successivement
en
dans les différences partielles.
C’est là, ce me semble, ce que l’Analyse peut donner de plus simple sur la variation des constantes arbitraires dans les Problèmes de Mécanique.
SUPPLÉMENT AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT.
L’objet de ce Supplément est de montrer comment la formule du no 35, qui renferme toute la Théorie de la variation des constantes arbitraires, et à laquelle je ne suis arrivé que par une analyse longue et compliquée, peut se déduire immédiatement des équations primitives du no 8.
En conservant toujours la caractéristique
pour dénoter les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes arbitraires, il est facile de voir que ces équations peuvent se mettre sous cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Omega }{dr}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}},\\{\frac {d\Omega }{ds}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}},\\{\frac {d\Omega }{du}}dt=&\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7110f3197be6748d691b13eb9f957110f0738fec)
dont celles du no 8 ne sont que le développement.
De là, en regardant
comme fonctions de
on tire tout de suite
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd057c43862b76a0c51aa6ea827d5cbcd02aee74)
et, à cause de
![{\displaystyle \delta r=0,\quad \delta s=0,\quad \delta u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a6ead0a70a0228e04a3aa3156cd5960ec86944)
on a aussi
![{\displaystyle {\frac {d\Omega }{da}}dt={\frac {dr}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+{\frac {ds}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+{\frac {du}{da}}\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{dr'}}}{da}}\delta r-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{ds'}}}{da}}\delta s-{\frac {d{\cfrac {d\mathrm {R} }{du'}}}{da}}\delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f41fd5db7371a00d7549d5d584b229d1812dd3c)
où il n’y a plus qu’à changer
en
pour avoir la formule dont il s’agit.
Cette équation et celle du no 34, par laquelle on voit que le second membre de l’équation précédente est toujours indépendant du temps
sont le résultat de tout le Mémoire, qui, présenté de cette manière, ne tiendrait que deux ou trois pages.