RECHERCHES
SUR LES
INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER
CAUSÉES PAR LEUR ATTRACTION MUTUELLE.
Multùm adhuc restat operis.
Sen., Epist. 64.
(Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1766.)
CHAPITRE PREMIER.
FORMULES GÉNÉRALES POUR LE MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER.
I.
Soient nommés :
![{\displaystyle r\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b50afa61c48248280f98f68a776e3f3b819c717)
le rayon vecteur de l’orbite d’un satellite quelconque projetée sur le plan de l’orbite de Jupiter ;
![{\displaystyle p\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868934a933e6fc07a4477726b68a494de5d10722)
la tangente de la latitude du satellite par rapport à ce même plan ;
![{\displaystyle \mathrm {F} \quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e18aa417b103e9dea4068bad79bc18c8f28fe6)
la force que Jupiter exerce sur le satellite à la distance 1.
On aura la distance du satellite au plan de l’orbite de Jupiter égale à
![{\displaystyle rp.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69473686349aae4d1feaf6e366d8fbd47cb91933)
Donc la distance du satellite au centre de Jupiter sera
Par conséquent la force par laquelle le satellite est poussé vers Jupiter sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb0097f6577598030487b3c1346d42c4a4e2cfb)
Cette force peut être regardée comme composée de deux autres : l’une parallèle au rayon vecteur et égale à
l’autre perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter et égale à
Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite à trois forces uniques, dont :
La première, que j’appelle
soit parallèle au rayon
La seconde, que j’appelle
soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l’orbite de Jupiter ;
La troisième, que j’appelle
soit perpendiculaire à ce même plan.
Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous parlons, par les forces
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,\quad \mathrm {Q} ,\quad {\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b54d9b6e0b84c556de50a055b024147d23736a)
dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le plan de l’orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.
II.
Cela posé, soient
le temps écoulé depuis le commencement du mouvement ;
l’angle décrit par le rayon
durant ce temps ; l’élément du temps
constant, c’est-à-dire, ![{\displaystyle d\,dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302310423d4cc6fb88b7a5d3b730abbdd1661ba3)
On aura pour la vitssse circulatoire du satellite, parallèlement au plan de l’orbite de Jupiter,
d’où résulte la force centrifuge
laquelle étant retranchée de la force
on aura la véritable force qui tend à diminuer le rayon
.
Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura
(A)
|
|
|
Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire
![{\displaystyle \mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea6b6e5d15ac13060c9724fdbf3aa79b353f10)
était nulle, le rayon
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l’on aurait, à cause de
![{\displaystyle dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee76a835701fd1f26047a09855f2ea36bb08fc)
constant,
![{\displaystyle d({\frac {r^{2}d\varphi }{2}})=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fee6d7e23ab8dce0d4db207c30b0c426b4f9550)
mais la force
fait parcourir perpendiculairement à
l’espace
pendant le temps
donc le secteur
croîtra pendant ce temps de la quantité
par conséquent on aura l’équation
![{\displaystyle d(r^{2}d\varphi )=\mathrm {Q} rdt^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7c2c4773589293060a2f93dcdd747ddc9fbdc6)
dont l’intégrale, en ajoutant
est
![{\displaystyle r^{2}d\varphi =cdt+dt\int \mathrm {Q} rdt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ef0d16185f034c20acffe2c8d72c7724a21d31)
d’où l’on tire
(B)
|
|
|
Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter,
![{\displaystyle -{\frac {d^{2}(pr)}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dedd5d74b66455acecaaaad6e5aede4a1ffb9c97)
ou bien
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {pd^{2}r}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} p}{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee01095d1ca3a40a1aa54601f92a633777dc6fb8)
d’où, en mettant pour
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {\mathrm {R} }{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c228a7e5bf1d90ed781a110240c33182210d0a)
tirée de l’équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l’équation suivante
(C)
|
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|
III.
Les équations (A), (B), (C) donneront
et
en
ce qui suffira pour laire connaître le lieu du satellite à chaque instant. Que si l’on voulait connaître la figure même de l’orbite qu’il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l’élément
Or de l’équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,
![{\displaystyle dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec71e85d85177d20a9154c08b4cdc7a60b688fad)
donc, si l’on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu’on fasse pour plus de simplicité
on aura, en prenant
constant,
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}(a)\qquad \qquad \qquad &{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\cfrac {\mathrm {F} \left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+\mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\cfrac {rdr}{d\varphi }}}{c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}=0,\\\\(c)&{\cfrac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p+{\cfrac {r^{3}\left(\mathrm {P} -p\mathrm {R} +\mathrm {Q} {\cfrac {dp}{d\varphi }}\right)}{c^{2}+2\int \mathrm {\mathrm {Q} } r^{3}d\varphi }}=0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2403f6d423a7f22803b3f884559e8813f07b7fc)
Supposons pour un moment que les forces perturbatrices
soient nulles ; on aura par l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e335f9ad9581e90536273be25964085e2e050b)
dont l’intégrale est, comme on sait,
![{\displaystyle p=\mathrm {G} \sin \varphi +\mathrm {H} \cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2e393f86a93ff3b2d369e3a7405df6b5a01be5)
ou bien
![{\displaystyle p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffd8764fce84f009592ebd00f1d3a58c1415592)
et
étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de
fait voir que l’orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités
qui expriment, la première, la tangente de l’inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette même expression de
et supposons, à cause des forces perturbatrices
et
variables ; on aura
![{\displaystyle dp=d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )(d\varphi -d\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2827317f1067318aac6f822037bace2bac1eea15)
Or, afin que le corps puisse être regardé comme se mouvant réellement dans le plan déterminé par
et
il faut que la valeur de
soit la même que si ces quantités demeuraient constantes, c’est-à-dire, que
![{\displaystyle dp=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb347eddb532b80f05e7ba499a0688304e59c5a)
donc
![{\displaystyle d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668b3293d43e57ae2db54076c89388471ccc0978)
par conséquent, à cause de
constant,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}=-\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+{\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a43be8e0a14a71a3a31694d68dcdeac9c752ea2)
et
![{\displaystyle {\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p={\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bb42eb4bbc2ca1ad504c8747b26ac7a44fbf3a)
On réduira ainsi l’équation
ci-dessus à deux équations du premier degré, qui donneront
et
en
d’où l’on connaîtra la variation de l’inclinaison de l’orbite et le mouvement de la ligne des nœuds. C’est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu’ici dans la recherche des orbites des Planètes ; mais il nous paraît plus court de chercher directement la latitude
par une seule équation, d’autant plus que les quantités
et
s’en déduiront plus aisément ; car, puisque
![{\displaystyle p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),\quad {\frac {dp}{d\varphi }}=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3357ebb275f0e886c0d54bf16f38eebdcf727f94)
on aura
![{\displaystyle \lambda ={\sqrt {p^{2}+{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\varepsilon )={\frac {pd\varphi }{dp}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995ff8e8dbcb55221eab8c208bf87020c28f7a72)
On pourrait faire une pareille transformation sur l’équation
ce qui réduirait l’orbite à une ellipse dont l’excentricité et la position de la ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l’a pratiqué par rapport à la Lune. En effet, si l’on suppose d’abord
![{\displaystyle \mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =0,\quad p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89417713da84639c8ee41a66fe045ea3f937b3dc)
l’équation
devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05bdcde1554e019ae8dafa9610c6f7ea1db9d9a4)
dont l’intégrale, étant mise sous cette forme
![{\displaystyle u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=\rho \cos(\varphi -\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2d0bdb1db8be26f903a5301f683a7df7856073)
donne une ellipse dans laquelle
est le demi-paramètre,
l’excentricité, et
la longitude de l’apside inférieure. Qu’on regarde maintenant
et
comme variables, et qu’on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus,
![{\displaystyle du=-\rho \sin(\varphi -\alpha )d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b58f28e468876c5e63686488927753debb47b51)
on trouvera
![{\displaystyle d\rho \cos(\varphi -\alpha )+\rho \sin(\varphi -\alpha )d\alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/796d4e64de20d4d79e2b47d24a0b791584a2e63f)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}={\frac {\rho d\alpha }{\cos(\varphi -\alpha )d\varphi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74e864fd137dc89a786831ed334609eb1fe34d7)
Ainsi l’équation
se réduira à deux équations du premier degré, d’où l’on tirera aisément
et ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
IV.
Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport à l’orbite de cette Planète ; d’où il suit que, si l’on nomme
la valeur moyenne de
la valeur moyenne de
c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu’on dénote par
un coefficient très-petit, et par
des quantités variables, on aura les expressions suivantes
![{\displaystyle r=a(1+nx),\quad \varphi =\mu t+ny,\quad p=nz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f88b55bd339a4d572b51c05e70bfbb7484f0cfac)
où l’on remarquera que les valeurs de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
et de
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21987ac7e66811e0ae301c442a2eeb258d54818)
ne doivent contenir aucun terme constant ; autrement
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
et
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
ne seraient plus les valeurs moyennes de
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
et de
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c1f39b4f58595e51e902f46c7541328f5802ef)
ce qui est contre l’hypothèse.
V.
Substituons maintenant ces expressions de
dans les équations de l’Article II et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de
plus hautes que
parce qu’une plus grande exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons ; nous changerons d’abord l’équation (A) en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}-na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(1-2nx+3nx^{2}\right)\left(1-{\frac {3}{2}}n^{2}z^{2}\right)+\mathrm {R} \\&-a(1+nx)\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}+n^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2610d34a0677ad2b929d366e01bdedbeb10b5cfe)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}-n\left({\frac {2\mathrm {F} }{a^{2}}}+a\mu ^{2}\right)x+n^{2}{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2na\mu {\frac {dy}{dt}}&\\-2n^{2}a\mu x{\frac {dy}{dt}}-n^{2}a{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {R} &=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c118d390e5600ecde4aaf3e9e9ff5cd5bdca491e)
Si
était
on aurait
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af425d86d89f05ed85f2520a49583f64e5e55b9)
donc,
étant très-petite, la quantité
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18ad526eef56a503f10f9ae66abf35c167fe802)
devra l’être aussi ; de sorte qu’on pourra supposer
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88ce7ccb263e9f8d5cab2dd3fa369eee3e2f774)
Cette substitution faite, on divisera toute l’équation par
![{\displaystyle na,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04a3465d6dc4cce0cfddaa70c6e7976e0576967)
et l’on aura, en mettant pour plus de simplicité
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
au lieu de
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(2f+\mu ^{2})x-2\mu {\frac {dy}{dt}}+f\mathrm {X} +nf\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2n\mu x{\frac {dy}{dt}}-n{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240200c50a974a0af2b26862a6f15270744065f0)
VI.
L’équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,
![{\displaystyle \mu +n{\frac {dy}{dt}}=\left[{\frac {c}{a^{2}}}+{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{a}}\right]\left(1-2nx+3n^{2}x^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03dce5386d2bdd098cffa87b145810b397d06b89)
Si
était
on aurait
![{\displaystyle \int \mathrm {Q} dt=a\mu -{\frac {c}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4503b0f168fc43b03965aaf517ac7fd309719e)
supposons donc
![{\displaystyle \int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0804346da0d1fb92bbac92c3973f901e6d5757)
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-2\mu x+f\mathrm {Y} +3n\mu x^{2}-2nfx\mathrm {Y} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fac2ea742fdc348db198e37e60c865dab6415c)
VII.
Enfin l’équation (C) se changera en celle-ci
![{\displaystyle n{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+nz\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}\right)+2n^{2}{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{a(1+nx)}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c07fc76451da37e326ae216ad59e8aaab7f321b)
et l’on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu’il faut que la quantité
soit très-petite de l’ordre
c’est pourquoi nous supposerons
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1684b8ce2a66b1270b374f416859a2ebade2a49a)
d’où nous aurons l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} +2n\mu z{\frac {dy}{dt}}+2n{\frac {dzdx}{dt^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43553bb507b28c2898db3ba9c31125ef96847e0)
VIII.
Voilà les formules par lesquelles on pourra déterminer les inégalités des satellites de Jupiter, dès qu’on aura trouvé les valeurs des quantités
qui résultent de leur action mutuelle.
Pour rendre ces formules encore plus commodes pour le calcul, nous substituerons dans celles des Articles V et VII la valeur de
tirée de l’Article VI.
De cette manière, on aura, en négligeant toujours les termes affectés de
(D)
|
|
|
(E)
|
|
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(F)
|
|
|
Nous avons dit que les valeurs de
et
ne doivent renfermer aucun terme constant ; on remplira ces deux conditions par le moyen des constantes
et
CHAPITRE II.
DÉTERMINATION DES FORCES PERTURBATRICES DES SATELLITES DE JUPITER.
IX.
Soient
la masse de Jupiter,
la masse du premier satellite,
la masse du second satellite,
la masse du troisième satellite,
la masse du quatrième satellite.
Supposons de plus que toutes les quantités que nous avons nommées
![{\displaystyle r,p,\varphi ,\mathrm {F,R,Q,P} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e9d1bb843a1a290869b82ac8419dd1620ee646)
dans le Chapitre précédent, soient désignées ici, relativement au premier satellite, par
![{\displaystyle r_{1},p_{1},\varphi _{1},\mathrm {F_{1},R_{1},Q_{1},P_{1}} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1da0301aa277baa57e5cadbf9cf7063162702af)
relativement au second satellite, par
![{\displaystyle r_{2},p_{2},\varphi _{2},\mathrm {F_{2},R_{2},Q_{2},P_{2}} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3155198b258ee2e418e7fd976f3fd159cb0c5890)
relativement au troisième, par
![{\displaystyle r_{3},p_{3},\varphi _{3},\mathrm {F_{3},R_{3},Q_{3},P_{3}} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff14ea8fb82a5121deb6cc5497e13b9559ee5fa)
et relativement au quatrième, par
![{\displaystyle r_{4},p_{4},\varphi _{4},\mathrm {F_{4},R_{4},Q_{4},P_{4}} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeb8155c41732cd7f3d0dfd421ac2461ae8c2f0)
En général, nous conserverons toujours dans la suite les noms donnés dans les Articles précédents, avec cette seule différence que nous marquerons les lettres d’un trait pour le premier satellite, de deux traits pour le second satellite, etc.[1].
Enfin nous dénoterons, pour plus de simplicité, la distance entre deux satellites quelconques, c’est-à-dire, la ligne droite qui joint leurs centres, par
étant les rayons vecteurs des deux satellites ; ainsi la distance entre le premier et le second satellite sera désignée par
la distance entre le premier et le troisième par
et ainsi des autres.
X.
Cela posé, il est visible
1o Que le satellite
est attiré vers Jupiter avec une force
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9bb5ba452906a32a6f40c578170d5c22212754)
et qu’en même temps Jupiter est attiré lui-même vers le satellite avec une force
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7155d76667e66adf9941b4a5f2f2526f8f4d051f)
d’où il suit que la force totale qui tend à rapprocher le satellite de Jupiter est
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6048a76e45363af66e0ca627753696c492d8b5a)
Cette expression doit être comparée avec l’expression de la force centrale
(Article I), c’est-à-dire, en la rapportant au premier satellite, avec
ce qui donne d’abord
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8cad77a177578741c833c118e6144223647e58)
2o Que le satellite
est attiré vers le satellite
avec une force
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da84f00621190bde43f63d3ff38fb14c3c2ea3b0)
laquelle peut se décomposer en deux autres l’une dans la direction du rayon mené du satellite
à Jupiter, qui sera
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4dae99f39408c86395dad508eb2beb56ef2750)
l’autre parallèle au rayon mené du satellite
à Jupiter, et qui sera
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094eb8a60c03262966b2f8f7176bcbd14787edf8)
De plus le même satellite
doit être regardé comme attiré par une force égale, et en sens contraire, à celle avec laquelle Jupiter est attiré par le satellite
c’est-à-dire par une force
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f210de4c29d2b30522adb3c9ae57b08895f550)
et dirigée parallèlement au rayon mené de ce dernier satellite à Jupiter.
Donc l’action du satellite
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84288798941062045d4ad63ef0e0e10fc75f9ce7)
produit dans le satellite
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed63f15cb7d2406f4ef9248e685e5720d69bf3db)
deux forces l’une
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecebc7a1e124295c0a4f4a7e7c2061742490d9f)
dirigée vers Jupiter, l’autre
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca7367870a82b984d8064fcc256d21fad203eea)
dans une direction parallèle à celle qui va du satellite
à Jupiter.
3o Or la force
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecebc7a1e124295c0a4f4a7e7c2061742490d9f)
se décompose en deux autres l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc0bb80203a0486e6abefa9593338bf782b016b)
l’autre parallèle au même plan dans la direction du rayon
qui sera
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5fdd4471b3591c68ed38158fccf8a56e112852)
Pareillement la force
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f7a90a302e4be989943e878799cc1feb60f58f)
se change en deux autres forces : l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1441358255a666b2e12444f81bc3e649bad56287)
et l’autre parallèle à ce plan, dans la direction du rayon ![{\displaystyle r_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b62574ba8c7b2acb46cad302dfc85e4c5fa1630)
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10aeab453cc0f3764995d9f07e09d0e873e8dc62)
Enfin cette dernière force se décompose encore en deux autres : l’une dans la direction du rayon
avec le rayon
fait l’angle
l’autre
perpendiculaire à cette direction la première sera exprimée par
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715d83448c1100a750377d23a44aaa4a6b44fa91)
la seconde par
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb828cb30487a313014931e3a7818751309906f5)
et tendra à diminuer l’angle
au lieu que nous avons supposé (Article II) que la force perpendiculaire
tendait à augmenter l’angle
c’est pourquoi il faudra la prendre négativement.
4o Comparant donc toutes ces forces avec les forces
(Article I), ou bien
(Article IX), on aura en conséquence de l’action du satellite
les expressions suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b1a00b2e5ea268c4f36522c7a1383f7faf09bcd)
On trouvera de la même manière les expressions des forces
en tant qu’elles résultent de l’action des satellites
et
et il est clair que l’on aura les mêmes formules que ci-dessus, en marquant seulement de trois traits ou de quatre traits les lettres qui sont marquées de deux traits[2].
XI.
Si l’on veut avoir égard aussi à l’action du Soleil sur le satellite
on nommera :
la masse du Soleil,
la distance du satellite
au Soleil,
le rayon vecteur de l’orbite du Soleil autour de Jupiter,
la longitude du Soleil vu du centre de
:
et il n’y aura qu’à mettre, dans les expressions de
![{\displaystyle \mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47c21f5bce81a1b43f041e083210b3df049edf8b)
de l’Article X,
![{\displaystyle \circledast }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05cbb45a3ab291da300cf61986fd6917ecb5a196)
au lieu de
![{\displaystyle \delta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797ad61e57939cd394800dfb549e859f144f7d02)
au lieu de
![{\displaystyle \rho _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0f2d347f2a0ed7f7c9808c427a89813b957017)
au lieu de
![{\displaystyle \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a)
au lieu de
![{\displaystyle \varphi _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df764836d0e18d4339a74985ed43923717bbded)
et supposer
![{\displaystyle p_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4b89c1b18e98e6f4088535e25963f2747c07bf)
De cette manière on aura, en vertu de l’action du Soleil,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&\circledast \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&\circledast \left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725ec90e11cf1f31204eadc855e4f66c58854aef)
XII.
Donc, en joignant ensemble les forces qui proviennent de l’action des trois satellites
et du Soleil sur le satellite
on aura les valeurs complètes de
exprimées de la manière suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeea161559c59cd68af543763b33a020c5d58cc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d024aa0e55a68b9353584393921bcfcb9565a5d)
XIII.
Telles sont les expressions des forces perturbatrices du satellite
d’où il est facile de déduire celles des trois autres satellites
En effet, un peu de réflexion suffit pour faire voir que les quantités
deviendront
en marquant seulement de deux traits les lettres qui sont marquées d’un trait, et réciproquement[3] ; ainsi l’on aura pour les forces perturbatrices du second satellite les expressions suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{2}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{1}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0a9a6d3678b482189730bb55294d134161c3a1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {p_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{2}p_{2}}{\delta _{2}^{3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaed0cdffa032e91a0920295c7de45d0a7c6b63a)
On aura pareillement les expressions de
et de
en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d’un seul trait dans les expressions de
et réciproquement[4].
XIV.
Il reste à chercher les valeurs des quantités
qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (r_{1},r_{2})^{2}=&(r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1})^{2}+\left[r_{1}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}+\left[r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}\\=&r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/286f86c9eb415e5e29b4a602d094ac65dd40dbd9)
donc, tirant la racine carrée,
![{\displaystyle \Delta (r_{1},r_{2})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1fed9c7428f13f26da580c4af5cff39a6c7f83)
On trouvera pareillement
![{\displaystyle \Delta (r_{1},r_{3})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{3}\left[\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+p_{1}p_{3}\right]+r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0724dead4d7f7e4009fbd4ee02b45f9850efde7)
et ainsi des autres. On voit par là que
![{\displaystyle \Delta (r_{2},r_{1})=\Delta (r_{1},r_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472a177dabdf0919ddecdff04328f49aeb0073a9)
car l’expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant
en
et réciproquement ; ce qui est d’ailleurs évident.
XV.
Pour avoir maintenant la valeur de
il n’y aura qu’à changer, dans celle de
en
en
et effacer la quantité
(Article XI) ; on aura donc ainsi
![{\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})+\rho _{1}^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fc8bbde255d7c97d0fdd48077fc4f3c958cdf1)
on trouvera pareillement
![{\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)-2r_{2}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{2})+\rho _{1}^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5eb005f42684609fbedd71e1fbe0d8bb72a2454)
et ainsi des autres.
XVI.
Nous avons supposé (Article X) que l’attraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances ; c’est ce qui n’est rigoureusement vrai qu’en regardant Jupiter comme un globe de densité uniforme.
Or on sait par les observations et par la Théorie que cette Planète est considérablement aplatie ; de plus il peut se faire qu’elle ne soit pas partout de la même densité deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d’avoir égard ici. Pour cela nous supposerons 1o que la figure de Jupiter soit celle d’un sphéroïde elliptiqùe peu différent d’une sphère ; 2o que ce sphéroïde soit formé d’une infinité de couches toutes sphéroïdiques, et de densités différentes ; 3o que l’équateur de Jupiter soit dans le plan de l’orbite de cette Planète.
Cette dernière supposition n’est pas tout à fait exacte ; car on sait que l’équateur de Jupiter est incliné d’environ
degrés sur le plan de son orbite ; mais l’erreur qui en résulte est si petite qu’il serait superflu d’en tenir compte.
Cela posé soient
le demi-axe d’une couche quelconque,
son ellipticité et
sa densité ; on trouvera par les Théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l’attraction de Jupiter sur un satellitequelconque produit deux forces l’une, dirigée au centre de Jupiter, égale à
![{\displaystyle {\frac {2\varpi }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]+{\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb25d328b5a4dc5e1675df8f17feac00c048f946)
l’autre ; perpendiculaire à cette direction dans le plan d’un méridien, égale à
![{\displaystyle {\frac {4\varpi }{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8803fd90b8cd36d15bdbe59346f6b453b84f0a)
(
dénote ici la périphérie d’un cercle dont le rayon est égal à
). La partie
![{\displaystyle {\frac {2\varpi p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04122e0d8b4fb5ab01136151916b134a7db73427)
de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée avec la force
(Article X) ; d’où l’on aura
![{\displaystyle \mathbb {Z} \!^{\upsilon }=2\varpi \left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a03fd366bbc17e5c2514e460bb37aa689eb7a8)
L’autre partie de la même force
![{\displaystyle {\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c07f8e344e5112c351262b0e7517d5c9e4ae76)
aussi bien que la force perpendiculaire
![{\displaystyle {\frac {4\varpi p}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf780fc3bc790480b5ed40ef937bb597a1517c8)
devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de
cette décomposi-
tion étant faite, on aura les deux forces suivantes
![{\displaystyle {\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {1-4p^{2}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0a6d2620369dbbea123c4711c1efcfb36d97b7)
dans la direction de la force
et
![{\displaystyle {\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {3p-2p^{3}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3780876f1a432dad0f9004e67645239037a78ec4)
dans la direction de la force
donc, si l’on suppose
![{\displaystyle \nu ={\frac {\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }{\mathrm {A} ^{2}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\cfrac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8153777e7733157e9fcad98871abce497170cb)
les forces perturbatrices
et
qui résultent de l’aplatissement de Jupiter et de l’hétérogénéité de ses couches, seront, en général,
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p-2p^{3}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193b308271769dbd5b6c1f2db9b79351c78c3137)
d’où l’on tire : par rapport au premier satellite,
![{\displaystyle \mathrm {R} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{1}^{2}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{1}-2p_{1}^{3}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3add5cfc4f431fdf3d9993858be6a172a96d6833)
par rapport au second satellite,
![{\displaystyle \mathrm {R} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{2}^{2}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{2}-2p_{2}^{3}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635cf430aa7e7c537c0c94dd20a64ef906878df0)
et ainsi des autres.
Il n’y aura donc qu’à ajouter ces valeurs à celles des Articles XII et XIII. Au reste, comme l’aplatissement de Jupiter n’est que d’environ
suivant les dernières observations, la quantité
sera fort petite, aussi bien que la quantité
de plus le rapport de
à
sera toujours exprimé par une fraction fort petite ; de sorte que les forces perturbatrices dont nous venons de parler seront nécessairement très-petites.
Si l’on suppose
constante, on aura
![{\displaystyle \nu =\mathrm {\frac {3E}{1+2E}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0487dc3d53a21e78be54533db59f38360e57fc82)
En général, quelle que soit
on aura, par les conditions de l’équilibre,
![{\displaystyle \int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} =5\mathrm {A^{2}\left(E-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\int DA^{2}} d\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd395d2e659c55099f6745fa0e5e4a061011b5df)
(ϐ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l’équateur) ; donc
![{\displaystyle \nu =5\mathrm {E} -{\frac {5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba6ab12c88bc297f5753dacb4cfb9a348107c22)
ϐ
à très-peu près.
XVII.
Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices
en employant les suppositions de l’article V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l’ordre
parce que les quantités
sont déjà elles-mêmes de l’ordre
comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de
[Article XIV], au lieu de
au lieu de
et de même, au lieu de
et au lieu de
suivant ce que nous avons dit à l’Article IX on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta (r_{1},r_{2})\\&={\sqrt {a_{1}^{2}(1+2nx_{1})-2a_{1}a_{2}(1+nx_{1}+nx_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}(1+2nx_{2})}}\\&={\sqrt {\left({\begin{aligned}a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}+2n\left(a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}\right)&\\-2na_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})&\end{aligned}}\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faafd2cb94c47704557cfec1f7775301afed9138)
d’où l’on tire, par les séries,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}-a_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe39b5a214cc2437b2f8e695ec4049e379add88c)
On trouvera de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{3}^{2}x_{3}-a_{1}a_{3}(x_{1}+x_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f79cd4d1339abb9932817ad073010d0618f2b3c)
Et pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{4}^{2}x_{4}-a_{1}a_{4}(x_{1}+x_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d645574bf48dbfd93e3de9b9a0249fb0beeddc7)
et ainsi des autres.
XVIII.
Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités
![{\displaystyle \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},\quad \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433b09868e573c3dadcd0921b09102cc72d47d13)
c’est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l’intégration des équations des satellites.
Pour résoudre cette difliculté, on écrira d’abord les radicaux proposés ainsi
![{\displaystyle a_{2}^{-3}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {3}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58be9fa790243f9322510b250575b8e27f106564)
![{\displaystyle a_{2}^{-5}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46b72261b07178400be75f2df805a41bbdaf4a)
et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc3cfee55edf20e8d206d12f9a3eedc0ebd4d37)
dans laquelle
est un nombre moindre que l’unité.
Pour y parvenir, je remarque que la quantité
est égale au produit de ces deux quantités
![{\displaystyle 1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad 1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ec887345bb1ef7b032db8727935ff4a63a3c3f)
je les élève donc l’une et l’autre à la puissance
en écrivant au lieu du carré de
et ainsi de suite ;
j’ai
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad 1+\lambda q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fdbc14712a8eb25b8a8b13f4e010ffa5b69e3e)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+&\lambda q\cos \theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\cos 2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\cos 3\theta +\ldots =\mathrm {M} ,\\&\lambda q\sin \,\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\sin \,2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\sin \,3\theta +\ldots =\mathrm {N} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7063fb4d662ca9f7a76126f2b9318a8c7cdf218f)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}},\\&\left[1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be56ef8a6d1781a80980d8a2142fb1b793913587)
donc
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {\left(\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}}\right)\left(\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\right)=M^{2}+N^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04d61ebaad97394d0e0465fd92e84bdda4a0cda)
Or, si l’on fait les carrés des deux séries
et
qu’on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient, et qu’on remarque que
![{\displaystyle \cos m\theta \times \cos n\theta +\sin m\theta \times \sin \theta =\cos(m-n)\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d41495237ecd3a72bf4608641131c30d7862d59)
et
étant des nombres quelconques, on trouvera
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D} \cos 3\theta +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5dfd3c29532119485e04992c40c2aab2d7b04d0)
Et les coefficients
seront exprimés de la manière suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+\lambda ^{2}q^{2}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}}{2^{2}}}q^{4}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}(\lambda +2)^{2}}{2^{2}.3^{2}}}q^{6}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&2\lambda q+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{3}+2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{5}+\ldots ,\\&+2{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2.3.4}}q^{7}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{4}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b03d1f8bd9ab0e97eca1751720a328d464b76f9)
et ainsi de suite.
Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients
pour avoir tous les autres
car on trouvera par les formules de l’Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne [Prix 1748][5]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {\left(1+q^{2}\right)\mathrm {B} -2\lambda q\mathrm {A} }{(2-\lambda )q}},\\\mathrm {D} =&{\frac {2\left(1+q^{2}\right)\mathrm {C} -(1+\lambda )q\mathrm {B} }{(3-\lambda )q}},\\\mathrm {E} =&{\frac {3\left(1+q^{2}\right)\mathrm {D} -(2+\lambda )q\mathrm {C} }{(4-\lambda )q}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96f48d5f10feee93186a99447721852eb0528ab)
et ainsi de suite.
XIX.
Tout consiste donc à déterminer les valeurs de
et
Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de
est d’environ
comme on le verra plus bas ; donc
sera toujours moindre que
donc, si l’on fait
les suites
et
seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {9}{4}}q^{2}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}q^{4}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {49}{36}}q^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {B} }{2}}=&{\frac {3}{2}}q+{\frac {9}{4}}.{\frac {5}{4}}q^{3}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {7}{6}}q^{5}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d919fa21d0052b685340eccadfbb4123e8f2b8a)
dont les coefficients numériques sont très-aisés à calculer.
Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de
qui entrent dans les deux séries dont il s’agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de
sont ceux des coefficients des termes de la série
et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de
sont ceux des coefficients des termes de la série
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|}\hline \quad q\quad &\ \ 0{,}176091\ \ &\quad q^{16}\quad &\ \ 1{,}047096\ \ &\quad q^{31}\quad &\ \ 1{,}315612\ \ \\\hline q^{2}&0{,}352182&q^{17}&1{,}070577&q^{32}&1{,}328976\\\hline q^{3}&0{,}449092&q^{18}&1{,}094058&q^{33}&1{,}341565\\\hline q^{4}&0{,}546002&q^{19}&1{,}115247&q^{34}&1{,}354154\\\hline q^{5}&0{,}612949&q^{20}&1{,}136436&q^{35}&1{,}366053\\\hline q^{6}&0{,}679896&q^{21}&1{,}155741&q^{36}&1{,}377952\\\hline q^{7}&0{,}731049&q^{22}&1{,}175046&q^{37}&1{,}389233\\\hline q^{8}&0{,}782202&q^{23}&1{,}192775&q^{38}&1{,}400514\\\hline q^{9}&0{,}823595&q^{24}&1{,}210504&q^{39}&1{,}411238\\\hline q^{10}&0{,}864988&q^{25}&1{,}226895&q^{40}&1{,}421962\\\hline q^{11}&0{,}899750&q^{26}&1{,}243286&q^{41}&1{,}432181\\\hline q^{12}&0{,}934512&q^{27}&1{,}258526&q^{42}&1{,}442400\\\hline q^{13}&0{,}964475&q^{28}&1{,}273766&q^{43}&1{,}452160\\\hline q^{14}&0{,}994438&q^{29}&1{,}288007&q^{44}&1{,}461920\\\hline q^{15}&1{,}020767&q^{30}&1{,}302248&\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed633d9a8f5caabb50dc328b96580f60338d8f62)
Il ne s’agira donc plus que d’ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de
et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque somme ; on aura ainsi les valeurs d’autant de termes des deux séries
et
qu’on voudra ; d’où l’on pourra tirer pour
et
des valeurs aussi approchées qu’on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l’approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la Table précédente forment une progression décroissante ; d’où il suit que, si après avoir pris la somme d’un nombre quelconque de termes de la série
ou
on regarde le reste de la série comme une propression géométrique, l’erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression. Au reste, dans le cas même où
sera la plus grande (ce cas est celui où
comme on le verra dans la suites), il suffira de prendre les dix premiers termes des séries
et
pour avoir les valeurs de ces coefficients en millièmes, c’est-à-dire aux dix-millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on poussera l’exactitude jusqu’aux dix-millièmes et au delà.
XX.
Ayant ainsi les valeurs des coefficients
de la suite qui représente
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd196c23e9066e575d10b8925ba1fadb84a9f83e)
on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1116dea452d03527566174ad166855c995a7ca6)
car, dénotant ces derniers par
il faudra que la série
![{\displaystyle \mathrm {(A)+(B)\cos \theta +(C)} \cos 2\theta +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f140a3d1a1fc887acbe8c7dadfd6a516b74cdba9)
étant multipliée par
![{\displaystyle 1-2q\cos \theta +q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ede348ed762ea6ff79b17b7ff23db4b9d858c6)
devienne égale à la série
![{\displaystyle \mathrm {A+B\cos \theta +C} \cos 2\theta +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc1654933bc7eba8ab4180073c30c06b023b93d)
La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )-q(\mathrm {B} ),\\\mathrm {B} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2q(\mathrm {A} )-q(\mathrm {C} ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d6b8c6ac5100fc78ff877ddd0c7671588688bec)
Or
est donné en
et
de la même manière que
est donné en
et
il suffira pour cela de mettre dans l’expression de
Article XVIII,
au lieu de
au lieu de
au lieu de
et
au lieu de
ce qui donnera
![{\displaystyle (\mathrm {C} )={\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2(\lambda +1)q(\mathrm {A} )}{(1-\lambda )q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cd7cfc8ea0776b3aa010912404eb8c07da135b)
donc, si l’on substitue cette valeur de
on aura deux équations en
d’où l’on tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&{\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}q(\mathrm {B} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}},\\(\mathrm {B} )=&{\frac {{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )+4q(\mathrm {A} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d2f9a8761d06e87ad4f916d467e93520258e9c)
Connaissant
et
on connaîtra tous les suivants (Article XVIII).
XXI.
De ce qu’on vient de démontrer, il suit qu’on peut supposer
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots ,\\\\&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}\\&\quad =\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8f843a882258a8a40e46ca43f2d9791fc9f2e7)
J’entends par
![{\displaystyle \Gamma (a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;\quad \Lambda (a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1866c0210b18ed5bcea59aaaaf029aacd24e6cdd)
des fonctions données de
![{\displaystyle a_{1},a_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3483c81917a179212dbac7cd49e52581085da3f)
dont on trouvera la valeur par les méthodes des Articles précédents.
Donc, si l’on fait ces substitutions dans la quantité
(Article XVII), et que l’on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad +\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8996526d7696b6e30f2ca85431da861ebc3d3629)
XXII.
Soit fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1feed11ac125ebcf268097bd4cd3771bd67ca835)
Soit aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Psi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7444443631a7b1ec1e25dd43739212c8150b1a)
On aura la quantité
exprimée de la manière suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{2}\left[\Psi (a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e805334af002788ccd1230439eff1656ead58b)
On trouvera de même, en changeant simplement
en
en
en
et
en
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{3})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{3})+\Pi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{3}\left[\Psi (a_{1},a_{3})+\Psi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11327b6e941a9bd028286d1fbcfbaf3399dcad06)
et pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{4})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{4})+\Pi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{4}\left[\Psi (a_{1},a_{4})+\Psi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f63544b9ff572d4820f4ab52df31b722a41dc6)
XXIII.
Cela posé, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=a_{1}\left[\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +nx_{1}a_{1}\left[3\Pi (a_{1},a_{2})+\Gamma (a_{1},a_{2})+\left[3\Pi _{1}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[3\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{2}a_{1}\left[\Psi (a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0542b39214d68e2b4d6c95ff3675a8c781286ee)
On trouvera de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=a_{2}\left[\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{1}a_{2}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +nx_{2}a_{2}\left[3\Psi (a_{1},a_{2})+\Gamma (a_{1},a_{2})+\left[3\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[3\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf75e4d8cd918215c8557cfdce037e834bbe862)
On aura ensuite
![{\displaystyle {\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{a_{2}^{2}}}(1-2nx_{2}+\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2276ad4d96a93e263a9374f79bace723c65f8f)
Donc
![{\displaystyle -{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d5bde889bc6d97375e26aac1ba9e8903312f88)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {1}{a_{2}^{2}}}-a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})-a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -3nx_{1}a_{2}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad -nx_{2}\left[{\frac {2}{a_{2}^{2}}}+3a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left[3a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\biggl .}\left[3a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1444790b4950b6aff23e7bbb5fec897f57809f39)
Cette quantité étant multipliée par
![{\displaystyle \cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc96684ee6dae5e8893d3842ebc9306e0e995fb)
on aura
![{\displaystyle -{\frac {r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0574a206e4f4df932686c990ded32bcf7564784a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=-{\frac {a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}-\left[{\frac {a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {1}{a_{2}^{2}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -{\frac {a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -nx_{1}\left[3a_{2}{\frac {\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+3a_{2}{\frac {\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+2\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +\left.3a_{2}{\frac {\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad -nx_{2}\left[{\frac {3a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right.\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+2\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {2}{a_{2}^{2}}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{3}(a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}\times \cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afbba2db36695c31a30e71c6b07842af6fede20)
Enfin, multipliant la même quantité pa
on aura
![{\displaystyle {\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a5fd13dd01c98ee5800fa2f6f0b01df4ded7b2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=-\left[a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {1}{a_{2}^{2}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})-\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\sin 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -nx_{1}\left[3a_{2}{\frac {\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left.3a_{2}{\frac {\Pi _{3}(a_{1},a_{2})-\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\sin 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47a06c502c57dba81a7e3c91b76bbfb3ac22de5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad -nx_{2}\left[\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {2}{a_{2}^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{3}(a_{2},a_{1})-\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{2},a_{1})-\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}\times \sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\Biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da43af4c47614802ffa2f7273b7a8624ead6f97b)
XXIV.
Soit maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\breve {\Gamma }}\ \,(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{3}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\breve {\Pi }}\ \,(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}-a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2}),\\{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\\\\{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\\\\{\breve {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54640f6d9f9a683aa99399d4b00a0c8d0774c000)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\breve {\Psi }}\ \,(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {2a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{3}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Psi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9244a5336e95c586955e993a478be95b0637f4)
On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]=\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb310f33b027c75730d73c3015388458594ab872)
C’est la partie de la force
qui résulte de l’action du satellite
(Article X).
XXV.
Soit de plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}},\\{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\{\widehat {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{4}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-3{\frac {2a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\{\widehat {\Psi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{4}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaad1e4164838b3a96d5e71f4dff484611292816)
On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]=\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422d0e212cf53ef343661767ae65a687b9fc94f4)
C’est la valeur de la force
en tant qu’elle vient de l’action du satellite
XXVI.
Enfin on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {S}}_{2}&\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\biggr ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b14b131fb93e451b9b36a1242fb884558e015a)
C’est la partie de force
qui vient de l’action du même satellite
On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités
en
et en
successivement, et l’on aura les valeurs de
dues à l’action des satellites
Il ne restera donc plus qu’à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu’elles viennent de l’action du Soleil.
Pour cela nous remarquerons d’abord que le rayon
de l’orbite de Jupiter est considérablement plus grand que le rayon
de l’orbite d’un satellite quelconque ; d’où il suit que la valeur de
qui est exprimée généralement (Article XV) par
![{\displaystyle {\sqrt {\rho _{1}^{2}-2\rho _{1}r\cos(\psi -\varphi )+r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a8ad98009b3e1fbc032f05c515c304f71ee842)
se réduira en une suite très-convergente, dont il suffira de prendre les premiers termes ; on aura donc
![{\displaystyle {\frac {1}{\delta ^{3}}}={\frac {1}{\rho _{1}^{3}}}+{\frac {3r\cos(\psi -\varphi )}{\delta _{1}^{4}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c5bfa41d778778ff662e122de7365abe4bf3c7)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&-{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\left[1+\cos 2(\psi -\varphi )\right],\\{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2738d65cd60dd0af1f34538b1f895634c0b1ce53)
et
![{\displaystyle {\frac {r}{\delta ^{3}}}={\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1fe921043d78e35a26ec8b0aacef068c4987e1)
XXVII.
Soient à présent
la valeur moyenne de
et
la valeur moyenne de
c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil.
On supposera, à l’imitation de ce que nous avons fait (Article IV),
![{\displaystyle \rho _{1}=\alpha (1+n\xi ),\quad \psi =mt+n\mathrm {J} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c98a87c577904adc3bcdf4133995f3d77fdc4f3)
Dans ces formules,
représente l’équation de la distance de Jupiter au Soleil, et
l’équation du centre de Jupiter ; lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n’ayant égard qu’aux équations elliptiques, et supposant que
soit l’excentricité et
l’anomalie moyenne, on a à très-peu près
![{\displaystyle \xi =e\cos \mathrm {U} ,\quad \mathrm {J} =-2e\sin \mathrm {U} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabac84f0981abe05e8518c1cb4143de0a409baa)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx)(1-3n\xi )={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx-3n\xi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4234fb2a823d4c3fe944de543e1d7e20fb9e915)
donc enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}\circledast &\left[r-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&=-{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right]-n{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8caaab49b02a128d1c47afc24dc3105890cb941)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\circledast &\left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&={\frac {3a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})+n{\frac {3a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\sin 2(\psi -\varphi _{1}),\\\circledast &{\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}=n{\frac {a_{1}\circledast }{\alpha _{1}^{3}}}z_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6afb1e7bff7ec82ba76b2cc5f19084bece6c47)
Ce sont les valeurs des forces
qui viennent de l’action du Soleil (Article XI).
XXVIII.
En joignant ensemble toutes ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des forces
exprimées de la manière suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{3}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b68c1e2fdccf7cbf23ffb7bce02ea454c4b3b249)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\circledast }}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right],\\\mathrm {Q} _{1}=&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\alpha _{1}^{2}}}\times {\frac {3}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})\\\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\times {\frac {3}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1}),\\\\\mathrm {P} _{1}=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&+n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bda30b9f790f62663c3898722f635e038f55bb4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{4})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&+n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{3}\left[a_{1}^{2}a_{3}\Gamma (a_{1},a_{3})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{3}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{4}\left[a_{1}^{2}a_{4}\Gamma (a_{1},a_{4})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{4}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{4}\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cd5bda41f97b832d41686f3a7406bff63f2813)
Il ne reste plus qu’à substituer pour
et
leurs valeurs
et
ce qui est très-facile, car il n’y aura qu’à changera,
en
et ajouter ensuite aux expressions de
et
les quantités suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+\ldots \right]\\+&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+\ldots \right]\\+&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+\ldots \right]\\+&n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\sin 2(m-\mu _{1})t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0fd9f402344dfb0d623e741b7517e90a9f5141)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+\ldots \right]\\-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+\ldots \right]\\-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+\ldots \right]\\+&n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74dcaacd05a578f272ecd605f11ab52e2adb76c3)
Pour trouver les valeurs de
il ne faudra qu’ajouter un trait aux lettres qui n’en ont qu’un, et en ôter un à celles qui en ont deux ; et ainsi des autres quantités
[Article XIII][6].
À l’égard des forces perturbatrices qui viennent de la non-sphéricité de Jupiter, on trouvera, en négligeant dans les formules de l’Article XVI ce qu’on y doit négliger, qu’il faut ajouter aux valeurs de
et
les quantités suivantes
![{\displaystyle {\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{1}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(1-4nx_{1})\quad {\text{et}}\quad n{\frac {3\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{1}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3b6fe43075dfeb442d2677353a1a00cd056a42)
et de même aux valeurs de
les quantités
![{\displaystyle {\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{2}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{2}}}(1-4nx_{2})\quad {\text{et}}\quad n{\frac {3\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{2}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{2}}}z_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87728a0fe5e68abfe416b059fcbc74de192a114b)
et ainsi de suite.
CHAPITRE III.
CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER.
XXIX.
Nous nous contenterons ici de chercher les formules qui déterminent le mouvement du premier satellite, parce que les autres s’en déduiront aisément par les remarques des Articles IX et XIII.
Pour appliquer au mouvement du premier satellite les équations générales de l’Article VIII il est visible qu’il ne faut que marquer les lettres d’un trait[6], et substituer ensuite pour
leurs valeurs tirées de celles de
(Article précédent). Mais, avant que de faire cette substitution, nous remarquerons que les équations (Articles V et VI)
![{\displaystyle \mathrm {R} +{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} ,\quad \int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5aa6dae877ea54ce778b29b19f70249d3ea095)
ne peuvent subsister dans l’hypothèse de
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
très-petit, à moins que les quantités constantes
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2},\ a\mu -{\frac {a}{e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ab57598072bf0b4d708313392c05128b48411b)
et les quantités variables
![{\displaystyle \mathrm {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d35b45fa4cf4c6ce6406d97f28b483a766097)
et
![{\displaystyle \mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ea6b6e5d15ac13060c9724fdbf3aa79b353f10)
ne soient chacune très-petites de l’ordre
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
.
Or, en examinant les valeurs de
et
(Article précédent), il est facile de voir qu’elles ne sauraient être supposées très-petites qu’en regardant comme telles les quantités constantes
et
Soit donc, en général,
![{\displaystyle {\frac {\mathfrak {S}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=n\chi ,\quad {\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=n\mathrm {K} ,\quad \nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}=n\varkappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c148656994f89e998d7ac9940f838b92ba1606)
Soit, de plus,
![{\displaystyle 1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng,\quad -{\frac {\mu -{\cfrac {c}{a^{2}}}}{f}}=n\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf0a593b63db730633ffb5178bb44a5c6abad87)
Nous aurons, à cause de
(Article V),
![{\displaystyle \mathrm {X} =g+{\frac {a^{2}}{\mathrm {F} }}{\frac {\mathrm {R} }{n}},\quad \mathrm {Y} =\mathrm {H} +{\frac {a^{2}}{\mathrm {F} }}{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc82940ecff0605042808f11351716e414dd8e0a)
c’est-à-dire, à cause de
(Article X),
![{\displaystyle \mathrm {X} =g+{\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathrm {R} }{n(1+n\chi )}},\quad \mathrm {Y} =\mathrm {H} +{\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{n(1+n\chi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf4443727ec11e48b0a7a55d041ee7ba001671a)
À l’égard de la quantité
elle sera déterminée par l’équation (Article VII)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1684b8ce2a66b1270b374f416859a2ebade2a49a)
laquelle se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {Z} ={\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{n(1+n\chi )(1+nx)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b830d654111a7907a08b1f4790c0a322253f61e)
où l’on remarquera que
est déjà toute multipliée par
(Article XXVIII).
XXX.
Appliquons maintenant ces formules au premier satellite. Nous aurons d’abord en substituant la valeur de
(Article XXIX)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X} _{1}=g_{1}\\&-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})\right]\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}x_{3}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})(\cos \mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}x_{4}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\xi \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}(\mathrm {J} -y)3\sin 2(m-\mu _{1})t\\&+{\frac {\varkappa _{1}}{1+n\chi _{1}}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {4}{5}}nx_{1}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d1c775d458ebcf727a68d09c89155ce98434ae)
XXXI.
Multipliant la valeur de
par
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8d97bcb2b1539851221a685683c29cf7558574)
on aura, après l’intégration et la substitution,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Y} _{1}=\mathrm {H} _{1}\\&+{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}{\frac {3}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ad2f70c41d9df0b1d295878df4c9b57d82ba02)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13876c51e88d555b8014c462dbf94a124a643976)
XXXII.
Enfin, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\backsim }{\Pi }}\,\ (a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma \,\ (a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}\ \,(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\circ }{\Gamma }}\,\ (a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma \,\ (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\circ }{\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce20da066306fe19b3fbb158210d662ca850820)
et ainsi de suite, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Z} _{1}=\\&\quad {\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}{\frac {2}{5}}z_{1}\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}z_{2}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}z_{3}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}z_{4}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6e5086417c592cd8ebb4d4aa5ce15e0cbf2c67)
XXXIII.
Et le mouvement du satellite
sera déterminé par les équations suivantes (Article VIII)
1
o![{\displaystyle \quad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\left(3\mu _{1}^{2}-2f_{1}\right)x_{1}+f_{1}\mathrm {X} _{1}-2\mu _{1}f_{1}\mathrm {Y} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150755d570ae677753d585e7570e62eb1b3f508d)
![{\displaystyle -{\frac {3}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}+6n\mu _{1}f_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db10bddc4f451145ec55083c58f745b90d56788a)
2
o![{\displaystyle \quad {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {Y} _{1}-3n\mu _{1}x_{1}^{2}+2nf_{1}x_{1}\mathrm {Y} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb7dbdf45fc36cb313cc28db3d2fe1e50394f67)
3
o![{\displaystyle \quad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mu _{1}^{2}z_{1}+f_{1}\mathrm {Z} _{1}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+{\frac {dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}+2n\mu _{1}f_{1}z_{1}\mathrm {Y} _{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b83e86522d9f2fe1569d6fe770078cd0531b74)
On se souviendra que les quantités
et
ne doivent renfermer aucun terme constant, suivant la remarque de l’Article IV.
XXXIV.
Il ne s’agit donc plus que d’intégrer les équations que nous venons de donner ; pour cela, on commencera par rejeter tous les termes affectés de
et l’on cherchera par l’intégration les valeurs de
on substituera ensuite ces valeurs dans les termes qu’on avait négligés, et l’on en tirera de nouvelles valeurs de
plus approchées que les premières. On opérerait ainsi de suite, si nous avions eu égard aux termes affectés de
Par ce moyen, l’intégration de la première et de la troisième équation de l’Article précédent se réduira à celle d’une équation de cette forme
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ^{2}u+\mathrm {T} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98877b54373f95bdc578e046d902a7a84c7b086)
étant une fonction composée de sinus et de cosinus d’angles multiples de
or l’intégrale de cette équation est, comme l’on sait,
![{\displaystyle u=\mathrm {G} \sin \mathrm {M} t+\mathrm {H} \cos \mathrm {M} t+{\frac {\cos \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \sin \mathrm {M} tdt-\sin \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \cos \mathrm {M} tdt}{\mathrm {M} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6034a3f9b229cd9a98fdeeb32d9e79469e1df291)
de sorte qu’en supposant
![{\displaystyle \mathrm {T} =\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos pt+b\sin pt+\mathrm {C} \cos qt+c\sin qt+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c411b19a54c9c228ca0580c56140a6632d0bf236)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=-\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} &+\left(\mathrm {H} +\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} \ -{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ {\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ldots \right)\cos \mathrm {M} t\\&+\left(\mathrm {G} -{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-{\frac {qc}{\mathrm {M} \left(q^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-\ldots \right)\sin \mathrm {M} t\\&+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt\\&+{\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos qt\,+{\frac {c}{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin qt+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d03f53995ad1ac8e0e97abbe14e0df96f7c286)
et
sont les valeurs de
et de
lorsque ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
On voit de là que, pour avoir la valeur de
il n’y a qu’à diviser chacun des sinus et des cosinus qui entrent dans
par
étant le coefficient de
et y ajouter encore deux autres termes, qui renferment
et
avec des coefficients arbitraires.
Il ne peut y avoir de difficulté que dans le cas où
serait égal à
car alors le diviseur
sera nul, et les termes
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos \mathrm {M} t+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca68e3a1b4a95d0a64383bba8c4dc1bf895282e)
aussi bien que les termes
![{\displaystyle -{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}\sin \mathrm {M} t+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3be97c977b7313bb309a8900c4176c1c9b7fe91)
deviendraient
ce qui ne fait rien connaitre.
Pour résoudre cette difficulté, on supposera que
ne soit pas tout à fait égale à
mais qu’elle en diffère d’une quantité infiniment petite ; et l’on trouvera que les deux premiers termes se réduisent à
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {B} t}{2p}}\sin \mathrm {M} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d171ee66d004d1384c8abde4c3aef46d440947b0)
et les deux autres à
![{\displaystyle {\frac {bt}{2p}}\cos \mathrm {M} t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4035c869103e93238340c696100e0ccefbae15d)
d’où l’on voit que la valeur de
contiendra des termes multipliés par l’angle ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Au reste, si dans la quantité
il se trouve des termes de cette forme
ou
étant égal à
il est visible que ces termes augmenteront beaucoup par l’intégration, puisqu’ils se trouveront divisés par la quantité très-petite
Donc, si ces sortes de termes ont des coefficients finis dans l’équation différentielle, ils deviendront comme infinis dans l’intégrale ; et, s’ils n’ont que des coefficients très-petits de l’ordre
dans la différentielle, ils deviendront finis dans l’intégrale, et appartiendront à la première valeur de
.
§ I. — Premières formules du mouvement des satellites
de Jupiter autour de cette Planète.
XXXV.
Si l’on substitue dans les trois équations de l’Article XXXIII les valeurs
et
qu’on rejette d’abord tous les termes affectés de
et que l’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {L} _{1}=g_{1}-2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}-\chi _{2}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})-\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cd39dbccfb43d6ed0b95834a2f06bb538078a2)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{1}^{2}=3\mu _{1}^{2}-2f_{1},\quad \mathrm {N} _{1}^{2}=\mu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9495e1c08495c20a10b9314a2b09fb4fce63fd1)
on trouvera les trois équations suivantes
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}1^{\circ }&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2dc2fd1e5d9f9324908ce6aff7c764070892aa)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}2^{\circ }&\ \ {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}h_{1}\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{1}{\frac {3f_{1}}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\\end{aligned}}\right\}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f0faf410d88e94c2f4220be211377b38ea530)
![{\displaystyle 3^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad z_{1}{\frac {d^{2}t}{dt^{2}}}\mathrm {N} _{1}z_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbe1603e83b448ae3c1a144c834d94deb526661)
XXXVI.
La première équation étant intégrée par la méthode de l’Article XXXIV, on trouvera que la valeur de
renferme premièrement le terme constant
lequel devant être nul (Article XXXIII), on aura l’équation
Ensuite la valeur de
renfermera deux termes, tels que
et
avec des coefficients arbitraires, lesquels pourront se réduire à un seul terme représenté par
étant pareillement des constantes arbitraires.
De cette manière, si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf6f045beee245aa588686bb7abbbc85dcf2b4f)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16eb8d236027cc0addc8eb2952dd6273ff04708)
et ainsi des autres, et qu’on suppose de plus
![{\displaystyle \beta _{1}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\right){\frac {f_{1}}{4(m-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c08c4e4598fdc65e94ba5acf765b5a012ff709)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&\varepsilon _{1}\cos(M_{1}t+\omega _{1})\\&-\chi _{2}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{1}\beta _{1}\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d9b1cf55aaab120df82a71e8424424fbfca64c)
XXXVII.
Ayant trouvé la valeur
on aura l’expression du rayon vecteur
de l’orbite du premier satellite rapportée au plan de l’orbite de Jupiter, par la formule
[Article IV].
Or, en examinant cette expression de
on reconnaîtra aisément que le terme
représente l’équation elliptique qui vient de l’excentricité de l’orbite, de sorte que
exprimera la valeur de l’excentricité, et
sera l’anomalie moyenne ; d’où l’on voit que le mouvement de cette anomalie sera au mouvement moyen du satellite comme
à
par conséquent le mouvement moyen de la ligne des apsides sera au mouvement moyen du satellite comme
à
Nous verrons plus bas (Article XLV), qu’en négligeant les quantités de l’ordre
on a
de sorte que la ligne des apsides sera fixe, au moins par cette première approximation.
À l’égard de
on le déterminera par le moyen d’une époque quelconque donnée de l’anomalie moyenne ; ainsi les quantités
et
dépendent entièrement des observations.
Les autres termes de la valeur de
expriment les inégalités qui viennent de l’action des trois satellites
et du Soleil sur le satellite
XXXVIII.
On substituera maintenant la valeur de
dans la seconde équation de l’Article XXXV, et l’on tirera par l’intégration la valeur de
mais on aura attention de faire évanouir auparavant (Article XXXIII) le terme constant
ce qui donnera
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\Xi _{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\Xi _{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}\Xi _{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b24914d1aa931ca247bfb2b5dd5218ca627d1ec)
et pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi _{1}(a_{1},a_{3})={\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\Xi _{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{3})={\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\Xi _{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0681b8f9d65de55b10843a4aa8b737a49bb79f)
et ainsi de suite.
Soit de plus
![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\beta _{1}-{\frac {3f_{1}}{8(m-\mu _{1})^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4310b69609636fca2376eb003f3f1bbfb182f5e7)
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}=&-{\frac {2\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\\&+\chi _{2}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\chi _{3}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\chi _{4}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{1}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f782638f08da810d7a9b9e20a6f94fa67702316)
XXXIX.
Puisque
(Article IV), on aura, en connaissant
l’expression du mouvement vrai du premier satellite par son mouvement moyen.
Le terme
représentera l’équation du centre qui vient de la figure elliptique de l’orbite, et les termes suivants exprimeront les inégalités causées par l’action des trois autres satellites et du Soleil.
XL.
Enfin l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edd3b490e49318083a65c47bd1cd8dfb7730500)
donnera
![{\displaystyle z_{1}=\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da0643b1652543bab7ae8cb2ad4a91d7667b739)
et
étant des quantités arbitraires ; car il est visible que cette expression
laquelle représente généralement la valeur de
(Article XXXIV), peut se réduire à celle-ci : ![{\displaystyle \lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0579a125c58e64f4679a23c52e876a03fc09e355)
XLI.
On aura donc, à cause de
(Article IV),
![{\displaystyle p_{1}=n\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8959004cf5b6d2f971925fd242dd47353337e3b3)
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
tangente de la latitude du satellite par rapport au plan de l’orbite de Jupiter ;
d’où l’on voit que l’orbite réelle du satellite sera toute dans un plan passant par le centre de Jupiter, et dont on connaîtra la position en remarquant : 1o que
étant la plus grande valeur de
exprimera la tangente de l’inclinaison ; 2o que
sera la distance du satellite au nœud ascendant, comptée sur l’orbite de Jupiter, laquelle étant retranchée de la longitude moyenne
on aura
pour la longitude moyenne du nœud.
Au reste, puisque l’on a ici
(Article XXXV), le mouvement du nœud sera nul, et sa longitude moyenne sera
ou plutôt
quantité qui dépend des observations ; mais il faut se souvenir que ce résultat n’est exact qu’aux quantités de l’ordre
près.
XLII.
On trouvera de même, pour le second satellites, les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}=&\varepsilon _{2}\cos(M_{2}t+\omega _{2})\\&-\chi _{1}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{1})\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{1})\cos 2(\mu _{1}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{2}\beta _{2}\cos 2(m-\mu _{2})t\,;\\\\y_{2}=&-{\frac {2\mu _{2}\varepsilon _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\\&+\chi _{1}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{1})\sin(\mu _{1}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{1})\sin 2(\mu _{1}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\chi _{3}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\chi _{4}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{2}\gamma _{2}\sin 2(m-\mu _{2})t\,;\\\\z_{2}=&\lambda _{2}\sin(\mu _{2}t+\eta _{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429d3d990896771c519034c55b15c5f796c72a80)
Et l’on aura ensuite
![{\displaystyle r_{2}=a_{2}(1+nx_{2}),\quad \varphi _{2}=\mu _{2}t+ny_{2},\quad p_{2}=nz_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e45c4451a4b496496a12f7abf9178bc563637d)
Quant aux quantités marquées par
et
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {f_{2}}{(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})+{\frac {2\mu _{2}}{2(\mu _{1}-\mu _{2})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {f_{2}}{4(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {f_{2}}{(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\Phi _{2}(a_{2},a_{1})={\frac {2\mu _{2}}{2(\mu _{1}-\mu _{2})}}\Xi _{2}(a_{2},a_{1})+{\frac {f_{2}}{4(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d337afe57eae78310d9697525c7d90ea48a446e)
Outre cela, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} _{2}\,\ =&g_{2}-2\mu _{2}\mathrm {H} _{2}-\chi _{1}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1})-\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3})-\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{2},\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&3\mu _{2}^{2}-2f_{2},\\\beta _{2}\ \,=&{\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{2}}{m-\mu _{2}}}\right){\frac {f_{2}}{4(m-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\\gamma _{2}\ \,=&{\frac {\mu _{2}}{m-\mu _{2}}}\beta _{2}-{\frac {3f_{2}}{8(m-\mu _{2})^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5cc62d18521c32b6af12fad7596b69900ab9fba)
Enfin on trouvera les deux conditions
et
qui servirout à déterminer les deux constantes
et
(Article XIX).
On aura des formules analogues pour le troisième et le quatrième satellite, que nous nous dispenserons de rappeler ici, parce qu’elles se déduisent à l’œil de celles que nous venons de donner.
§ II. — Valeurs numériques des coefficients des formules précédentes.
XLIII.
Soit, en général, suivant l’Article XVIII,
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D\cos 3\theta +\ldots } ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aa71e98474853e519e4585a953014ae06552fc)
étant une fraction moindre que l’unité ; on aura, en faisant
et ![{\displaystyle \theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d0de4c768df1c3cb6389030b56eafb37f7c8f7)
![{\displaystyle \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cba3c89d6688add60aa89f771de73a9e19b8d1)
![{\displaystyle a_{2}^{3}\left[\mathrm {A+B\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+C\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots } \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d4e9149043cf3fd00fc01c7286dc96919828fc)
donc (Article XXI)
![{\displaystyle \Gamma (a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {A} }{a_{2}^{3}}},\quad \Gamma _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {B} }{a_{2}^{3}}},\quad \Gamma _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {C} }{a_{2}^{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149420cde29bf3f6592ea1db5a5a200f65d227cb)
On trouvera de même, en faisant successivement
![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{1}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{3}}{a_{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60def560cd92460383a2e1914394e168198a6f00)
on trouvera, dis-je,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Gamma (a_{1},a_{3})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{3}^{3}}},\quad &\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{3}^{3}}},\ldots ,\\\Gamma (a_{1},a_{4})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{4}^{3}}},&\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{4}^{3}}},\ldots ,\\\Gamma (a_{2},a_{3})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{3}^{3}}},&\Gamma _{1}(a_{2},a_{3})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{3}^{3}}},\ldots \,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e24a687c72d45dcb08c55c9d01cb4b8ad4dc2a)
et ainsi de suite.
À l’égard des quantités
il est évident qu’elles doivent être égales à leurs réciproques
car les fonctions
![{\displaystyle a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2},\quad a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b6c3b21098ad0a006d44da4ed8478d85555318)
demeurent les mêmes, en changeant
en
et
en
ou bien
en
et
en ![{\displaystyle a_{1},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f4f666a440687d166ee142e7247a2eaef52d91)
XLIV.
De là on trouvera (Article XXIV),
étant égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\breve {\Gamma }}\ (a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {B} -2q^{3}\mathrm {A} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {C} -2q^{3}\mathrm {B} +2q^{2}\mathrm {A} }{2}}-q^{2},\\&{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {D} -2q^{3}\mathrm {C} +q^{2}\mathrm {B} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {E} -2q^{3}\mathrm {D} +q^{2}\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc36db1db1d67a83d9d9dd7d1c3ddc2bfa4ee93)
Et, par l’Article XXV on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {C} -2q^{2}\mathrm {A} }{2}}+q^{2},\\&{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {D} -q^{2}\mathrm {B} }{2}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {E} -q^{2}\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f2c211ee03658218fcc4275aa8f2624da5ce28)
et ces mêmes formules serviront aussi pour les quantités
![{\displaystyle {\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\ \ {\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4}),\ \ {\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3}),\ldots ,\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{4}),\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{3}),\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c41d8815097c6d8fa6983bb2ad2cf26c252fc0)
en faisant successivement
![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{1}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df30c6a5100fa0242350e82c3c153cb36f93d784)
Mais, pour les quantités réciproques
on aura les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\breve {\Gamma }}\ (a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {B} -2\mathrm {A} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {C} -2\mathrm {B} +2q\mathrm {A} }{2}}-{\frac {1}{q^{2}}},\\&{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {D} -2\mathrm {C} +q\mathrm {B} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {E} -2\mathrm {D} +q\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {C} -2q\mathrm {A} }{2}}+{\frac {1}{q^{2}}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {D} -q\mathrm {B} }{2}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {E} -q\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a54a5ec3b4c6da0a87b02bed9dbfe3c08338640)
lesquelles auront lieu pareillement pour les quantités
en faisant comme ci-devant ![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce4ca9199e9de01f6a855df4939a4eeed44fea1)
XLV.
On formera ensuite les quantités marquées par
et par
(Articles XXXIV et XXXVIII), ce qui n’aura aucune difficulté. On remarquera seulement que, à cause de
(Article XXIX), on aura, en négligeant la quantité
qui est de l’ordre
![{\displaystyle f=\mu ^{2},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9de3595db33e85a4701988924fd87ab06f71881)
et de là
![{\displaystyle \quad f_{1}=\mu _{1}^{2},\quad f_{2}=\mu _{2}^{2},\quad f_{3}=\mu _{3}^{2},\quad f_{4}=\mu _{4}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc1373511a43550998cf8d835db91586d798bb4)
par conséquent (Article XXXV)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{1}=\mu _{1},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffea8231df5e44a0687f384f2e7f8a0be70fe02)
et pareillement
![{\displaystyle \quad \mathrm {M} _{2}=\mu _{2},\quad \mathrm {M} _{3}=\mu _{3},\quad \mathrm {M} _{4}=\mu _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4846228f0ca9c4fe55823ab82acd5797fc50cc53)
Donc, supposant
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{s-1}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{2(s-1)}}{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{4(s-1)^{2}-1}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{3(s-1)}}{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{9(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{2(s-1)}}\Xi _{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{4(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{3(s-1)}}\Xi _{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{9(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff7635ae82c1ebc65cbd5bba883a2c5fc35db65)
De méme, en faisant
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{1},a_{3})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afacce161b78f2189c066ff96e79d27af59a583b)
Pareillement on trouvera,
![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
étant égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f928475e3ac34b7be99e66bffb26c47dcbd80bd6)
et ainsi des autres.
XLVI.
Cela posé, on remarquera :
1o Que les quantités
expriment les vitesses angulaires moyennes des satellites
autour de Jupiter (Articles IV et IX) ; d’où il suit que ces quantités sont réciproquement proportionnelles aux temps périodiques des mêmes satellites.
Or on a, par les observations, en négligeant les secondes,
Révolutions périodiques.
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}{\mathfrak {S}}_{1}&{\mathfrak {S}}_{2}&{\mathfrak {S}}_{3}&{\mathfrak {S}}_{4}\\1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}},&3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}},&7^{\text{j}}3^{\text{h}}42^{\text{m}},&16^{\text{j}}16^{\text{h}}31^{\text{m}}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9563ea0e940c1df2d5897019884df2efbf39c3fa)
Donc, réduisant ces quantités en minutes, on aura
![{\displaystyle \mu _{1}={\frac {1}{2547}},\quad \mu _{2}={\frac {1}{5113}},\quad \mu _{3}={\frac {1}{10302}},\quad \mu _{4}={\frac {1}{24032}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e0eb8c783cbf09794ad2e383ed74ba968134480)
2o Que l’on a généralement (Article XLV)
![{\displaystyle f=\mu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66de96464f9232253999b797f6b110973a1435ff)
c’est-à-dire, à cause de
(Article V) et de
(Article X) ![{\displaystyle =\mathbb {Z} \!^{\upsilon }(1+n\chi )=\mathbb {Z} \!^{\upsilon },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18ef6c1d2f37799638be14b28e01b401ab8be70)
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a^{3}}}=\mu ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc3a6d3c75c9056cfc33e511d52c495f5e3aa24)
et par conséquent
![{\displaystyle \mu _{1}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{3}}},\quad \mu _{2}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{3}}},\quad \mu _{3}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{3}^{3}}},\quad \mu _{4}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{4}^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa44209495abb21a1752ce83d79cf2bdb2c5df46)
d’où l’on voit que les quantités
sont entre elles comme les quantités
ainsi l’on trouvera les valeurs de ces quantités, ou plutôt de leurs rapports, qui sont les seules dont nous ayons besoin ici.
Au reste, comine ces valeurs ne sont exactes qu’aux quantités de l’ordre
près, nous emploierons, pour les distances moyennes des satellites, les déterminations que M. Cassini a tirées des observations, lesquelles ne s’écartent d’ailleurs que très-peu de la loi de Kepler ; on aura donc, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l’unité,
![{\displaystyle a_{1}=5{,}67\,;\quad a_{2}=9{,}00\,;\quad a_{3}=14{,}38\,;\quad a_{4}=25{,}30.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494e57bd805f95cb6a264fa632851a705d2b4bc5)
XLVII.
Par le moyen de ces valeurs numériques et des formules des Articles XVIII et XIX, j’ai trouvé les déterminations suivantes
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &q={\cfrac {a_{1}}{a_{2}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{3}}{a_{4}}}\\\hline \mathrm {A} &3{,}029&1{,}456&1{,}122&2{,}973&1{,}342&2{,}362\\\hline \mathrm {B} &4{,}947&1{,}624&0{,}740&4{,}811&1{,}376&3{,}563\\\hline \mathrm {C} &3{,}760&0{,}780&0{,}204&3{,}542&0{,}660&2{,}410\\\hline \mathrm {D} &2{,}869&0{,}341&0{,}041&2{,}475&0{,}493&1{,}539\\\hline \mathrm {E} &2{,}368&0{,}107&0{,}009&1{,}640&0{,}197&0{,}924\\\hline \mathrm {F} &2{,}311&0{,}046&0{,}002&1{,}308&0{,}077&0{,}478\\\hline \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0d8aff6f9094c9ee0a9873acc364bebf09ab52)
Et de là (Article
XLIV)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\\\hline {\breve {\Gamma }}\ &0{,}224&0{,}037&0{,}007&0{,}213&0{,}027&0{,}142\\\hline {\breve {\Gamma }}_{1}&0{,}313&0{,}032&0{,}003&0{,}286&0{,}021&0{,}175\\\hline {\breve {\Gamma }}_{2}&0{,}611&0{,}104&0{,}017&0{,}559&0{,}088&0{,}382\\\hline {\breve {\Gamma }}_{3}&0{,}499&0{,}048&0{,}005&0{,}415&0{,}032&0{,}255\\\hline {\breve {\Gamma }}_{4}&0{,}436&0{,}022&0{,}001&0{,}334&0{,}027&0{,}156\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline {\widehat {\Gamma }}_{1}&-0{,}059&-0{,}010&-0{,}001&-0{,}078&-0{,}000&-0{,}050\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{2}&-0{,}412&-0{,}099&-0{,}017&-0{,}457&-0{,}056&-0{,}327\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{3}&-0{,}276&-0{,}052&-0{,}005&-0{,}365&-0{,}029&-0{,}240\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{4}&-0{,}111&-0{,}024&-0{,}001&-0{,}234&-0{,}026&-0{,}172\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8074496d3f682c54ef4da9f823072d6794ec8f)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\\\hline {\breve {\Gamma }}\ &-1{,}471&-1{,}136&-1{,}039&-1{,}467&-1{,}097&-1{,}349\\\hline {\breve {\Gamma }}_{1}&-4{,}373&-7{,}328&-20{,}375&-4{,}395&-8{,}684&-4{,}631\\\hline {\breve {\Gamma }}_{2}&-1{,}298&-0{,}393&-0{,}116&-1{,}262&-0{,}328&-0{,}960\\\hline {\breve {\Gamma }}_{3}&-0{,}938&-0{,}166&-0{,}017&-0{,}853&-0{,}341&-0{,}592\\\hline {\breve {\Gamma }}_{4}&-0{,}736&-0{,}031&-0{,}004&-0{,}465&-0{,}096&-0{,}351\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline {\widehat {\Gamma }}_{1}&0{,}796&6{,}012&19{,}681&1{,}802&7{,}542&2{,}438\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{2}&-0{,}654&-0{,}253&-0{,}053&-0{,}731&-0{,}157&-0{,}575\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{3}&-0{,}438&-0{,}133&-0{,}022&-0{,}595&-0{,}082&-0{,}422\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{4}&-0{,}175&-0{,}058&-0{,}004&-0{,}365&-0{,}074&-0{,}301\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c391d370f054343b6875b1a3c115d742468b1c)
D’où enfin (Article
XLV)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{1})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})\\\\\hline \Xi _{1}&-0{,}739&-0{,}133&-0{,}025&-57{,}643&-0{,}815&-0{,}058\\\hline \Xi _{2}&179{,}000&0{,}187&0{,}016&-0{,}637&91{,}562&0{,}539\\\hline \Xi _{3}&0{,}682&6{,}023&0{,}001&-0{,}152&0{,}698&0{,}012\\\hline \Xi _{4}&0{,}180&0{,}004&0{,}000&-0{,}054&0{,}184&0{,}004\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \Phi _{1}&2{,}705&0{,}337&0{,}054&-112{,}714&2{,}928&0{,}0147\\\hline \Phi _{2}&-356{,}982&-0{,}292&-0{,}023&-0{,}793&-182{,}169&-0{,}908\\\hline \Phi _{3}&-1{,}025&-0{,}029&-0{,}001&-0{,}148&-1{,}081&-0{,}015\\\hline \Phi _{4}&-0{,}205&-0{,}005&-0{,}000&-0{,}003&-0{,}240&-0{,}005\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d6a96e3c12bfdd3d36af04631ca58a3371dcb9)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{3},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{3},a_{4})&(a_{4},a_{1})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\\\hline \Xi _{1}&\ \ -0{,}409&-31{,}500&-0{,}518&\quad -0{,}224&\ -0{,}363&-1{,}243\\\hline \Xi _{2}&-0{,}013&-0{,}635&2{,}338&-0{,}000&-0{,}007&-0{,}064\\\hline \Xi _{3}&-0{,}002&-0{,}150&0{,}275&-0{,}000&-0{,}003&-0{,}053\\\hline \Xi _{4}&-0{,}000&-0{,}041&-0{,}066&-0{,}000&-0{,}000&-0{,}017\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \Phi _{1}&0{,}380&-60{,}322&1{,}659&0{,}224&0{,}354&-0{,}492\\\hline \Phi _{2}&-0{,}011&-0{,}803&-4{,}338&0{,}000&-0{,}004&-0{,}129\\\hline \Phi _{3}&-0{,}002&-0{,}163&-0{,}400&0{,}000&-0{,}001&-0{,}052\\\hline \Phi _{4}&0{,}000&-0{,}041&-0{,}089&0{,}000&-0{,}000&-0{,}017\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3cc5489a677a5003ce6608ea8292b53d5ad0f4)
En consultant cette dernière Table, on voit qu’il y a des quantités dont les valeurs numériques sont fort grandes ; telles sont les quantités
![{\displaystyle \Xi _{2}(a_{1},a_{2}),\Xi _{1}(a_{2},a_{1}),\Xi _{2}(a_{2},a_{3}),\Xi _{1}(a_{3},a_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b72b51ac9265f67375fc6f0613ce5db294ba82e)
et leurs correspondantes
![{\displaystyle \Phi _{2}(a_{1},a_{2}),\Phi _{1}(a_{2},a_{1}),\Phi _{2}(a_{2},a_{3}),\Phi _{1}(a_{3},a_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969d2b49ddee3b21bd159abcf648a69f070eabb8)
La raison pour laquelle ces quantités ont des valeurs si considérables, c’est que le diviseur
se trouve fort petit dans le cas où
et
et que pareillement le diviseur
est fort petit lorsque
et
comme il est facile de s’en assurer, au moyen des valeurs de
données ci-dessus.
Cette remarque est d’autant plus essentielle qu’elle sert à expliquer pourquoi les équations empiriques des satellites de Jupiter sont en effet les seules qui puissent être bien sensibles (voir plus bas Articles LVIII et suivants).
XLVIII.
Il ne reste plus maintenant qu’à chercher les valeurs des quantités et (Articles XXXVI et XXXVIII).
Pour cela, on remarquera que la quantité
qui représente la vitesse angulaire moyenne du Soleil autour de Jupiter (Article XXVII), est extrêmement petite par rapport aux quantités
vitesses moyennes des satellites ; d’où il suit qu’elle pourra être négligée vis-à-vis de ces dernières quantités ; or on a généralement (Articles cités)
![{\displaystyle \beta ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu }{m-\mu }}\right){\frac {f}{4(m-\mu )^{2}-\mathrm {M} ^{2}}},\quad \gamma ={\frac {\mu }{m-\mu }}\beta -{\frac {3f}{8(m-\mu )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be9932c5fd34b0068fd914e125aaf5608330838)
c’est-à-dire, à cause de
et
(Article XLV),
![{\displaystyle \beta ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu }{m-\mu }}\right){\frac {\mu ^{2}}{4(m-\mu )^{2}-\mu ^{2}}},\quad \gamma ={\frac {\mu }{m-\mu }}\beta -{\frac {3\mu ^{2}}{8(m-\mu )^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5833484c9fa911d6508b6d80c21a4d7ac1de299c)
donc, en négligeant la quantité
![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
on aura
![{\displaystyle \beta =1,\quad \gamma =-1-{\frac {3}{8}}=-{\frac {11}{8}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e7502f9a2ce95b12a309978c26f970b2cb028e)
À l’égard des quantités
et
qui doivent être déterminées par les équations
et
(Articles XXIX, XXXV et suivants), il est inutile d’en chercher la valeur, puisqu’elles ne se trouvent point dans l’expression des coefficients de nos formules.
§ III. — Formules des rayons vecteurs et des longitudes vraies des satellites de Jupiter par rapport au plan de l’orbite de cette Planète.
XLIX.
Dans les formules suivantes, j’ai remis, au lieu de
les quantités
(Article XXIX) ; et j’ai substitué pour
leurs valeurs en nombres ; car, puisque
(Article cité) et que
(Article XLVI), et par conséquent aussi
on aura
donc
![{\displaystyle n\mathrm {K} _{1}={\frac {m^{2}}{\mu _{1}^{2}}},\quad n\mathrm {K} _{2}={\frac {m^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6782c0990b26c02a7ea2b550238e8132689ce51e)
Or,
étant la vitesse moyenne angulaire du Soleil autour de Jupiter et
les vitesses moyennes angulaires des satellites, on aura
![{\displaystyle {\frac {m}{\mu _{1}}}={\frac {1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}},\quad {\frac {m}{\mu _{2}}}={\frac {3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}15^{\text{h}}20^{\text{m}}}},\quad {\frac {m}{\mu _{3}}}={\frac {7^{\text{j}}12^{\text{h}}13^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1544fe0093d34015ad3ee6a22b007998b08c3368)
![{\displaystyle {\frac {m}{\mu _{4}}}={\frac {16^{\text{j}}16^{\text{h}}32^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ebdea4a2f09696fbefe3e906abd76361930aa1c)
d’où l’on tire à très-peu près
![{\displaystyle n\mathrm {K} _{1}={\frac {m^{2}}{\mu _{1}^{2}}}=0{,}0000002,\quad n\mathrm {K} _{2}=0{,}0000007,\quad n\mathrm {K} _{3}=0{,}0000027,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c162ea65e1b5c4b942e0822218e9bdfca76cea8e)
![{\displaystyle n\mathrm {K} _{4}=0{,}0000148.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf8a31355f098fbf83875f521fc292b2e867589)
Outre cela, au lieu de
et
qui représentent les valeurs moyennes des angles
et
c’est-à-dire des longitudes moyennes des quatre satellites et du Soleil vus de Jupiter, et rapportés au plan de son orbite, j’ai mis les lettres
et
De même, au lieu de
anomalies moyennes des satellites, j’ai substitué, pour plus de simplicité,
Enfin j’ai exprimé les rayons vecteurs en demi-diamètres de Jupiter, et les longitudes en minutes. De cette manière j’ai trouvé
L.
Rayon vecteur du premier satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}=&5{,}67(1+n\varepsilon _{1}\cos \mathrm {V} _{1})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[4{,}19\cos(u_{2}-u_{1})-1014{,}93\cos 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3{,}87\cos 3(u_{2}-u_{1})-1{,}02\cos 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}75\cos(u_{3}-u_{1})-1{,}06\cos 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}13\cos 3(u_{3}-u_{1})-0{,}02\cos 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}14\cos(u_{4}-u_{1})-0{,}09\cos 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}00\cos 3(u_{4}-u_{1})-0{,}00\cos 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}00000092\cos 2(v-u_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7a47eb3f2b76e3d6b08ae7f6e4b3ea4bd0be22)
Rayon vecteur du deuxième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}=&9{,}00(1+n\varepsilon _{2}\cos \mathrm {V} _{2})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[518{,}78\cos(u_{1}-u_{2})+5{,}73\cos 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+1{,}36\cos 3(u_{1}-u_{2})+0{,}49\cos 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[7{,}16\cos(u_{3}-u_{2})-824{,}07\cos 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-6{,}29\cos 3(u_{3}-u_{2})-1{,}66\cos 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}52\cos(u_{4}-u_{1})-4{,}85\cos 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}11\cos 3(u_{4}-u_{1})-0{,}04\cos 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}0000060\cos 2(v-u_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266efa7b6fac44a941b28328465f68b864b8e9a3)
Rayon vecteur du troisième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{3}=&14{,}38(1+n\varepsilon _{3}\cos \mathrm {V} _{3})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5{,}88\cos(u_{1}-u_{3})+0{,}19\cos 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}03\cos 3(u_{1}-u_{3})+0{,}00\cos 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[452{,}98\cos(u_{2}-u_{3})+9{,}13\cos 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+2{,}16\cos 3(u_{2}-u_{3})+0{,}59\cos 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[7{,}46\cos(u_{4}-u_{3})-33{,}62\cos 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3{,}95\cos 3(u_{4}-u_{3})+0{,}95\cos 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\&-0{,}0000392\cos 2(v-u_{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f2bde76a70cc9c6c7b617b38f51851f59dd352)
Rayon vecteur du quatrième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{4}=&25{,}30(1+n\varepsilon _{4}\cos \mathrm {V} _{4})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5{,}66\cos(u_{1}-u_{4})+0{,}01\cos 2(u_{1}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}00\cos 3(u_{1}-u_{4})+0{,}00\cos 4(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[8{,}18\cos(u_{2}-u_{4})+0{,}17\cos 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}07\cos 3(u_{2}-u_{4})+0{,}00\cos 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[31{,}55\cos(u_{3}-u_{4})+1{,}62\cos 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+1{,}35\cos 3(u_{3}-u_{4})+0{,}43\cos 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\&-0{,}0003754\cos 2(v-u_{4}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f32576a636dcc1b94e3c90fe801d32456d28fae)
LI.
Longitude vraie du premier satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=&u_{1}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{1}\sin \mathrm {V} _{1})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[9500'\sin(u_{2}-u_{1})-1227214'\sin 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3526'\sin 3(u_{2}-u_{1})-705'\sin 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1158'\sin(u_{3}-u_{1})-1007'\sin 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-101'\sin 3(u_{3}-u_{1})-18'\sin 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[188'\sin(u_{4}-u_{1})-81'\sin 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3'\sin 3(u_{4}-u_{1})-0'\sin 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}047\sin 2(v-u_{1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a2dcbd5c86cd766bf1a8a69d817f7252c2655f)
Longitude vraie du deuxième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}=&u_{2}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{2}\sin \mathrm {V} _{2})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-387482'\sin(u_{1}-u_{2})-2727'\sin 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-509'\sin 3(u_{1}-u_{2})-12'\sin 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[10067'\sin(u_{3}-u_{2})-626246'\sin 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3717'\sin 3(u_{3}-u_{2})-825'\sin 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[506'\sin(u_{4}-u_{2})-3123'\sin 2(u_{4}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-52'\sin 3(u_{4}-u_{2})-17'\sin 4(u_{4}-u_{2})\ldots \right]\\&-0{,}190\sin 2(v-u_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e3c383b79d93e7465c4110e3019ecb96dd8290)
Longitude vraie du troisième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{3}=&u_{3}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{3}\sin \mathrm {V} _{3})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1306'\sin(u_{1}-u_{3})-38'\sin 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-8'\sin 3(u_{1}-u_{3})-1'\sin 4(u_{1}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-207375'\sin(u_{2}-u_{3})-2760'\sin 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-559'\sin 3(u_{2}-u_{3})-142'\sin 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5703'\sin(u_{4}-u_{3})-14911'\sin 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-1376'\sin 3(u_{4}-u_{3})-306'\sin 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\&-0{,}977\sin 2(v-u_{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491acb54f0272989df35b24b9fa687dd848a06c)
Longitude vraie du quatrième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{4}=&u_{4}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{4}\sin \mathrm {V} _{4})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[768'\sin(u_{1}-u_{4})-0'\sin 2(u_{1}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0'\sin 3(u_{1}-u_{4})-0'\sin 4(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1219'\sin(u_{2}-u_{4})-15'\sin 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3'\sin 3(u_{2}-u_{4})-0'\sin 4(u_{2}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1691'\sin(u_{3}-u_{4})-444'\sin 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-180'\sin 3(u_{3}-u_{4})-59'\sin 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\&-4{,}208\sin 2(v-u_{4}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ced92eddffd734816a8c11212faf7680d6e4f7)
§ IV. — Où l’on donne les inégalités des satellites qui dépendent de leurs configurations, et, qui ont lieu au temps des éclipses.
LII.
Il est visible que les éclipses des satellites, c’est-à-dire leurs conjonctions avec Jupiter, arrivent lorsque leurs longitudes
diffèrent de
degrés de la longitude
du Soleil vu de Jupiter ; de sorte qu’on aura généralement l’équation
![{\displaystyle \varphi -\psi =180^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918e98e616977d0ae7d4cb5459b561196717c24e)
ou bien, en mettant pour
et
leurs valeurs
et ![{\displaystyle v+n\mathrm {J} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a587ab8268c52a4140212506f8dd2614440b75db)
![{\displaystyle u-v=180^{\circ }+n\mathrm {J} -ny,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce1fb6f061d9b925257ca26afd5a8be42f14cef)
où
exprime l’équation de Jupiter,
l’équation, ou plutôt la somme des équations du satellite, et
la distance, ou bien l’élongation moyenne du satellite ; donc, pour avoir la conjonction vraie, il n’y aura qu’à ajouter au temps de la conjonction moyenne la quantité
convertie en temps, à raison du mouvement moyen du satellite au Soleil, conversion qu’on fera aisément en multipliant la quantité proposée par
pour le premier satellite, par
pour le deuxième, par
pour le troisième et par
pour le quatrième ; et changeant ensuite les degrés en heures, les minutes de degré en minutes de temps, etc. ces nombres se trouvent, en divisant les durées des révolutions synodiques des satellites, lesquelles sont de
![{\displaystyle 1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}36^{\text{s}},\quad 3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}54^{\text{s}},\quad 7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}36^{\text{s}},\quad 16^{\text{j}}18^{\text{h}}5^{\text{m}}7^{\text{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddeb6a76a50f5eab62fbd656eee17e84d1b27a58)
par
degrés, après avoit réduit le tout en secondes.
LIII.
Nous allons donc donner ici les équations des conjonctions des satellites ; mais nous ferons abstraction de celles qui viennent, de l’excentricité de Jupiter, et des excentricités particulières des satellites, parce que les unes sont assez connues des Astronomes, et que les autres ne sont pas assez exactes pour qu’on puisse s’y fier.
LIV.
Équation du premier satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1097^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{1})+144800^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+416^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{1})+83^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-137^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{1})+119^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+12^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{1})-1^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-22^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{1})+9^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+0^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{1})+0^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7553d38ac0b805f7cc0d321f64b24a64af906b43)
LV.
Équation du deuxième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+646^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+121^{\text{m}}\sin 3(u_{1}-u_{2})+3^{\text{m}}\sin 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2385^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{2})+148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+881^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{2})+195^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-119^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{2})+740^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+12^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{2})+4^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{2})\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ae7cec6c2af45bbc3210cbe5d54e7f685ef507)
LV.
Équation du troisième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-624^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{3})+18^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+4^{\text{m}}\sin 3(u_{1}-u_{3})+0^{\text{m}}\sin 4(u_{1}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[99075^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{3})+1319s^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+267^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{3})+68^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2725^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{3})+7124^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+627^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{3})+146^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a7a35b8cd4ecd39eeedffdae54d4b8f9437629)
LV.
Équation du quatrième satellite.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-858^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{4})+0^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1362^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{4})+18^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+4^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{4})-0^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1888^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{4})+496^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+201^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{4})+66^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbe7536e9678ed8fab99be4b7ea8915614ecbae)
J’ai négligé dans ces formules les termes dus à l’action du Soleil, et qui sont de la forme de
parce que ces termes deviennent nuls au temps des conjonctions où l’on a
§ V. — Comparaison des formules précédentes avec les observations, et conséquences qui en résultent par rapport aux masses des satellites.
LVIII.
Nous nous contenterons ici de comparer nos formoles avec les Tables de M. Wargentin, qui sont, comme l’on sait, le résultat d’un grand nombres d’observations ; mais, avant d’entreprendre ce parallèle, il est bon d’avertir que les Tables de ce grand Astronome sont dressées de manièce qu’il n’y a aucune équation soustractive, quoique les équations qu’il a employées soient de nature à être tantôt additives et tantôt soustractives ; cela vient de ce que l’Auteur a retranché, par avance des époques, chacune des plus grandes équations soustractives ; de sorte que les équations des Tables se trouvent nulles dans le cas où elles auraient été les plus grandes à soustraire, et que leur plus grande valeur est double de ce qu’elle aurait dû être.
LIX.
En examinant les différents termes de la formule de l’Article LIV on voit qu’il y en a un dont le coefficient numérique est très-grand, et vis-à-vis duquel tous les autres termes ne sont presque d’aucune considération c’est le terme
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144\,800^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204b3e4fa3c5ae1ee666f8a9d37c5ba4e3dbb3ed)
d’où résulte une équation qui a pour argument
savoir le double de la distance moyenne du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, et dont la plus grande valeur est de
,
exprimant le rapport de la masse du second satellite à celle de Jupiter.
Pour mieux connaître la nature de cette inégalité qui doit avoir lieu dans les conjonctions du premier satellite, il faut cherchec sa période, laquelle dépend du rapport des révolutions synodiques des deux premiers satellites. Or, suivant M. Wargentin, on a pour la durée de la révolution synodique du premier
![{\displaystyle 1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}35^{\text{s}}56^{\text{t}}58^{\text{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91bcf8f413d86d6aca26376df6a6d117a8751c1)
et pour celle du second
![{\displaystyle 3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}53^{\text{s}}45^{\text{t}}7^{\text{q}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835482245d668dd140f1ff8020118b2f698cb2ca)
d’où l’on trouve, en additionnant successivement ces nombres, que
révolutions du premier font
![{\displaystyle 437^{\text{j}}3^{\text{h}}43^{\text{m}}59^{\text{s}}31^{\text{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8ad5cdf47214d6401818853562cb33584638ed)
et que
révolutions du second font
![{\displaystyle 437^{\text{j}}3^{\text{h}}41^{\text{m}}11^{\text{s}}29^{\text{t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0823bb675ba042169d1548bea38fa00e2a84b8)
ainsi, pendant que le premier fait une révolution par rapport au Soleil, le second ne fait que
d’une pareille révolution ; d’où il suit que la distance
u, du second satellite au premier augmente, dans l’intervalle d’une conjonction à l’autre, de
pour avoir une exactitude plus grande, on additionnera de nouveau les périodes du premier et du second satellite que nous venons de trouver, jusqu’à ce qu’ils fassent des sommes à peu près égales, et l’on trouvera que
révolutions du premier font
![{\displaystyle 795619^{\text{j}}13^{\text{h}}28^{\text{m}}8^{\text{s}}26^{\text{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6c0d2bf732cf3982c375cccb93dd3d5582677d)
et que
révolutions du second font
![{\displaystyle 795619^{\text{j}}13^{\text{h}}32^{\text{m}}19^{\text{s}}40^{\text{t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aaaf4b5ab21f0c619e8c8e911e029cc3a92af4)
c’est pourquoi on aura, au lieu de la fraction
celle-ci beaucoup plus exacte ![{\displaystyle {\frac {223860}{449538}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c34008df1c5326bb0a68d329df7b32d37559131)
Soit maintenant
la distance du second satellite au premier au temps d’une conjonction de celui-ci, cette distance deviendra, après
n
révolutions[7],
![{\displaystyle \theta +n\left({\frac {223860}{449538}}-1\right)360^{\circ }=u_{2}-u_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85a505b36d53d9d6e1d3701d3e66f1d774c7a98)
donc on aura
![{\displaystyle 2(u_{2}-u_{1})=2\theta +n\left({\frac {447720}{449538}}-2\right)360^{\circ }=2\theta -n\left({\frac {1818}{449538}}+1\right)360^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfb6e603da0e78f015be47f9e219528f9ebe2ee)
et
![{\displaystyle \sin 2(u_{2}-u_{1})=\sin \left(2\theta -n{\frac {1818}{449538}}360^{\circ }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25db57608a9788245cb5728d7351f9907fae7359)
donc, pour que cette quantité redevienne
il faut que
![{\displaystyle {\frac {1818n}{449538}}=1,\quad {\text{ce qui donne}}\quad n={\frac {449538}{1818}}=247{,}270\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a607544a593919c3c0b0b42796945ab1f047ac90)
c’est le nombre des révolutions du premier satellite qui exprime la période de l’équation ![{\displaystyle \sin 2(u_{2}-u_{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116cf422c620bb349746e9b9a6b9461802123cfa)
Or
révolutions font à très-peu près
![{\displaystyle 437^{\text{j}}3^{\text{h}}44^{\text{m}}0^{\text{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9c2caaa305c42141e305f61bd0ed84a2bf4ed6)
et
de révolution font
donc la période cherchée sera de
![{\displaystyle 437^{\text{j}}15^{\text{h}}12^{\text{m}}7^{\text{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d143a4b4a7f3ef5c11d9d5ed7906f975e7da1f)
LX.
Voyons à présent quelle doit être la marche de cette équation ; pour cela, nous supposerons
c’est-à-dire que les deux satellites se trouvent à la fois en conjonction, et nous aurons, après un nombre quelconque
de révolutions du premier satellite,
![{\displaystyle \sin 2(u_{2}-u_{1})=-\sin \left(n{\frac {1818}{449538}}360^{\circ }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1929884c2255dea518b2a5c19c845de061aacb)
ou bien en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle p={\frac {449538}{1818}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c788d03fe2f7e0a240327d4729f7ed81700812)
égal au nombre des révolutions qui forment la période de l’équation
![{\displaystyle \sin 2(u_{2}-u_{1})=-\sin {\frac {n}{p}}360^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5097a32ccdfdec8cebb0f4a183c201ba15fd83ce)
De là on voit que l’équation
sera nulle au commencement de la période, qu’ensuite elle deviendra soustractive, et qu’elle sera la plus grande à soustraire lorsque
c’est-à-dire, au quart de la période ; après quoi elle redeviendra nulle à la moitié de la période, ensuite se changera en additive croissante jusqu’aux trois quarts de la période, où elle sera la plus grande, et enfin décroîtra pendant le dernier quart, pour se retrouver nulle au commencement de la période suivante.
LXI.
Je dis maintenant que l’équation que nous venons d’examiner est la même que celle qui se trouve dans les Tables du premier satellite, désignée par la lettre
et qui est la seule que les observations aient fait connaître jusqu’ici. En effet : 1o la période de cette équation est, selon M. Wargentin, de
environ, ce qui s’accorde admirablement bien avec ce que nous avons trouvé dans l’Article LIX ; car la différence de
qui s’y trouve, n’est d’aucune considération par rapport à un intervalle de
jours ; 2o si l’on examine l’équation
on verra qu’en ôtant toujours
(moitié de la plus grande valeur de cette équation, selon la remarque de l’Article LVIII), et établissant le commencement de la période (qui est divisée en
parties) au nombre
on verra, dis-je, que la marche de cette équation est la même que celle de l’équation
de l’Article précédent. De plus on trouvera, par les Tables du premier et du second satellite, que, dans les conjonctions du premier satellite qui répondent exactement au nombre
l’élongation du second satellite est nulle. Donc, etc.
LXII.
De là il suit que les nombres
des Tables du premier satellite ne sont autre chose que les distances, c’est-à-dire, les élongations du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, le cercle étant supposé divisé en
parties, de sorte que le nombre
réponde aux conjonctions des deux satellites et
à leurs oppositions. Cette remarque fournit un moyen de rectifier les époques de ces nombres, si elles en avaient besoin, et de les prolonger autant qu’on voudra, sans craindre de s’égarer.
LXIII.
La plus grande valeur de l’équation
du premier satellite est de
dont il ne faut prendre que la moitié (Article LVIII) ; donc, comparant cette valeur avec le coefficient de l’équation
lequel est
on aura
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144800^{\text{m}}={\frac {7}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462679dedf482a0e9c821390893203786e5c81bc)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {7}{289600}}=0{,}00002417={\frac {1}{40000}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eae9d48750e12d80b8a39ade478ee55a74bd031)
à peu près ;
c’est le rapport de la masse, du second satellite à celle de Jupiter. Si l’on prend la masse de la Terre pour l’unité, on a
![{\displaystyle \mathbb {Z} \!^{\upsilon }=363{,}9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47110f21761318ca26997c0e12fb0e2412a39f00)
ce qui donne
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}=0{,}00879={\frac {11}{1250}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962d066d205434cf17837357c0a94b291c063fc0)
à peu près.
Supposons que la densité de ce satellite soit la même que celle de Jupiter, ou au moins qu’elle n’en diffère que très-peu, ce qui est trèsnaturel, on trouvera, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l’unité, que celui du satellite est
c’est-à-dire, environ
ce qui donnerait pour le temps que le satellite doit employer à entrer dans l’ombre de Jupiter
ce qui est à peu près le milieu entre les résultats des observations de M. Maraldi et de M. Whiston (Mémoires d’e l’Académie, 1734).
LXIV.
Il serait tout à fait inutile d’examiner les autres termes de la formule de l’Article LIV ; car il est clair qu’il n’en pourrait résulter que des équations extrêmement petites, et par conséquent insensibles, à moins qu’on ne voulût supposer les masses du troisième et du quatrième satellite énormément grandes par rapport à celle du second, ce qui ne paraît guère naturel ; d’ailleurs l’équation que nous avons examinée est la seule qu’on ait jusqu’ici déduite des observations.
LXV.
Passons donc à la formule de l’Article LV, qui renferme les équations des conjonctions du second satellite. Parmi tous les termes dont cette formule est composée, j’en distingue d’abord deux qui sont beaucoup plus considérables que les autres par les coefficients numériques dont ils sont affectés, savoir
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b9f162a5da253678f72f7dfbc4df029ef16f86)
dont l’un vient de l’action du premier satellite, et l’autre de l’action du troisième. Ces deux termes produisent, comme l’on voit, deux équations dont les arguments sont
distance moyenne du premier satellite au second, et
double de la distance moyenne du troisième satellite au second au temps des conjonctions de celui-ci.
Je remarque maintenant que la durée de la révolution synodique du troisième satellite est de
![{\displaystyle 7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}35^{\text{s}}55^{\text{t}}23^{\text{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6b9fc42988a91d6ffb9f24d752447f6c0a12e5)
selon M. Wargentin ; ce qui donne, pour
révolutions,
![{\displaystyle 437^{\text{j}}3^{\text{h}}35^{\text{m}}31^{\text{s}}18^{\text{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1af16316b9155916d6c2a94f8b28ce9b9b35295)
et, pour
111021
révolutions,
![{\displaystyle 795619^{\text{j}}13^{\text{h}}29^{\text{m}}1^{\text{s}}55^{\text{t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c9b0e2d973b95a376b70601da227ad8ca572d7)
or nous avons déjà trouvé que
révolutions du premier sont
![{\displaystyle 795619^{\text{j}}13^{\text{h}}28^{\text{m}}8^{\text{s}}26^{\text{t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6c0d2bf732cf3982c375cccb93dd3d5582677d)
et que
révolutions du second sont (Article LIX)
![{\displaystyle 795619^{\text{j}}13^{\text{h}}32^{\text{m}}19^{\text{s}}40^{\text{t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aaaf4b5ab21f0c619e8c8e911e029cc3a92af4)
donc les mouvements des trois premiers satellites au Soleil sont entre eux comme les nombres
et les différences entre les mouvements des deux premiers et les mouvements du second et du troisième sont au mouvement du second comme les nombres
au nombre
donc, pendant que le second achève une révolution au Soleil, les angles
et
croissent de
et
donc l’angle
diminue à chaque révolution du second de la même quantité dont l’angle
augmente, savoir de
donc la quantité
![{\displaystyle u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f48d36f0ab4ed18e678234f4ebbf1015ea4235)
est toujours la même dans les conjonctions du second satellite.
Examinons donc une conjonction quelconque de ce satellite, et voyons quelles sont les élongations du premier et du troisième, c’est-à-dire, les valeurs de
et de
je prends pour exemple la première conjonction de l’année 1760, laquelle est marquée dans les Tables à
à quoi ajoutant la moitié des plus grandes équations, savoir,
(Article LVIII), on a
![{\displaystyle 2^{\text{j}}15^{\text{h}}17^{\text{m}}56^{\text{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7d907260012fc7ecfceb914419937624460aa8)
pour le temps moyen de la conjonction moyenne du second satellite ; je trouve de la même manière que les premières conjonctions moyennes
du premier et du troisième satellite ont dû arriver à
![{\displaystyle 1^{\text{j}}10^{\text{h}}48^{\text{m}}48^{\text{s}}\quad \mathrm {et\ {\grave {a}}} \quad 3^{\text{j}}5^{\text{h}}54^{\text{m}}56^{\text{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a7a3c52c3451ed1448709e882351490bd180c9)
de temps moyen ; d’où je conclus qu’au temps de la conjonction du second satellite, le premier était plus avancé de
ce qui fait
et que le troisième était en arrière de
ce qui vaut
donc
![{\displaystyle u_{1}-u_{2}=241^{\circ }24'\quad {\text{et}}\quad u_{3}-u_{2}=-30^{\circ }27'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a108e7265d19d2d6119820feb699b10164b4c15)
par conséquent
![{\displaystyle u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }30'=180^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dd0cec18578146b0b0dba2032acc36710a39c8)
à très-peu près.
On aura donc, en général,
![{\displaystyle 2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }-(u_{1}-u_{2})\quad {\text{et}}\quad \sin 2(u_{3}-u_{2})=\sin(u_{1}-u_{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb36e4ccba3b83d9f7084b45440fdec72df3c1ec)
ainsi les deux termes
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6555e12df0145b554b28d6a15004cc667a22d176)
peuvent se réduire à un terme unique, tel que
![{\displaystyle \left({\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\right)\sin(u_{1}-u_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1424e13d9e050b91ce640bdb562807bf30fcaac7)
lequel ne donne qu’une équation dépendante de l’élongation du premier satellite au second.
LXVI.
Soit, dans une conjonction du second satellite,
on aura, par ce que nous avons démontré dans l’Article précédent, après
révolutions de ce même satellite,
![{\displaystyle u_{1}-u_{2}=\theta +n{\frac {225678}{223860}}360^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f50a75824916c1b49acad56553647781dcafdde9)
et par conséquent
![{\displaystyle \sin(u_{1}-u_{2})=\sin \left(\theta +n{\frac {225678}{223860}}360^{\circ }\right)=\sin \left(\theta +n{\frac {1818}{223860}}360^{\circ }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c0cf13c1e456c3cc306ab88754af903562ea55)
d’où l’on voit que cette quantité ne peut redevenir
![{\displaystyle \sin \theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5bdb257898f9bbb9a29bd0997cd1389223fa25)
à moins que l’on n’ait
![{\displaystyle n{\frac {1818}{223860}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c46e9f7eea86bf126518219f5946bc4713c919)
ce qui donne
![{\displaystyle n={\frac {223860}{1818}}=123{,}135\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98008641ab0cc431cb3972d81064ad95e53a7837)
c’est le nombre des révolutions du second satellite qui forment la période de l’équation
et l’on trouvera que cette période est la même que celle de l’équation du premier satellite, savoir (Article LIX)
![{\displaystyle 437^{\text{j}}15^{\text{h}}12^{\text{m}}7^{\text{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d143a4b4a7f3ef5c11d9d5ed7906f975e7da1f)
Mettons
au lieu du nombre
nous aurons
![{\displaystyle \sin(u_{1}-u_{2})=\sin \left(\theta +{\frac {n}{p}}360^{\circ }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5288d0df38537a374c42744aa468eee92f293b2)
donc, supposant au commencement de la période
c’est-à-dire, les deux premiers satellites en conjonction à la fois, et faisant successivement
et
on trouvera que l’équation dont il s’agit est nulle au commencement de la période, qu’ensuite elle augmente jusqu’au quart de la période, où elle est la plus grande ; que de là elle diminue et redevient nulle à la moitié de la période, après quoi elle se change en négative, etc.
LXVII.
Si l’on compare maintenant la marche de cette équation avec celle de l’équation
des Tables du second satellite, on verra qu’elles s’accordent parfaitement, pourvu que l’on ait attention d’ôter constamment de cette dernière équation
moitié de sa plus grande valeur, et qu’on fixe le commencement de la période au nombre
Ainsi les nombres
des Tables du second satellite indiquent les élongations du premier au temps des conjonctions du second, de sorte que le nombre
répond aux conjonctions des deux satellites, et le nombre
à leurs oppositions. (Voyez là-dessus la dissertation de M. Wargentin qui est à la tête des observations du second satellite, dans les Mémoires de la Société d’Upsal pour l’année 1743.)
LXVIII.
Il ne reste donc plus qu’à égaler le coefficient de l’équation
à la plus grande valeur de l’équation
des Tables, ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=91810+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383={\frac {33}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f6e2ee0e19463dbb32e880f75a50f0795b5420)
de sorte qu’en supposant
on aura
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {23}{183620+296766m}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {33m}{183620+296766m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803acdb7a5a723fc0b7ae117a85da0c090936830)
Soit par exemple
c’esl-à-dire, les masses du premier et du troisième satellite égales entre elles, on aura
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {33}{480386}}=0{,}00006869={\frac {1}{14500}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7aa50bd74db4ec67e21cd7e515f342ca740598e)
environ ;
d’où, en supposant les densités des satellites égales à celles de Jupiter, on tire leurs demi-diamètres
environ
de celui de Jupiter ; ce qui donne pour le temps que le premier devrait employer à entrer dans l’ombre
et pour le temps que devrait employer le troisième ![{\displaystyle 9^{\text{m}}21^{\text{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642818a6536c7d497df95c40d14779c93a595197)
Au reste, quel que soit le nombre
comme il ne saurait être ni infini ni nul, il est clair que les quantités
sont toujours nécessairement moindres que la fraction
c’est-à-dire, en prenant la masse de la Terre pour l’unité,
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed63f15cb7d2406f4ef9248e685e5720d69bf3db)
et
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{3}<0{,}0404\ldots ,\quad {\text{environ}}\quad {\frac {1}{25}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e582bfd74925fa6e9ff4b106c26d9539b98dbd44)
LXIX.
À l’égard des autres termes de la formule de l’Article LV il est facile de voir qu’ils ne donnent que des équations extrêmement petites, et qui peuvent par conséquent être négligées ; en effet, le terme qui a le plus grand coefficient numérique, après ceux que nous venons d’examiner, est
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2385^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{2})\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415188ca542b8e67f9daa41a394b8c17983107db)
or nous avons trouvé que
donc la plus grande équation sera ![{\displaystyle <16^{\text{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a599811857f14cd3bf7cff97de5bef16eb456bf)
LXX
L’équation
![{\displaystyle u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }30',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/676e79ddd2b9d96c3fbaa550a1034bc97c6669ec)
trouvée dans l’Article LXV et d’où nous avons tiré
![{\displaystyle \sin 2(u_{3}-u_{2})=\sin(u_{1}-u_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62359cf12440c61de7b7f68aea512aa9871c36d0)
à très-peu près,
est une suite du rapport que nous avons établi entre les révolutions synodiques des trois premiers satellites ; ce rapport n’est pas exact à la rigueur, mais il ne s’écarte de la vérité que d’une quantité infiniment petite, de sorte qu’au bout de
ans l’erreur qui en pourra résulter sera encore presque insensible.
En effet, on trouve qu’il faudrait environ
ans pour que l’équation dont nous parlons devînt
![{\displaystyle u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=360^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c22ebc3c66672056facc92ad5a51265cec6982)
pourvu que les moyens mouvements des satellites fussent assez exacts pour pouvoir être employés dans une si longue suite de siècles. (Voyez l’Ouvrage de M. Wargentin cité ci-dessus.)
LXXI.
La formule de l’Article LVI, qui renferme les équations du troisième satellite, ne nous présente qu’un terme qui puisse être de quelque considération c’est le terme
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}99075^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa212ecd239b642cf39a94ca3327818a68eb2a3f)
dont l’argument est l’élongation du second satellite au troisième au temps des conjonctions de celui-ci.
Avant d’entrer dans le détail de l’inégalité qui en résulte, voyons si elle est assez considérable pour qu’on doive en tenir compte. Pour cela on substituera, au lieu de
sa valeur trouvée ci-dessus (Article LXIII), savoir
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}99075^{\text{m}}=2^{\text{m}}24^{\text{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf42d8a2c6463e1f3f4efda8decf97986f7f326)
de sorte que l’inégalité dont il s’agit montera à
à cause que l’équation
est tantôt additive, tantôt soustractive.
Maintenant on sait que les mouvements moyens du second et du troisième satellite sont entre eux comme les nombres
et
(Article LXV), d’où il suit que, pendant que le troisième achève une révolution au Soleil, la distance
augmente de
de sorte que, si l’on appelle
l’élongation du second satellite au troisième au temps d’une conjonction quelconque de ce dernier, on aura, après
révolutions,
![{\displaystyle u_{2}-u_{3}=\theta +n{\frac {112839}{111021}}360^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410637def931547043585c5bd1b9ff3cde594e8d)
et de là
![{\displaystyle \sin(u_{2}-u_{3})=\sin \left(\theta +n{\frac {112839}{111021}}360^{\circ }\right)=\sin \left(\theta +n{\frac {1818}{111021}}360^{\circ }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7293156a524d0fa29fde3cf69e92d996c3a38e53)
d’où l’on voit : 1o que la période de cette équation sera de
révolutions du troisième satellite, ce qui revient au même que celles du premier et du second satellite (Articles LIX et LXVI) ; 2o que si l’on prend pour le commencement de la période une conjonction du troisième sa-
tellite dans laquelle
![{\displaystyle \theta =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5b3469634118b874f7e6e7f4552390c2663763)
c’est-à-dire, que le second satellite soit aussi en conjonction, on trouvera que la marche de l’équation dont il s’agit sera entièrement analogue à celle de l’équation du second satellite (Article
LXVI).
LXXII.
L’équation que nous venons d’examiner ne se trouve point dans les Tables du troisième satellite ; M. Wargentin s’est contenté de l’indiquer dans la Préface de ses Tables (Mémoires de la Société d’Upsal, pour l’année 1741), où il dit Multæ etiam observationes satis manifeste indicant tertium æquatione alia indigere cujus fere eadem est quantitas et natura cum æquatione nova primi ; sed quoniam observationes non paucas habeam que eam vel minorem, vel nullam arguant, hujus æquationis in Tabulis nullam habere rationem satius judicavi ; et ailleurs (dans la Dissertation qui est à la tête des observations du second satellite) : In motibus tertii satellitis deprehenditur inæqualitas quædam quæ indicat eum esse retardatum in conjunctionibus, sed acceleratum in oppositionibus secundi ; et plus bas : Est etiam hæc inæqualitas tertii similis inaequalitati supra descriptæ secundi ; ce qui s’accorde parfaitement avec ce que nous avons trouvé dans l’Article précédent. Il est vrai que cette équation a paru à M. Wargentin de la même quantité que celle du premier satellite, au lieu qu’elle n’en est qu’environ les deux tiers, suivant notre Théorie ; mais ce savant Astronome avoue lui-même qu’il ne regarde pas son résultat comme fort exact, l’ayant trouvé quelquefois moindre, et même nul, et que c’est pour cette raison qu’il a cru devoir s’abstenir d’en faire usage dans ses Tables.
LXXIII.
Avant de quitter la formule de l’Article LVI, nous dirons deux mots des termes qui dépendent de
élongation du quatrième satellite au troisième, et dont le plus considérable est celui-ci
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}7124^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{3}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8edf72ce9d0927125433e492671c0a9a6031737)
Supposons d’abord que l’équation qui en provient soit, lorsqu’elle est la plus grande, de
minutes ; on aura
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}7124=m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8da62998714b8a6c6db29cb9448fe265cfc43f)
donc
![{\displaystyle {\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {m}{7124}}=0{,}000140m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db029a1f3dd41d92e67dd74fe5c08f1a9609615)
d’où l’on voit que, pour que
soit au moins
=1,
il faut que la masse du quatrième satellite surpasse de beaucoup celles des trois premiers.
Si l’on veut que la densité de ce satellite soit la même que celle de Jupiter, on trouvera son diamètre
de celui de Jupiter ; et par conséquent le temps qu’il doit employer à entrer dans l’ombre
ce qui, en faisant
est assez conforme au résultat des observations de M. Maraldi.
Cette équation, au reste, supposé qu’elle montât à quelques minutes, ce qui ne serait nullement impossible, mériterait d’autant plus l’attention des Astronomes qu’elle varie beaucoup d’une conjonction à l’autre ; en effet, les révolutions synodiques du troisième et du quatrième satellite étant de
et
on trouve que l’angle
doit augmenter pendant une révolution du troisième de
c’est-à-dire, diminuer de
donc, nommant
l’angle
dans le temps d’une conjonction quelconque de ce satellite, on aura, après
révolutions,
![{\displaystyle u_{4}-u_{3}=\theta -n{\frac {828331}{1447507}}360^{\circ }\quad {\text{et}}\quad 2(u_{4}-u_{3})=2\theta -n{\frac {1656662}{1447507}}360^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86a78a0c7b667548f94ccca91a2b129111eeb38)
d’où
![{\displaystyle \sin 2(u_{4}-u_{3})=\sin \left(2\theta -n{\frac {209155}{1447507}}360^{\circ }\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e0ee493f9a08a03d984c74ab084b638adecabb)
par conséquent la période de cette équation ne sera que de
révolutions, c’est-à-dire, de
révolutions, ce qui fait
à peu
près. Ne serait-ce point là la source de ces inégalités qu’on observe dans les conjonctions du troisième satellite, et qui font des sauts considérables d’une conjonction à l’autre ? C’est une vue que nous proposons aux Astronomes qui s’occupent de la Théorie des satellites.
LXXIV.
Il ne resterait plus qu’à examiner les équations des conjonctions du quatrième satellite, contenues dans la formule de l’Article LVIII ; mais ayant déjà trouvé (Articles LXIII et LXVIII)
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2}=000002417\mathbb {Z} \!^{\upsilon },\quad {\mathfrak {S}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6cf801eeb89379ae3870d4b781ea804c5f2b84)
et
![{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{3}<0000111\mathbb {Z} \!^{\upsilon },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2470ff06c78d4b17f5e4b0d59588b57a120fb8b9)
on verra aisément que les coefficients de-ces équations ne s’étendent point au delà d’un petit nombre de secondes ; ce qui est trop peu de chose pour qu’on doive en tenir compte dans le mouvement de ce satellite, surtout vu l’imperfection qui règne encore dans les Tables de Jupiter.
CHAPITRE IV.
SUITE DU CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER.
LXXV.
Ayant trouvé les premières valeurs de
(Articles XXXVI et suivants), on reprendra les équations de l’Article XXXII ; et après y avoir mis au lieu de
leurs expressions (Articles XXX et suivants), sans négliger les termes de l’ordre
on substituera dans tous les termes de cet ordre les valeurs trouvées de
et l’on aura de nouvelles équations en
plus exactes que celles de l’Article XXXV, et qui s’intégreront encore par la même méthode.
LXXVI.
Soit pour le premier satellite (ces formules s’appliquent également aux trois autres, suivant les remarques des Articles IX et XIII)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} _{1}\ =&g_{1}-2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\\&-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\varkappa _{1}}{1+n\chi _{1}}},\\\mathrm {M} _{1}^{2}=&3\mu _{1}^{2}-2f_{1}-nf_{1}\left[\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right],\\\mathrm {N} _{1}^{2}\,=&\mu _{1}^{2}\\+&nf_{1}\left[\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{1}\right]+2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19467210fa56856575b9089aae3887543eba4d53)
Supposons de plus (Articles XXXVI et XXXVIII)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}=&-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(u_{2}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(u_{2}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(u_{3}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(u_{3}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(u_{4}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(u_{4}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t,\\\\\vartheta _{1}=&{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{2})\sin(u_{2}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(u_{2}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{3})\sin(u_{3}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(u_{3}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{4})\sin(u_{4}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(u_{4}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78349be95eebb4ac7582061c3d05b532638e4cc1)
et faisons
(nous verrons bientôt la raison de ces substitutions). Les équations de l’Article XXXIII se changeront en
celles-ci, dans lesquelles nous avons négligé les termes affectés de
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {G} )&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}-nf_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{2}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{3}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{4}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+n\chi _{2}f_{1}(y_{2}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{3}f_{1}(y_{3}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{4}f_{1}(y_{4}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428f8a5098d6a7326458a08a0a12e2bb9cdc4d1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\sin 2(m-\mu _{1})t\\&+2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+2n\mathrm {K} _{1}f_{1}\mu _{1}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&+2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+2n\mathrm {K} _{1}f_{1}\mu _{1}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\+&2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&-2n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt\\(\mathrm {H} )&\ \ {\frac {dy_{1}}{dt}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {H} _{1}-3n\mu x_{1}^{2}\\&+2n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+2n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+2n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7b674932f7df9e91ae10e02ed886ee088f6581)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-2n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\times {\frac {3}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\&+n\chi _{2}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{3}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{4}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&+n\chi _{2}f_{1}\\&\quad \times \int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{3}f_{1}\\&\quad \times \int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{4}f_{1}\\&\quad \times \int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\+&n\chi _{2}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&n\chi _{3}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&n\chi _{4}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt=0,\\\\(\mathrm {K} )&\ \ {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+2n{\frac {dx_{1}dz_{1}}{dt^{2}}}\\&+n\chi _{2}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{2}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9b6ba2b57fb9f1f76f0db970cf322628040386)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+n\chi _{3}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{3}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+n\chi _{4}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{4}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}z_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\right]\cos 2(m-\mu _{1})t\\-&n\chi _{2}f_{1}z_{2}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\ldots \right]\\-&n\chi _{3}f_{1}z_{3}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\ldots \right]\\-&n\chi _{4}f_{1}z_{4}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\ldots \right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d88b94371888b98f686748553320a5b77ab30e)
LXXVII.
Si l’on rejette dans les équations
et
tous les termes affectés de
comme aussi tous les termes constants qui doivent être nuls par les conditions de l’Article XXXII on a
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}=0,\quad {\frac {dy_{1}}{dt}}+2\mu _{1}x_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05999e4eb7836ce543abfeaf60f6fa6859b696ae)
D’où l’on tire
![{\displaystyle x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca63dfceb2ba290a0d94d98a31900877ddd8dae)
ce qui donne pour
et
les mêmes valeurs que nous avons déjà trouvées (Article LXXV).
La quantité
n’est que le premier terme de l’équation du centre calculée dans une ellipse mobile (Article XXXVIII) ; si l’on voulait avoir le terme suivant, c’est-à-dire celui qui contient le carré de l’excentricité, il n’y aurait qu’à mettre au lieu de
dans les termes
et
des équations
la valeur de
qu’on vient de trouver.
On aurait donc, en négligeant toujours les termes constants,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {M} _{1}x_{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0,\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&+2\mu _{1}x_{1}-3n\mu _{1}{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392c57a2234b1a0919a94af99d7b56a052fc637a)
La première de ces équations donne (Article XXXIV)
![{\displaystyle x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}{\frac {\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})}{3\mathrm {M} _{1}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8edf4de3b399b6df3763cffb57652bfcaa8321)
c’est-à-dire, en mettant au lieu de
et de
leurs valeurs approchées
(Article XLV),
![{\displaystyle x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef02f93db6f3d71d854bd4b36fa4914363a7ebf6)
Donc, substituant cette valeur de
dans la seconde, et l’intégrant ensuite, on aura
![{\displaystyle y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})+n{\frac {5\mu _{1}}{4\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}^{2}\sin 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8eff0b3b46f7b183c0c081c07dceb7e05ad2bc)
Ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs ; mais nous verrons plus bas qu’il y a dans l’équation
d’autres termes qui influent considérablement sur l’équation du centre, et qui empêchent qu’on ne puisse regarder l’expression précédente comme assez exacte, même dans le cas où l’on néglige les quantités de l’ordre
.
Il en faut dire autant de l’expression de la latitude que nous avons déjà trouvée (Article XL) ; mais avant que d’entrer dans cette discussion, il est bon de voir ce que donnent les nouvelles valeurs de
et de
(Article précédent) pour le mouvement des apsides et des nœuds.
§ I. — Premières valeurs du mouvement des apsides et des nœuds des satellites.
LXXVIII.
Nous avons trouvé (Article LXXVI)
![{\displaystyle \mathrm {M} _{1}^{2}=3\mu _{1}^{2}-2f_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e01561c30b56e9cb872be4ba6b9d8ef029b3df)
![{\displaystyle -nf_{1}\left[\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfa6bed0211342415554e018e69fba68bc1f232)
or, on a généralement (Article XXIX)
![{\displaystyle 1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb35dfce80f95c35cf36104262211b7779cf5fc)
d’où
![{\displaystyle f={\frac {\mu ^{2}}{1-ng}}=\mu ^{2}(1+ng),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a6e5cb0ab2db02eddc850f121847ae02fd6ac7)
et par conséquent
![{\displaystyle f_{1}=\mu _{1}^{2}(1+ng_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e364b66064ce1d869043a72c2080e791dab98e47)
donc, négligeant les termes affectés de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1-ng_{1}-n\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})-n\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})-n\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}-{\frac {4}{5}}\varkappa _{1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea2c4b1487ed1a45329824b1f88554ff44e28d7)
Maintenant on a par l’équation
de l’Article LXXVI
![{\displaystyle g_{1}=\mathrm {L} _{1}+2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c658c907f4484d4316623179916dbb05e9a807)
![{\displaystyle +{\frac {1}{1+n\chi _{1}}}\left[\chi _{2}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}-{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28c7b06be6e6b7f5bc95f0ecff9bd00110eb3bd)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}&{\biggl [}1-n\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})\right]{\biggr .}\\&-n\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]-n\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\right]\\&{\biggl .}-{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}-{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}-2n\mathrm {L} _{1}-4\mu _{1}\mathrm {H} _{1}{\biggr ]},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705867c9e505453af778ea09238dd3dbc5d0de1c)
les quantités
devant être déterminées par la condition que les équations
ne renferment aucun terme constant.
Pour remplir ces deux conditions, on supposera que
soit la quantité constante qui entre dans la valeur de
car la valeur de
étant composée de sinus et de cosinus, il est évident que le carré
contiendra nécessairement des termes constants, quoique
n’en contienne point ; de même, soient
les quantités constantes qui entreront dans les valeurs de
on aura donc
![{\displaystyle f_{1}\mathrm {L} -n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)(x_{1}^{2})-{\frac {3}{2}}nf_{1}\left(z_{1}^{2}\right)-nf_{1}^{2}\left(\mathrm {Y} _{1}^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5556df27a993224027054d02bc52b902c0b216)
![{\displaystyle -f_{1}\mathrm {H} _{1}-3n\mu _{1}\left(x_{1}^{2}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91991eaab380eead50917e4ebef5b41e77c8f753)
d’où l’on tirera
et
qui seront de l’ordre de
c’est pourquoi on peut négliger dans la valeur de
les quantités
et
qui seraient de l’ordre ![{\displaystyle n^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4846c73ba44c6ffdc37db7268c4f0d161b88dbe1)
LXXIX.
Donc, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ϐ}}_{1}&=\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})\right]+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6712af6b0fd544cc748be74a8937a1876dda35e)
et de même (Article IX)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ϐ}}_{2}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{2},\\\\{\text{ϐ}}_{3}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1})\right]+\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{2})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{3},\\\\{\text{ϐ}}_{4}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{1})\right]+\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{2})\right]\\&+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{3})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{4},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edff8cbd47eff062631ffe1a2ee9a7aac70b019)
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{1}),\qquad \mathrm {M} _{1}=&\mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{1}\right),\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2}),\qquad \mathrm {M} _{2}=&\mu _{2}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{2}\right)\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbac92face3ce0291f6edb912d0c96e0c4ecb4be)
et ainsi des autres.
Or le mouvement de la ligne des apsides étant au mouvement moyen comme
à
(Article XXXVII), cette ligne avancera pendant une révolution de
d’où l’on connaîtra le mouvement des apsides de tous les satellites.
LXXX.
Pour évaluer en nombres les quantités
il faut commencer par chercher les valeurs des quantités
lesquelles dépendent des quantités
c’est-à-dire des coefficients de la série qui représente la quantité radicale
(Articles XX et suivants).
Soit donc, comme dans cet Article,
![{\displaystyle \left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}=(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos \theta +(\mathrm {C} )\cos 2\theta +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8297f9f0a5667d4f6f8b51c453ccc83bf5ae4d)
on aura, en faisant
et ![{\displaystyle \theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d0de4c768df1c3cb6389030b56eafb37f7c8f7)
![{\displaystyle \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff98c2879fb83b4bdf1c3e6ecd8b8f5d627dac2)
![{\displaystyle a_{2}^{-5}\left[(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+(\mathrm {C} )\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e914f42db0b0082704e715c2485432e94e75112)
donc(Article XXI)
![{\displaystyle \Lambda (a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e91248a9273167d5559a00326025dc49c26dbd)
De même, en faisant
on aura
![{\displaystyle \Lambda (a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98479af51c3c47663bbf766a6f303d5356c0174)
et ainsi de suite ; où l’on remarquera que les quantités réciproques
sont les mêmes que les quantités
(Article XLIII).
Cela posé, on trouvera (Article XXII),
étant égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pi \ \,(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {B} )-2q^{2}(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {D} )-2q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7796f940ba183b15f2197732e3665203be230b9c)
et de là, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {P} \ \,={\frac {q(\mathrm {B} )-q^{2}(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {P} _{1}={\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {P} _{2}={\frac {q(\mathrm {D} )-q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16d9c991359b59805feeebd80e2f6afc744bd4b)
on aura par l’Article XXIV
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\breve {\Pi }}\ \,(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{1}-2q^{3}\mathrm {P} }{2}}-q^{3}\mathrm {A} ,\\&{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{2}-2q^{3}\mathrm {P} _{1}+2q^{2}\mathrm {P} }{2}}-q^{3}\mathrm {B} ,\\&{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{3}-2q^{3}\mathrm {P} _{2}+q^{2}\mathrm {P} _{1}}{2}}-q^{3}\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8e8d6d1a7d02c4ad86e3a7bf04d0f8d584a927)
On trouvera des expressions semblables pour les fonctions
de ![{\displaystyle (a_{1},a_{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cd003d20cae506193b20c6103b7f367d40fb74)
en faisant
De la même manière on trouvera que l’on a,
étant encore égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Pi \ \,(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3ed3f459bb8299ea7de78ea0843e6a1a93af6c)
d’où, en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Q} \ \,={\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {Q} _{1}={\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {Q} _{2}={\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7c35a1184af022a0de61549d8475d4a2407cd9)
on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\breve {\Pi }}\ \,(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{1}-2\mathrm {Q} }{2}}-\mathrm {A} ,\\&{\breve {\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{2}-2\mathrm {Q} _{1}+2q\mathrm {Q} }{2}}-\mathrm {B} ,\\&{\breve {\Pi }}_{2}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{3}-2\mathrm {Q} _{2}+q\mathrm {Q} _{1}}{2}}-\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b6a82c6b77526216a475944b1b5856cafa3e83)
expressions qui serviront aussi pour les quantités
en faisant successivement ![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf7381db46bec50acb1aa5bb3604cf46ca5da6c)
LXXXI.
Ayant donc fait le calcul de ces différentes quantités, j’ai trouvé les valeurs suivantes :
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline &q={\cfrac {a_{1}}{a_{2}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{3}}{a_{4}}}\\\hline (\mathrm {A} )&14{,}494&2{,}654&1{,}366&13{,}856&2{,}198&8{,}288\\\hline (\mathrm {B} )&27{,}331&4{,}095&1{,}399&26{,}083&3{,}179&15{,}144\\\hline (\mathrm {C} )&23{,}754&2{,}544&0{,}550&22{,}646&1{,}850&12{,}400\\\hline (\mathrm {D} )&19{,}323&1{,}157&0{,}515&17{,}547&1{,}185&9{,}402\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \mathrm {P} \,\ &2{,}856&0{,}395&0{,}099&2{,}734&0{,}287&1{,}627\\\hline \mathrm {P} _{1}&5{,}767&0{,}912&0{,}298&5{,}539&0{,}709&3{,}342\\\hline \mathrm {P} _{2}&5{,}268&0{,}639&0{,}186&4{,}783&0{,}541&2{,}972\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \mathrm {Q} \ \,&-5{,}887&-1{,}847&-1{,}199&-5{,}692&-1{,}633&-3{,}985\\\hline \mathrm {Q} _{1}&-10{,}717&-2{,}547&-1{,}031&-10{,}335&-2{,}068&-6{,}909\\\hline \mathrm {Q} _{2}&-9{,}059&-1{,}510&-0{,}336&-8{,}993&-1{,}075&-5{,}423\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1419dbfb8ceef64f30f8d793662185768473efb1)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Pi }}\ &0{,}534&0{,}050&0{,}008&0{,}514&0{,}036&0{,}389\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860bc86ddb5667c86f1d056ee0492158f91ed5e1)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Pi }}\ &4{,}504&2{,}579&2{,}128&4{,}401&2{,}454&3{,}837\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448e5544ad5ad7f496eddf173b2422b6cb6ee991)
LXXXII.
À l’égard des valeurs de
nous les avons données ci-dessus (Article XLVII) àussi bien que celles de
(Article XLIX) ; et pour ce qui est des quantités
(Article XXIX) on aura, en faisant
demi-diamètre de Jupiter, égal à
et mettant pour
leurs valeurs (Article XLVI), on aura, dis-je,
![{\displaystyle n\varkappa _{1}=0{,}03110\nu ,\ \ n\varkappa _{2}=0{,}01234\nu ,\ \ n\varkappa _{3}=0{,}00484\nu ,\ \ n\varkappa _{4}=0{,}00156\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7c2938936ebab56d9d08fea400e1198a7644f4)
la quantité
dépendant de la figure et de la constitution intérieure de Jupiter, comme on l’a vu (Article XVI).
LXXXIII.
Toutes ces substitutions faites, on aura, après avoir remis au lieu de
les quantités
![{\displaystyle {\begin{aligned}n{\text{ϐ}}_{1}=&0{,}982{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}124{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}022{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}012440\nu +0{,}0000003,\\n{\text{ϐ}}_{2}=&1{,}562{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}940{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}090{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}004936\nu +0{,}0000010,\\n{\text{ϐ}}_{3}=&0{,}307{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}467{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}673{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}001936\nu +0{,}0000040,\\n{\text{ϐ}}_{4}=&0{,}050{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}260{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}139{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}000624\nu +0{,}0000222.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4155401596f0c7e323efc60faf562946f8e9d0)
LXXXIV.
Passons maintenant aux formules qui donnent le mouvement des nœuds, et nous trouvons d’abord pour le premier satellite (Article LXXV)
![{\displaystyle \mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}+nf_{1}\left[\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405b0406ea870f985fcc1c3ecb30c75a901fda28)
![{\displaystyle +2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7941b88dcd9f52657126ec6227766fe94fe7679a)
c’est-à-dire, en mettant
au lieu de
et négligeant le terme ![{\displaystyle 2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674b9ccaefea36a91a86a7fd807e834ffa21f0c1)
qui est du second ordre, à cause que
![{\displaystyle \mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a981df9fd3fcfadeb186b26e2a557d2fd5db8e)
est déjà de l’ordre de
(Article LXXVIII),
![{\displaystyle \mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1+n\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+n\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+n\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121a57f92c0219a1d8f358dfacfc1d3a2b7207d8)
donc si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle \varpi _{1}=\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b148749860d875c6d3163bbaa2114e1071ab0d16)
de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varpi _{2}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{2},\\\varpi _{3}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{2})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{3},\\\varpi _{4}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{3})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bba3e13f2f59895fb5fb74db712f7c335528c5)
On aura pour tous les quatre satellites
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1+n\pi _{1}),\qquad &\mathrm {N} _{1}=&\mu _{1}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{1}\right),\\\mathrm {N} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1+n\pi _{2}),&\mathrm {N} _{2}=&\mu _{2}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{2}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bce300dd40e92d6b774745b133a735c4314082)
Pour tirer de là le mouvement des nœuds, on remarquera que
exprime, en général, la longitude moyenne du nœud ascendant (Article XLI) ; d’où il suit que le mouvement de la ligne des nœuds sera au mouvement moyen comme
à
c’est-à-dire, comme
à
par conséquent les nœuds reculeront à chaque révolution de
LXXXV.
Or, on trouvé par l’Article XXXII en faisant successivement ![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d504d1bb86c9e61c23f5f9abb659cab9e7b37fb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1d63244ca8acd120392de2855cff74081ac37e)
ensuite,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})=\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})=\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e896b17cd06ca1e77ed84196dc2713b965048d)
ce qui donne (Article XLVII)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Gamma }}\ &0{,}981&0{,}126&0{,}018&0{,}942&0{,}087&0{,}576\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9813f05b39173a1be864bcfc74e0457d5d1cc57)
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Gamma }}\ &1{,}558&0{,}320&0{,}083&1{,}506&0{,}245&1{,}013\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b80450fb4f43b6f58f412b08c361e29a253ba0a)
LXXXVI.
Donc, faisant ces substitutions, et remettant
au lieu de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}n\varpi _{1}=&0{,}981{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}126{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}018{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}018660\nu +0{,}0000003,\\n\varpi _{2}=&1{,}558{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}942{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}087{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}007404\nu +0{,}0000010,\\n\varpi _{3}=&0{,}320{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}506{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}576{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}002904\nu +0{,}0000040,\\n\varpi _{4}=&0{,}083{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}245{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}013{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}000936\nu +0{,}0000222.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479ea5269457875d21d95272794b3d6c16bfd2ba)
LXXXVII.
Nous avons trouvé (Article LXXVII)
![{\displaystyle x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a7aa4cf949901bfe52ff4b5c10d06be4b5dd8e)
on trouvera de même
![{\displaystyle x_{2}=\varepsilon _{2}\cos(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2}),\quad y_{2}=-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\varepsilon _{2}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3e0036e741f40e0ba90821d496fb20fbffbcef)
et ainsi des autres. Cela posé, si l’on reprend l’équation
de l’Article LXXVI, et qu’on substitue dans le terme
![{\displaystyle n\chi _{2}f_{1}x_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3b2e99f3cd2b2c60b1a2344b47a98d0d37119b)
au lieu de
sa valeur
on verra que la quantité
renfermera un terme de cette forme
[8] ;
lequel étant intégré deviendra
![{\displaystyle {\frac {\cos \left[\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c43d80870e31bd485a75a6da4c20f9daad13f1c)
ainsi le terme
![{\displaystyle n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65cda4235e86efdff3c45b967ea97b2339d840c)
de l’équation différentielle donnera dans la valeur de
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
le terme suivant
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{2}}{2}}{\frac {n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f3522326b164543ac99c7cd94064c1ba6c9a7a)
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}{\frac {\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{1}({\text{ϐ}}_{1}\mu _{1}-{\text{ϐ}}_{2}\mu _{2})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2876df31f2a9539bd859e2a8ebbefbb8d5ac5c6)
lequel appartient, comme on voit, à la première valeur de
Pareillement le terme
![{\displaystyle n\chi _{3}f_{1}x_{3}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2338c072dce716af69cfa66000a90fcf343e052c)
donnera dans la valeur de
le terme
![{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{1}({\text{ϐ}}_{1}\mu _{1}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b7178ef63c82c877bda95a215aaf07940a8639)
et il en sera de même de quelques autres termes de l’équation
dont nous parlerons plus bas.
On trouvera de la même manière dans la valeur de
les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\varepsilon _{1}}{2}}{\frac {\chi _{1}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}\cos \left[\left(\mu _{2}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)t+\omega _{1}\right],\\{\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{2}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf8352128573194e8e7d2d61617712aab407496)
lesquels étant de nouveau substitués dans le terme
![{\displaystyle n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65cda4235e86efdff3c45b967ea97b2339d840c)
de l’équation
en donneront deux autres de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {\varepsilon _{1}}{2}}{\frac {\chi _{1}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)t+\omega _{1}\right],\\&{\frac {1}{2}}n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a55211fca89990c6e6a0da00c778bc39579bd5)
le premier de ces deux termes produira
![{\displaystyle {\Biggl [}{\Biggr .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626861b4ca99ad5474c7cc7c1be833db2a695ba0)
à cause des
![{\displaystyle {\Biggl .}\mu \left(1-{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}\right)=\mathrm {M} {\Biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29917fbb475afd5248f6e5129590b6f737caa758)
dans la valeur de
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308)
un terme qui sera multiplié par l’angle
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
(Article
XXXIV) ; ce qui donnera des arcs de cercle dans le rayon vecteur de l’orbite ; le second y produira le terme
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{3}\mu _{3}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}{\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3c29e4eed90d394aa835760998cd4dcb173a9d)
qui est de la même forme que celui que nous avons déjà trouvé.
Ces termes en reproduiront d’autres dans la valeur de
de la même forme que ceux que nous venons d’examiner, d’où il renaîtra encore dans la valeur de
d’autres termes de même espèce que les précédents, et ainsi de suite à l’infini.
LXXXVIII.
De là je tire ces deux conséquences fort importantes : 1o que les termes dont il s’agit, quoique de l’ordre
dans l’équation différentielle, appartiennent cependant à la première approximation et ne doivent point être négligés dans les premières valeurs de
2o que la méthode ordinaire d’approximation, suivant laquelle on emploie à chaque nouvelle correction les valeurs trouvées dans la correction précédente, est absolument insuffisante pour calculer ces sortes de termes.
On appliquera le même raisonnement à l’équation
et l’on en tirera des conclusions analogues par rapport à la valeur de
.
LXXXIX.
Il est donc nécessaire d’avoir une méthode particulière pour intégrer les équations
on verra dans le paragraphe suivant comment je m’y suis pris pour arriver à ce but ; mais il faut commencer ici par voir quels sont les termes de ces équations, auxquels on doit avoir égard.
Pour peu qu’on examine l’équation (
), on reconnaîtra aisément que les termes dont il s’agit viennent uniquement des termes qui renferment
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,&x_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t,&x_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t,\\y_{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,&y_{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t,&y_{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d6a9a749bf5419fa94346351af89772f8fd068)
![{\displaystyle {\begin{array}{rrr}\int x_{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,&\int x_{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt,&\int x_{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\\\int y_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,&\int y_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt,&\int y_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8baa6c56934a1e16e9d8263afbe78bb8b9eaaa61)
en tant qu’on y substitue
à la place de
de sorte qu’on pourra réduire cette équation à celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {L} )\qquad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+M_{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\mathrm {y} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\mathrm {y} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\mathrm {y} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\int \mathrm {y} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\int \mathrm {y} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\int \mathrm {y} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29232745fbdff5cb09ffb9062f20173e11e390f0)
À l’égard de l’équation (
), on trouvera qu’elle se réduit de même à celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {N} )\qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17313ba9f206a482ef63addc4246d556fbac4513)
XC.
Comme notre dessein n’est pas d’avoir égard dans les valeurs de
et
aux termes de l’ordre
mais seulement à ceux qui ont des coefficients finis, nous pourrons négliger dans les équations
et
tous les termes qui se trouveront affectés de
parce que ces termes seront encore de l’ordre
après l’intégration.
Or les équations
et
donnent, en rejetant les termes affectés de
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,\quad {\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}+2\mu _{1}\mathrm {x} _{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b71c7a2b3b374416cc598bf0b352626258aec3)
d’où l’on tire.
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2a52c0f3210509bf0815dc95bdcf29f84edc03)
et, intégrant,
![{\displaystyle \mathrm {y} _{1}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a0a267d353b4c65b8d9d695592cf64b758889d)
il ne faut point ici de constante, ce qui est évident par la nature de nos formules ; on trouvera de même
![{\displaystyle \mathrm {y} _{2}-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{3}-{\frac {2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{4}-{\frac {2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb688a01fbb1b1768ded9535f475e5e4eb4da70)
donc, substituant ces valeurs de
![{\displaystyle \mathrm {y_{2},y_{3},y_{4}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefd4cb0230917db0d5d1cbc155fb04c4caa0ba2)
dans l’équation
![{\displaystyle (\mathrm {L} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6005652d0693ec86fa7b124773e18f7ded053ff0)
de l’Article précédent, on changera les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\mathrm {y} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\mathrm {y} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\mathrm {y} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2928e5e2d8b768b8395e734cea4db90342507f4d)
en ceux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2nf_{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&2nf_{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&2nf_{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ffef33be4998d9fb381df5f7cd94a7ff202312)
et les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\int \mathrm {y} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\int \mathrm {y} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\int \mathrm {y} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5910103ca7fe09761506a2019d7a272aba9b052)
en ceux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\int {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\int {\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\int {\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c994676f0cdfcc6ee6f1ef03d08f8021033caa38)
que l’on peut encore changer en ceux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69c81c176de76513300d46e771e526968fb6189)
Par ce moyen, l’équation
ne contiendra plus que des termes de la forme de
![{\displaystyle \mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad \int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc48b6db0b47e52fc63d3a3cb36006a00d78a5c)
Je reprends maintenant l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3fc1935f3e0d8d29f3129986fbc6159d7937cd)
laquelle, étant rapportée au second satellite, devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8e72f146fa8d391739b0b3a4c6673bec771f93)
je multiplie cette dernière par
je l’intègre, j’ai
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt+\mathrm {M} _{2}^{2}\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9704938b4d754ae346d28dc0c34a6451416fda)
je change l’expression
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272993954fb3635018b4444b4f6ae6dd3b835af4)
en son équivalente
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375a16e0b46d2c6ade3e843ec747bfb8dff7baa7)
![{\displaystyle -(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,\ \ \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d3477c3114a0c31d18b30edf3eec187ba62878)
et il me vient l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375a16e0b46d2c6ade3e843ec747bfb8dff7baa7)
![{\displaystyle +\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea0afc0ba54e7aa02be6a29764e6c61f709b549)
d’où je tire
![{\displaystyle \int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faeea7c5c7f12fa7a7c5e2664417bfb38811769)
Je trouve, de la même manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}.\\\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94ab65459f73ccebc729c54a518c5dc36e67495)
On fera toutes ces substitutions dans l’équation
moyennant quoi elle n’aura plus que des termes de la forme de
![{\displaystyle \mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08415b4e9657aa1282425e08dc16fbe9e3f64c5)
XCI.
Donc si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+4{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})+4{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3ae1e32fbfe542d2b96a27cc69e335920baf0c)
et de plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+4{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})+4{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860a8238e4632f6f3d2d69fc8bf5cb04a1ac97fc)
on aura, pour le premier satellite, l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{1})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e481d3602ed15ec383196ee807d74c82013e46d6)
et de même pour les trois autres satellites
![{\displaystyle {\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{2})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\\&-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{2})t=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5cdf2d1926091cf3b32bc834c404b1d21e9b377)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{3})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{3}^{2}\mathrm {x} _{3}\\&-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{3})t=0,\\\\(&\mathrm {M} _{4})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{4}^{2}\mathrm {x} _{4}\\&-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{4})t=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd050a6f594662fc6ff1360e71736d90527a0c38)
Pareillement on aura, par rapport aux variables
ces quatre équations (Article LXXXIX)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {N} _{1})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0,\\\\(\mathrm {N} _{2})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{2}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{2}^{2}z_{2}\\&-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1131829d64f3ef7a8987846e44b463d323554008)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {N} _{3})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{2}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{2}^{2}z_{2}\\&-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{3})t=0,\\\\(\mathrm {N} _{4})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{4}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{4}^{2}z_{4}\\&-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{4})t=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ef2963e2c5ef9f95b2ab6ff988bef40dd0303c)
§ III. — Où l’on donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations précédentes.
XCII.
Je fais
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&\mathrm {P} ,\qquad &\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&p,\\\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&\mathrm {Q} ,&\mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&q,\\\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&\mathrm {R} ,&\mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&r,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3962b82e47c2e82584abfe84968ec8cc899d94cd)
d’où je tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea5a7492f4f17780b4a997e76a653249dfea628)
Je substitue ces valeurs dans l’équation
ce qui la change en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\mathrm {P} -nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\mathrm {Q} -nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {dq}{dt}}\\&-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\mathrm {R} -nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9f3b17732143ddf9c0308241f243e9eb29d74e)
C’est l’équation qu’il s’agit maintenant d’intégrer, en regardant les quantités
chacune comme une variable particulière. Pour y parvenir, voici comment je m’y prends.
XCIII.
Je reprends les formules
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea5a7492f4f17780b4a997e76a653249dfea628)
et je trouve de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mu _{2}-\mu _{1})p,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mu _{3}-\mu _{1})q,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(\mu _{4}-\mu _{1})r.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfc16e84f6d54aab90003224e27e614b55cc7a1)
De là je tire, par la différentiation, les formules suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}-2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}p,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\mathrm {P} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}-2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}q,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}+2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\mathrm {Q} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}r,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}+2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ced1645b99f096c5f9a850e0eafd00943cd3a8)
Cela posé, je multiplie d’abord l’équation
par
j’ai
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\left[-1+\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\left[\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t-\sin(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\left[-\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\left[\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t-\sin(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\left[-\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ec6edf86aa2163df25e4ed3bc75ac69f42ce6)
Je ne conserve dans cette équation que les termes analogues à ceux de l’équation
c’est-à-dire, les termes qui, en faisant pour
les substitutions de l’Article LXXXVII, en donneraient d’autres où le coefficient de
serait presque égal à
et qui sont les seuls auxquels nous devions avoir égard dans l’intégration de l’équation de l’Article XCII.
J’aurai donc simplement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1210bfaf24e0f948b1dfde6b95645e0199009f7)
Je substitue au lieu de
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad \mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f9dfde40d2e21630afde1d1f1e3a6bd0a7d494)
leurs valeurs en
j’ai
(1o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}&-2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]p+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]q+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]r+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36759645b19b266c6b21e5d95217f7ac7dabd04)
Je multiplie en second lieu la même équation
par
j’ai
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\left[1+\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\right]\\&+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\ \mathrm {x} _{3}\ \left[\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\left[\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+\sin(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e8e196ae0232a495b7df71f0f5aa21e8e05be2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\ \mathrm {x} _{4}\ \left[\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\left[\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+\sin(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32daa1f22e529c24009ea5426fad641e5ead5045)
équation que je réduis, par la raison que j’ai dite tantôt, à celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02f88bcd36a37c2312de90646d2045f051a366a)
laquelle me donne, après les substitutions,
(2o).
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {dp}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {dq}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b4dc99734f1f793f0c445bd325fa53144721e8)
En troisième lieu, je multiplie l’équation
par
j’aurai, après les réductions et les substitutions,
(3o).
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}&-2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]q+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]p+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]r+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be6925a98bd7cb826d6ffcc6cacde222b49fbf7)
En quatrième lieu, je multiplie la même équation par
et je trouve
(4o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {dq}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729667d9b06492d41dc1e6d48aa4faa9c4ff73f4)
En cinquième lieu, je multiplie l’équation
par
j’ai
(5o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&-2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]r+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]p+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]q+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3304dbd22fd4f4de031d1d4349004f9b7397f2)
En sixième et dernier lieu, je multiplie la même équation par
et je trouve
(6o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {dr}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{4}^{2}+(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {dq}{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0da5f5044229133f0f2bbab51552637870213b)
Voilà, comme on voit, six équations différentielles de la même nature que l’équation de l’Article XCII, et qui, étant combinées avec cette dernière équation, suffiront pour déterminer les sept variables
XCIV.
Pour cet effet, je multiplie l’équation de l’Article XCII par
l’équation (1o) de l’Article précédent par
l’équation (2o) par
l’équation (3o) par
l’équation (4o) par
l’équation (5o) par
l’équation (6o) par
(
et
sont des constantes indéterminées), et après en avoir fait une somme, j’en prends l’intégrale ; j’ai
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\left({\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\alpha _{1}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+\mathrm {A} _{1}{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+\beta _{1}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\mathrm {B} _{1}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}+\gamma _{1}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}+\mathrm {C} _{1}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right)e^{\mathrm {V} _{1}t}dt\\+\int &{\Biggl [}{\frac {n}{2}}\left(\alpha _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})+\beta _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})+\gamma _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}{\Biggr .}\\&\quad +\left(-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2\mathrm {A} _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right){\frac {dp}{dt}}\\&\quad +\left(-2\alpha _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&\quad +\left(-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})+2\mathrm {B} _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right){\frac {dq}{dt}}\\&\quad +\left({\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\beta _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&\quad +\left(-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+2\mathrm {C} _{1}(\mu _{4}-\mu _{1}){\biggr )}{\frac {dr}{dt}}\\&\qquad {\Biggl .}+\left({\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})+2\gamma _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})\right){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}{\Biggr ]}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt\\+\int &{\Biggl [}\left(\mathrm {M} _{1}^{2}-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right)\mathrm {x} _{1}{\Biggr .}\\&\quad +{\Biggl (}\alpha _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]{\Biggr .}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]{\Biggr )}p\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96619c736b69a84406e50f11736f905cb763a3a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad +{\Biggl (}-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\Biggr .}\\&\ \qquad +\mathrm {A} _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]{\Biggr )}\mathrm {P} \\&\quad +{\Biggl (}-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\beta _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]{\Biggr .}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{4}-\mu _{2}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]{\Biggr )}q\\&\quad +{\Biggl (}-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\Biggr .}\\&\ \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\mathrm {B} _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]{\Biggr )}\mathrm {Q} \\&\quad +{\Biggl (}-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]{\Biggr .}\\&\ \qquad {\Biggr .}-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]+\gamma _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]{\Biggr )}r\\\\&\quad +{\biggl (}-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\biggr .}\\&\ \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\\&\ \qquad {\Biggl .}{\biggl .}-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]+\mathrm {C} _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]{\biggr )}\mathrm {R} {\Biggr ]}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e^{{\text{V}}_{1}t}dt=\mathrm {const} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e52f12d42783c00ac254661b1926b51aa4799a3)
XCV.
Cela fait, je transforme les expressions intégrales
![{\displaystyle \int {\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad \int {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02cc94b3640c05ed67ba4270e70db52d11f7055)
en leurs équivalentes
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}-\mathrm {V_{1}x_{1}} \right)e^{{\text{V}}_{1}t}+\mathrm {V} _{1}^{2}\int \mathrm {x} _{1}\varepsilon ^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad \left({\frac {dp}{dt}}-\mathrm {V} _{1}p\right)e^{{\text{V}}_{1}t}+\mathrm {V} _{1}^{2}\int pe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f6aa0083370ba3f263634a46c813aa1a3a3553)
De même je change les expressions
![{\displaystyle \int {\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad \int {\frac {dp}{dt}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710e4cee11ff6a4ba68689fb4fb8c28e1872ca1e)
en celles-ci
![{\displaystyle \mathrm {x} _{1}e^{{\text{V}}_{1}t}-\mathrm {V} _{1}\int \mathrm {x} _{1}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad pe^{{\text{V}}_{1}t}-\mathrm {V} _{1}\int pe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11c2eb24e879fa467908c9c0fa40460e50a2e8d)
Par ce moyen, l’équation se trouve composée de deux parties, l’une finie et l’autre indéfinie, laquelle renferme les quantités intégrales
![{\displaystyle \int \mathrm {x} _{1}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int pe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int \mathrm {P} e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int qe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int \mathrm {Q} e^{{\text{V}}_{1}t}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c335b06c6c285eef6e2ddb2012f7d193a3cb600)
![{\displaystyle \int re^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int \mathrm {R} e^{{\text{V}}_{1}t}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f4a696d79ee96948b155478f17f172a4011e9e)
Je fais les coefficients de ces quantités chacun égal à zéro, ce qui me donne sept équations entre les sept inconnues
et
savoir
(1o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}^{2}&-{\frac {n}{2}}\left[\alpha _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})+\beta _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})+\gamma _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right]\mathrm {V} _{1}\\&\quad +\mathrm {M} _{1}^{2}-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\\&\ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a934218c3d77a4548e828de306b822f1edb782)
(2o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&+\left[nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})-2\mathrm {A} _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {V} _{1}\\&+\alpha _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64395f2267bd6179de2397f0f27f1cf7b20a9aa)
(3o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&-\left[2\alpha _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {V} _{1}\\&\quad -nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]+\mathrm {A} _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\quad -{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c927109f16a49f831de7c6e36810df4a6e3206f6)
(4o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&+\left[nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\mathrm {B} _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {V} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\beta _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b2a7ec4f0b75a51f0e1525b9bcf8eca19848bc)
(5o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&-\left[{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\beta _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {V} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\mathrm {B} _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876d92a3017a24c997a7fcd070d816f90b4d1817)
(6o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&+\left[nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}-2\mathrm {C} _{1}(\mu _{4}-\mu _{1}){\biggr ]}\mathrm {V} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]+\gamma _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf10a0b3a4b582a93da700d564db66fb64ce03f)
(7o)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&-\left[{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})-2\gamma _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})\right]\mathrm {V} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {C} _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32001d012fc63985aa3fbd2863eb868ade3b4373)
Ensuite j’ai l’équation intégrale
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {P} )&{\Biggl [}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\alpha _{1}{\frac {dp}{dt}}+\mathrm {A} _{1}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\beta _{1}{\frac {dq}{dt}}+\mathrm {B} _{1}{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+\gamma _{1}{\frac {dr}{dt}}+\mathrm {C} _{1}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}{\Biggr .}\\+&\left(-\mathrm {V} _{1}+{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right)\mathrm {x} _{1}\\+&\left(-\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2\mathrm {A} _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right)p\\+&\left(-\mathrm {A_{1}V_{1}} -2\alpha _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right)\mathrm {P} \\+&\left(-\beta _{1}\mathrm {V} _{1}-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})+2\mathrm {B} _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})\right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right)q\\+&\left(-\mathrm {B_{1}V_{1}} +{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\beta _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right)\mathrm {Q} \\+&\left(-\gamma _{1}\mathrm {V} _{1}-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+2\mathrm {C} _{1}(\mu _{4}-\mu _{1}){\biggr )}r\\+&{\Biggl .}\left(-\mathrm {C_{1}V_{1}} +{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})+2\gamma _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})\right)\mathrm {R} {\Biggr ]}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e^{\mathrm {V} _{1}t}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1fc3e53723eddf0ad5258695db6c318d5ebc00)
XCVI.
Qu’on multiplie l’équation (2o) par
et qu’on y ajoute l’équation (3o), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {Q} )\ &\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fba76eb3dec0dd744a4e849e59322778edb879)
De même, en multipliant l’équation (4o) par
et y ajoutant l’équation (5o), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {R} )\ &\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]\left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273aba64b475375fccfbef92024743edaf2bd628)
Enfin, multipliant l’équation (6o) par
et y ajoutant l’équation (7o), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {S} )\ &\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]\left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed900c07499ad06b23cee45a4f277a7b29e522)
Chacune de ces trois équations en vaut deux, comme on voit, à cause de l’ambiguïté du signe de
Maintenant, il est visible par l’équation (1o) que, si
était
on aurait
![{\displaystyle \mathrm {V_{1}^{2}+M_{1}^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655d182b94d2b68fa487aa66d01058a4b0f1ef82)
c’est-à-dire, à cause de
(Article LXXIX
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}^{2}+\mu _{1}^{2}=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {V} _{1}^{2}=-\mu _{1}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9f4832a1b543f804d575adcc6fecf2d0e6d998)
Supposons donc, en général,
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}^{2}=-\mu _{1}^{2}(1-nv_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ec668e95b903603db1c031531df91c0169aaab)
et l’équation dont nous parlons se changera en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {T} )\quad \mu _{1}^{2}(v_{1}-{\text{ϐ}}_{1})&-{\frac {1}{2}}f_{2}\chi _{1}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {A} _{1}+{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}\right]\\&-{\frac {1}{2}}f_{3}\chi _{1}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\mathrm {B} _{1}+{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})\beta _{1}\mathrm {V} _{1}\right]\\&-{\frac {1}{2}}f_{4}\chi _{1}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {C} _{1}+{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\gamma _{1}\mathrm {V} _{1}\right]=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b4cb29fc2810127ff99b1a3a23efb568115759)
XCVII.
L’équation
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}^{2}=-\mu _{1}^{2}(1-nv_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d2717922b40e1b1b38d291630deebe388fd390)
donne
![{\displaystyle \mathrm {V} _{1}=\mu _{1}\left(1-{\frac {n}{2}}v_{1}\right){\sqrt {-1}}\,;\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}=-\mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0617a55e97c3b021cb99bb6c9ea06451512a2efd)
donc, substituant cette valeur dans l’équation
aussi bien que celle de
qui est
(Article XXIX), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]^{2}\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&\ \ -\ \ \ nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\\&\ \ -{\frac {1}{2}}nf_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&\ \ -{\frac {1}{2}}nf_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f3dbc511631ed192c33468db22477e2c939571)
Donc :
1o Si l’on prend le signe supérieur, et qu’on néglige les termes affectés de
on aura
![{\displaystyle \left[\mu _{2}^{2}-(\mu _{2}-2\mu _{1})^{2}\right]\left(\mathrm {A} _{1}+\alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cda8d78fa001f56572e604fddbb9f6b254a4f3)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}+\alpha _{1}{\sqrt {-1}}=0\quad {\text{et}}\quad \alpha _{1}{\sqrt {-1}}=-\mathrm {A} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0245541878858f973b345ef0269a7d26a2ea19bd)
2o Si l’on prend le signe inférieur, et qu’après avoir ôté ce qui se détruit on divise toute l’équation par
on aura, en négligeant toujours les termes affectés de
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {V} )\quad \mu _{2}^{2}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}v_{1}-{\text{ϐ}}_{2}\right)&\left(\mathrm {A} _{1}-\alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)-f_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\\-&{\frac {1}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\left(\mathrm {B} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\-&{\frac {1}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\left(\mathrm {C} _{1}-\gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e3e14bb43f66378f0c30ea05588f968f857a98)
On tirera de même de l’équation
![{\displaystyle \beta _{1}{\sqrt {-1}}=-\mathrm {B} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72083155565a51b2ea4186432f93db7b9806fc0f)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {U} )\quad \mu _{3}^{2}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{3}}}v_{1}-{\text{ϐ}}_{3}\right)&\left(\mathrm {B} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)-f_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-\mu _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\\-&{\frac {1}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-\mu _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\left(\mathrm {A} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\-&{\frac {1}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-\mu _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\left(\mathrm {C} _{1}-\gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8481bc5a80e96f3c0542dbd9245c9f65f084f744)
et de l’équation
![{\displaystyle \gamma _{1}{\sqrt {-1}}=-\mathrm {C} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcad1df625b31406463ad78a98bf9a72c4c2198a)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {W} )\quad \mu _{4}^{2}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{4}}}v_{1}-{\text{ϐ}}_{4}\right)&\left(\mathrm {C} _{1}-\gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)-f_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\\-&{\frac {1}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\left(\mathrm {A} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\-&{\frac {1}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\left(\mathrm {B} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6de23b7cb6b913030c82f794648f38f5f19c04a)
XCVIII.
Soit fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\(1,3)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}),\\(2,1)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-\mu _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c8137810ac06a361e777f70052f7ae8cecc3dc)
et ainsi des autres.
Soit de plus
On aura, en faisant ces substitutions dans les équations
et, mettant à la place de
leurs valeurs
les équations suivantes
(X)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}2\mu _{2}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}\right)\mathrm {A} _{1}-f_{1}\chi _{2}(1,2)-f_{3}\chi _{2}(3,2)\mathrm {B} _{1}-f_{4}\chi _{2}(4,2)\mathrm {C} _{1}=0,\\2\mu _{3}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{3}}}-{\text{ϐ}}_{3}\right)\mathrm {B} _{1}-f_{1}\chi _{3}(1,3)-f_{2}\chi _{3}(2,3)\mathrm {A} _{1}-f_{4}\chi _{3}(4,3)\mathrm {C} _{1}=0,\\2\mu _{4}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{4}}}-{\text{ϐ}}_{4}\right)\mathrm {C} _{1}-f_{1}\chi _{4}(1,4)-f_{2}\chi _{4}(2,4)\mathrm {A} _{1}-f_{3}\chi _{4}(3,4)\mathrm {B} _{1}=0,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae0eeb8d1c9623c7e0ef0126492bc3c9c74b6bf3)
d’où l’on tirera facilement les valeurs de ![{\displaystyle \mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fdd1b0e07ebe7fa65b5f571686c52c350b97672)
Or, en négligeant les termes affectés de
on a
(Article précédent) ; donc, puisque
on aura
et de même
Donc l’équation
de l’Article XCVI deviendra, après toutes les substitutions,
(Y)
|
|
|
c’est l’équation qui donnera la valeur de ![{\displaystyle \rho .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae3f23f76f614ab4dc47bfc296699c2be740666)
XCIX.
Soit, pour abréger,
[9],
et ainsi des autres ; les équations
donneront, après avoir mis au lieu de
leurs valeurs approchées
(Article XLV),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&\left[(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} -(1,2)(3,4)(4,3)+(1,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,3)(3,4)(4,2)+(1,4)(3,2)(4,3)+(1,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\\\mathrm {B} _{1}=&\left[(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} +(1,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}+(1,2)(2,3)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,4)(2,3)(4,2)+(1,2)(2,4)(4,3)-(1,3)(2,4)(4,2)\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{3}^{2}}},\\\mathrm {C} _{1}=&\left[(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} +(1,3)(3,4)\mathrm {K} _{2}-(1,4)(2,3)(3,2)\right.\\&\quad +\left.(1,2)(2,3)(3,4)+(1,3)(2,4)(3,2)+(1,2)(2,4)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{4}^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ada2905ea8e868c0b07547fd83d2f9f3e09eb30)
Chacune de ces quantités étant divisée par
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}-(2,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\\&-(2,3)(3,4)(4,2)-(2,4)(3,2)(4,3)-(2,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfa8298914309c27434aa0a9310b2e6c35bb38f)
Ces valeurs étant ensuite substituées dans l’équation
on aura, après les réductions,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {Z} )\ \ \mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K_{1}K_{2}} -(2,4)(4,2)\mathrm {K_{1}K_{3}} -(2,3)(3,2)\mathrm {K_{1}K_{4}} \\&-(4,1)(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} -(3,1)(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} -(2,1)(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} \\&-\left[(2,3)(3,4)(4,2)+(2,4)(3,2)(4,3)\right]\mathrm {K} _{1}\\&-\left[(3,1)(1,4)(4,3)+(4,1)(1,3)(3,4)\right]\mathrm {K} _{2}\\&-\left[(2,1)(1,4)(4,2)+(4,1)(1,2)(2,4)\right]\mathrm {K} _{3}\\&-\left[(2,1)(1,3)(3,2)+(3,1)(1,2)(2,3)\right]\mathrm {K} _{4}\\&+(2,1)(1,2)(3,4)(4,3)-(2,1)(1,3)(3,4)(4,2)\\&-(2,1)(1,4)(3,2)(4,3)-(3,1)(1,4)(2,3)(4,2)\\&-(3,1)(1,2)(2,4)(4,3)+(3,1)(1,3)(2,4)(4,2)\\&+(4,1)(1,4)(2,3)(3,2)-(4,1)(1,2)(2,3)(3,4)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ed2ec15388ec2324464ecc68b42b8a240101d4)
![{\displaystyle -(4,1)(1,3)(2,4)(3,2)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1504320b0621e31f9ed9c151dc6c01ec0599ab2)
équation qui, en remettant au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {K_{1},K_{2}} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59decfc43fc7bc33339b098d5d7a28c2a5c706a5)
leurs valeurs, et ordonnant les termes par rapport à
![{\displaystyle \rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bed314e4bed19299ed16afd79f67ea5c4593c)
montera au quatrième degré, et donnera par conséquent quatre valeurs de
![{\displaystyle \rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12bed314e4bed19299ed16afd79f67ea5c4593c)
que nous dénoterons par
C.
Les calculs que nous venons de flaire dans ce paragraphe n’appartiennent proprement qu’au premier satellite ; mais il est aisé de les appliquer à chacun des trois autres, suivant les remarques faites ailleurs. En effet, pour les appliquer, par exemple, au second satellite, il n’y aura qu’à marquer de deux traits toutes les lettres qui ne sont marquées que d’un seul, et réciproquement ôter un trait à celles qui en ont deux, et ainsi de suite[10] ; ainsi, dans l’équation
il ne faudra qu’échanger entre elles les lettres
et les nombres
Or on verra aisément que cette permutation ne produira aucun changement dans l’équation ; d’où il s’ensuit que les valeurs de
seront les mêmes pour le second satellite que pour le premier. On en dira autant par rapport au troisième et au quatrième, de sorte que l’équation
servira pour tous les quatre satellites, et c’est ce qui fait que cette équation monte au quatrième degré.
CI.
Reprenons maintenant l’équation
de l’Article XCV, et substituons-y, au lieu de
leurs valeurs
(Article XCVII), et au lieu de
sa valeur
(Article XCVII), c’est-à-dire,
à cause de
(Article XCVIII), on aura, en négligeant partout les termes affectés de
excepté dans
![{\displaystyle {\Biggl [}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {dp}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {dq}{dt}}{\sqrt {-1}}\right){\Biggr .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd14a128ecefd55527566cc716cc29af44d50cf)
![{\displaystyle +\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+{\frac {dr}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)-\mu _{1}\mathrm {x} _{1}{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef596ea3d82131cc6ba6686f21a0c04bf5d1811)
![{\displaystyle +\mathrm {A} _{1}(2\mu _{2}-\mu _{1})\left(p-\mathrm {P} {\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {B} _{1}(2\mu _{3}-\mu _{1})\left(q-\mathrm {Q} {\sqrt {-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e588a7e272e65ac59c6fe0fa163d1a3718a229fa)
![{\displaystyle {\Biggl .}+\mathrm {C} _{1}(2\mu _{4}-\mu _{1})\left(r-\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right){\Biggr ]}e^{(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho )t{\sqrt {-1}}}=\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88f15c3447754a630d52a92ad147fcc71a334fc)
c’est-à-dire en mettant au lieu de
![{\displaystyle e^{\left(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho \right)t{\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0717d0e87570e3e372ff6a92e8a8e163c537b256)
sa valeur
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\+\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\+\left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\times {\sqrt {-1}}\\-\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\times {\sqrt {-1}}=\mathrm {const} .,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea20eeb629c4229158590fb60511e1e4293bbbc)
équation qui, à cause du radical
lequel peut avoir indifféremment les signes
ou
se décompose en ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha )\quad \left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\+\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&=\mathrm {D} _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af66a642fc20f8f4c53f4c2d2f33559d0c94e684)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\beta )\quad \left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\-\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&=\mathrm {E} _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d9368472a8f17410fc626f458cb31e23095766)
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd4cf9339aacb8e3ed36741d56640f1f8253853)
et
![{\displaystyle \mathrm {E} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2eaf4a678985fae85a40a611dd1fa1aeaa4bd8b)
étant deux constantes arbitraires que nous déterminerons dans un moment.
On aura donc par là
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\gamma )\quad \mu _{1}\mathrm {x} _{1}&-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\\&-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\\&=\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/149cb432ee874a28600e8c8f4aa7e35a34be550f)
équation qui suffira pour trouver la valeur de
comme on le verra ci-après.
CII.
Soit, lorsque
![{\displaystyle \mathrm {x} _{1}=\mathrm {X} _{1},\quad \mathrm {x} _{2}=\mathrm {X} _{2},\quad \mathrm {x} _{3}=\mathrm {X} _{3},\quad \mathrm {x} _{4}=\mathrm {X} _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33467b9b642d8c53c9e78b830a5f5e6bb436484f)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=\mathrm {Y} _{1},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=\mathrm {Y} _{2},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=\mathrm {Y} _{3},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=\mathrm {Y} _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bb05b47159a0100b65fa49e2a48967465380ca)
On aura (Article XCII)
![{\displaystyle \mathrm {P=X_{2},\quad Q=X_{3},\quad R=X_{4}} ,\quad p=0,\quad q=0,\quad r=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541f58b365ff7f2f3b49f785c848a495d7d80127)
ensuite
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=\mathrm {Y} _{2},\quad {\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=\mathrm {Y} _{3},\quad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {Y} _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1bd6a403f542672715c7e51a902bf7305f3d8b)
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {X} _{2},\quad {\frac {dq}{dt}}=(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {X} _{3},\quad {\frac {dr}{dt}}=(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {X} _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398b54c3c3ef2efe18b627992b63dfe3b4298b07)
Donc, substituant ces valeurs dans les équations
et
et faisant
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {D_{1}=Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4}} ,\\&\mathrm {E_{1}\ =-\left(\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4}\right)} .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876513935e3cbeda448e8dffe9df02cf2d87f20a)
CIII.
Soit maintenant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P=(P)} ,\quad {\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q=(Q)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d773209e15745d245b579202e984c4d848eef424)
![{\displaystyle {\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R=(R)} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac61983b542c5295be223a411adf6f7c4b83eb0)
l’équation
![{\displaystyle (\gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60be0c625dd26ad57a3a125b65ce0c25fe860492)
deviendra
![{\displaystyle \mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A_{1}(P)-B_{1}(Q)-C_{1}(R)} =\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392b84306c403888f512fd96a1386b427fc13413)
Substituons successivement, dans cette équation, au lieu de
ses quatre valeurs
(Article XCIX), on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A'_{1}\ (P)-B'_{1}\ (Q)-C'_{1}\ (R)} =&\mathrm {D} '_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\,\right)t-\mathrm {E} '_{1}\ \,\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A''_{1}\,(P)-B''_{1}\,(Q)-C''_{1}\ (R)} =&\mathrm {D} ''_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t-\mathrm {E} ''_{1}\ \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A'''_{1}(P)-B'''_{1}(Q)-C'''_{1}(R)} =&\mathrm {D} '''_{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t-\mathrm {E} '''_{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(P)-B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(Q)-C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(R)} =&\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t-\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9502618ee2bc76c17ad2e13f3b5e8532f78fd415)
étant ce que deviennent les quantités
lorsque
devient ![{\displaystyle \rho ',\rho '',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94e261f2fabc5c492fca9175bca59d913701364)
Donc, éliminant de ces quatre équations les trois inconnues ![{\displaystyle \mathrm {(P),(Q)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe586fb3a2ad572c47c390a8cc2bd7dcb003cb3)
on aura la valeur de
.
CIV.
Pour cet effet, je multiplie la seconde équation par
la troisième par
la quatrième par
(
étant de nouvelles indéterminées) ; après quoi je les ajoute toutes quatre ensemble, et je fais évanouir séparément chacun des coefficients de
j’ai
![{\displaystyle (\delta )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'_{1}+\alpha _{1}A''_{1}+\beta _{1}A'''_{1}+\gamma _{1}A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\\\mathrm {B'_{1}+\,\alpha _{1}B''_{1}+\beta _{1}B'''_{1}+\gamma _{1}B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\\\mathrm {C'_{1}+\alpha _{1}C''_{1}+\beta _{1}C'''_{1}+\gamma _{1}C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec380d487566b8e8342c2ea17dc2c4aa9f1ee0d)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {x} _{1}=\\&\quad {\frac {\mathrm {D} '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \,\right)-{\frac {\mathrm {E} '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \,\right)t\\&+{\frac {\alpha _{1}\mathrm {D} ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\,\right)-{\frac {\alpha _{1}\mathrm {E} ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t\\&+{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)-{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t\\&+{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)-{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff6dd52f7897bb243489a561bbc7c8bcfefadb9)
CV.
On peut simplifier cette expression de
en supposant, en général,
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}=-\delta _{1}\sin \omega _{1},\quad \mathrm {E} _{1}=-\delta _{1}\cos \omega _{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16dfec5e72092319028173cb9a4ecbc058aa515)
ce qui donne
![{\displaystyle \delta _{1}=\mathrm {\sqrt {D_{1}^{2}+E_{1}^{2}}} ,\quad \operatorname {tang} \omega _{1}=\mathrm {\frac {D_{1}}{E_{1}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6041f0141faadf523f1983dd25b903f9a57ce0b1)
savoir
![{\displaystyle \delta =\mathrm {\sqrt {(Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4})^{2}+(\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4})^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ccc800bc69f550b23af599b8c32937aed605124)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \omega =-\mathrm {\frac {Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4}}{\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9228ba87f174885ad6e19a981825fb7c3a50cf)
Par ce moyen, on aura
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t=\delta _{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t+\omega _{1}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f7bebd2f8339433f4ca6b96a78ac6fe8fc74eb)
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {D} '_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t-\mathrm {E} '_{1}\ \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t=&\delta '_{1}\,\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\,\right],\\\mathrm {D} ''_{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t-\mathrm {E} ''_{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t=&\delta ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d807426148fdc95f77b39b80cd39efb9fcfb1106)
et ainsi de suite.
Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\varepsilon '_{1}=&{\frac {\delta '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\varepsilon ''_{1}=&{\frac {\alpha _{1}\delta ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\varepsilon '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35ce106803599ead1831280e332eebc948803db)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}&=\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \ \right)t+\omega '_{1}\ \right]+\varepsilon ''_{1}\ \cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e45f2297b39144e46ae2ab9d82446fe8fb0266a)
CVI.
Scolie. — À l’égard des valeurs de
on les trouvera aisément par résolution des équations mais on pourrait encore se servir d’une autre méthode assez simple, que j’exposerai ici en peu de mots.
Qu’on multiplie la seconde de ces équations par
et la troisième par
(
et
étant deux indéterminées), et qu’on les ajoute toutes ensemble, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '_{1}+b\mathrm {B} '_{1}+c\mathrm {C} '_{1}+(\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {B} ''_{1}+c\mathrm {C} ''_{1})\alpha _{1}&+(\mathrm {A} '''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {C} '''_{1})\beta _{1}\\&+\left(\mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+b\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+c\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\gamma _{1}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e90f4ddf6394480aa30e51f683967027df0b42)
Or, pour avoir la valeur de
, on fera
![{\displaystyle \mathrm {A} '''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {C} '''_{1}=0,\quad \mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+b\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+c\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f21dd94c85a5bc558e3fc7557464b5e23e6c2b3)
et l’on aura
![{\displaystyle \alpha _{1}=-{\frac {\mathrm {A} '_{1}+b\mathrm {B} '_{1}+c\mathrm {C} '_{1}}{\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {B} ''_{1}+c\mathrm {C} ''_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714f42c38199949cf4eb24946e72d725709c6de3)
.
Les quantités
et
doivent donc être telles, que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}+b\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181cb8100dbb7d1d12c7d15b3296e7cc05ba5367)
,
en mettant successivement, au lieu de
et
.
Or l’équation
![{\displaystyle \mathrm {A} _{1}+b\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a940d743675c0853b0dcaa5f238db7841025b4)
si l’on y substitue les valeurs de
(Article XCIX) et qu’on l’ordonne par rapport à
sera de cette forme
![{\displaystyle \rho ^{2}-\mathrm {M\rho +N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfcbe7c4d3fe487707eb59d0391954c70cccfb7)
dont les racines devront être
et
c’est pourquoi on aura
et
d’où l’on tirera
et
on trouvera de la même manière les valeurs de
et de ![{\displaystyle \gamma _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc43450526f36601407890110d88b76d20af155d)
CVII.
Ayant trouvé la valeur de
on trouvera celle de
par l’équation
de l’Article LXXVI.
On aura donc, en négligeant les termes affectés de
[11],
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \ \right)t+\omega '_{1}\ \right]-2\varepsilon ''_{1}\ \cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t+\omega ''_{1}\right]\\&-2\varepsilon '''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]-2\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37e031cec7163e16747bb33923d552ffd826509)
CVIII.
On aura des expressions semblables pour les valeurs de
(voyez la remarque de l’Article C).
CIX.
Pour peu qu’on examine ces valeurs de
et de
on verra aisément qu’elles renferment, pour ainsi dire, quatre équations du centre prises dans des ellipses mobiles, dont les excentricités seraient
et les anomalies moyennes
![{\displaystyle \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega ',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega '',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega ''',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4a003000f0176ee3f01bf6b2407aedc9e5390e)
d’où l’on voit que les mouvements de ces anomalies seront au mouvement moyen du satellite comme
et
à
par conséquent les apsides avanceront de
![{\displaystyle {\frac {n}{2}}{\frac {\rho '}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho ''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho '''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}.360^{\circ }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47ef5b6aa6d024f482891a929fb6b7d19c64979)
à chaque révolution du satellite.
On pourrait, par la méthode de l’Article III, réduire ces quatre équations à une seule, dans laquelle l’excentricité serait variable et le mouvement des apsides non uniforme ; mais je crois qu’il est plus commode de les laisser sous leur forme naturelle.
CX.
On suivra une méthode analogue pour trouver la valeur de
au moyen des équations
de l’Article XCI. Mais, sans entrer dans de nouveaux calculs à cet égard, il suffire de remarquer que les équations dont nous parlons peuvent se déduire des équations ![{\displaystyle \mathrm {(M_{1})} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/862b86a2dc4f631761b37761bf70ccc23a9af5e7)
en changeant
en
,
en
en
et supposant nulles toutes les quantités marquées par la lettre
d’où il s’ensuit :
1o Que si l’on fait (Article XCVIII)
![{\displaystyle (1,2)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\quad (1,3)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\quad (2,1)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a77c52fede692f2ea620666cbb5cb88c5ecc67f)
ensuite
![{\displaystyle \mathrm {K} _{1}=-2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{1}}}-\pi _{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=-2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{2}}}-\pi _{2}}{\chi _{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8c22e416be8d4b68a7818109c0d0413bbd0b63)
on aura pour
les mêmes expressions que dans l’Article XCIX, et la valeur de
devra se déterminer au moyen de l’équation ![{\displaystyle (\mathrm {Z} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8dfa7414a348a65307f3896e45b5e0d0827360)
2o Que si l’on suppose, lorsque
![{\displaystyle z_{1}=\mathrm {Z} _{1},\quad z_{2}=\mathrm {Z} _{2},\quad z_{3}=\mathrm {Z} _{3},\quad z_{4}=\mathrm {Z} _{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa9e9a5c412f6349d79ef3680b81f351e4b0714)
![{\displaystyle {\frac {dz_{1}}{dt}}=\mathrm {V} _{1},\quad {\frac {dz_{2}}{dt}}=\mathrm {V} _{2},\quad {\frac {dz_{3}}{dt}}=\mathrm {V} _{3},\quad {\frac {dz_{4}}{dt}}=\mathrm {V} _{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b07b7e06f2372cf01fccd9c582021e5d7e7891)
et qu’on fasse
![{\displaystyle \chi _{1}=\mathrm {\sqrt {(V_{1}+A_{1}V_{2}+B_{1}V_{3}+C_{1}V_{4})^{2}+(\mu _{1}Z_{1}+A_{1}\mu _{2}Z_{2}+B_{1}\mu _{3}Z_{3}+C_{1}\mu _{4}Z_{4})^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614346c402fe9c4c4038b5a2335e00f7156fa870)
![{\displaystyle \cot \eta _{1}=\mathrm {\frac {V_{1}+A_{1}V_{2}+B_{1}V_{3}+C_{1}V_{4}}{\mu _{1}Z_{1}+A_{1}\mu _{2}Z_{2}+B_{1}\mu _{3}Z_{3}+C_{1}\mu _{4}Z_{4}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c952263340874a21c6d1fcb4c19faeea9865c33)
ensuite
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lambda '_{1}\ =&{\frac {\chi '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\lambda ''_{1}\,=&{\frac {\alpha _{1}\chi ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\lambda '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\chi '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\lambda _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\chi _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3fc32f6c236baad056988e24126b5675847ce22)
les quantités
étant déterminées par les équations
de l’Article CIV, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=\lambda _{1}'\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma '\ \,\right)t+\eta '_{1}\ \right]+\lambda ''_{1}\,\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\,\right)t+\eta ''_{1}\,\right]\\&+\lambda _{1}'''\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma '''\right)t+\eta '''_{1}\right]+\lambda _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\eta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292db1a20d7d86c15cbee47f851b7e5e870f16c3)
et ainsi des autres quantités ![{\displaystyle z_{2},z_{3},z_{4},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a428cb7bcfd8d23fb3b7f3168670dc274f88d124)
CXI.
Cette expression de
est composée, comme l’on voit, de quatre termes, chacun analogue à l’expression de
trouvée dans l’Article XL, laquelle donne un plan mobile dont l’inclinaison est constante ; donc, pour trouver la position de l’orbite d’un satellite quelconque, il n’y aura qu’à imaginer quatre plans passant par le centre de Jupiter, dont le premier se meuve sur celui de l’orbite de cette Planète, en gardant toujours avec lui la même inclinaison ; le second se meuve de la même manière sur le premier le troisième sur le second, et enfin le quatrième, qui sera celui de l’orbite du satellite, se meuve pareillement sur le troisième. Ainsi les quantités
seront les tangentes des inclinaisons du premier plan sur celui de Jupiter, du second sur le premier, du troisième sur le second et du quatrième sur le troisième, et les angles
![{\displaystyle \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta ',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta '',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma '''\right)t+\eta ''',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\eta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a03ea3bfed60df23575e6ea3902e607c948a780)
seront les distances du satellite aux nœuds du premier plan avec celui de
du second avec le premier, du troisième avec le second et du quatrième avec le troisième ; d’où l’on voit que les nœuds de ces quatre plans rétrograderont pendant une révolution du satellite de
![{\displaystyle {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma '}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma ''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma '''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}.360^{\circ }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5408b84685ea15b9a7fa2b08270be7f52cb03c21)
Si l’on voulait connaître directement la position du plan de l’orbite du satellite par rapport à celui de l’orbite de Jupiter, on y parviendrait par la méthode de l’Article III ; car, nommant
la tangente de l’inclinaison et
la distance du satellite au nœud ascendant, on aurait
![{\displaystyle n\tau ={\sqrt {n^{2}z^{2}+{\frac {n^{2}dz^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} \psi ={\frac {nzd\varphi }{ndz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df96835fc106059f4c45134b6a3b707a08419c77)
savoir, à cause de ![{\displaystyle \varphi =\mu t+ny,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87dae7a661d2d0880df0dc28609296dd751557b3)
![{\displaystyle \tau ={\sqrt {z^{2}+{\frac {dz^{2}}{\mu ^{2}dt^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} \psi ={\frac {\mu zdt}{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bd47434632f996f89a31380ab016901102f77f)
d’où l’on tire, par les logarithmes,
![{\displaystyle \psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left[\log \left({\frac {dz}{\mu dt}}+z{\sqrt {-1}}\right)-\log \left({\frac {dz}{\mu dt}}-z{\sqrt {-1}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1592e7e2b454362c5d7d18aa2b757471eaf0998c)
expression dans laquelle les imaginaires se détruiront mutuellement.
mais qu’il sera difficile, peut-être impossible, de réduire à une forme finie. Ainsi je crois qu’il vaudra mieux s’en tenir à la formule de l’Article
CIX.
CXII.
Telles sont les premières valeurs des variables
dans lesquelles on a négligé les quantités de l’ordre de
Si l’on veut y avoir égard, il n’y a qu’à substituer ces mêmes valeurs dans les équations de l’Article LXXVI, et les intégrer ensuite par la méthode ordinaire (Article XXXIV).
Nous n’entrerons point dans ce détail, qui n’a d’autre difficulté que la longueur du calcul, et qui d’ailleurs ne paraît guère nécessaire dans la Théorie des satellites.
Il y a cependant encore quelques termes des équations
et
de l’Article LXXVI auxquels il ne serait peut-être pas inutile d’avoir égard ; ce sont ceux qui viennent de l’action du Soleil, et qui renferment les quantités
multipliées par
ou par
car, en substituant au lieu de ces quantités leurs valeurs trouvées ci-dessus, on aura, à cause de
très-petit (Article XLVIII), des termes qui augmenteront beaucoup par l’intégration, et qui appartiendront aussi en quelque manière à la première approximation ; je dis en quelque maniére, parce que ces termes, quoique fort augmentés par l’intégration, se trouveront encore assez petits par rapport à ceux que nous avons trouvés jusqu’ici.
En effet les termes dont il s’agit étant tous multipliés par
(Article XLIX), et devant être divisés par des quantités de l’ordre de
et de
seront encore après l’intégration de l’ordre de
et par conséquent très-petits. C’est là la raison pour laquelle nous n’avons point eu d’égard à ces sortes de termes dans les calculs précédents ; d’autant plus que notre objet principal est de déterminer les inégalités des satellites causées par leur action mutuelle, conformément au Programme de l’Académie. Je pourrai peut-être dans une autre occasion reprendre plus au long ces recherches.
CXIII.
Remarque I. — Nous avons vu que les quantités
et
dépendent de deux équations du quatrième degré (Articles XCIX et CX). Or il peut arriver deux cas qu’il est bon d’examiner. Le premier est celui où ces équations auraient des racines égales ; le second, celui où elles auraient des racines-imaginaires.
Voyons donc ce qu’il faudra faire dans ces deux cas
1o Supposons que deux quelconques des valeurs de
soient égales entre elles, par exemple
On fera
étant une quantité évanouissante, et l’on aura (Article XCIX)
![{\displaystyle \mathrm {A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=A'''_{1}F} i,\quad \mathrm {B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=B'''_{1}G} i,\quad \mathrm {C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=C'''_{1}H} i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23b500fb507bd1e5001a138708a14a25385be0f)
étant les coefficients de
dans les différentielles de ![{\displaystyle \mathrm {A'''_{1},B'''_{1},C'''_{1}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab0935fee4b219790273532880b06e78986b937)
Donc les équations
de l’Article CIV deviendront, en faisant
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} '_{1}+a\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {A} '''_{1}+c\mathrm {F} =&0,\\\mathrm {B} '_{1}+a\mathrm {B} ''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {G} =&0,\\\mathrm {C} '_{1}+a\mathrm {C} ''_{1}+b\mathrm {C} '''_{1}+c\mathrm {H} =&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637ad9b9a0abe2d89930717c1e62a4795fcfa340)
d’où l’on tirera
et ![{\displaystyle c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b8d90daa52ffa8e5988459b6f10ef4d64ee5da)
On aura de même (Article CIV)
![{\displaystyle \delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\delta '''_{1}+\Delta i\quad {\text{et}}\quad \omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\omega '''_{1}+\Omega i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430848de952921c29a8e038773c63f5e66cf509f)
et
étant pareillement les coefficients de
dans la différentiation de
et ![{\displaystyle \omega '''_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f2d80a5406fa82fb193ea41a02ce8a8fbb8b137)
Donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos &\left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]\\&=\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+i\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31461e409efbfcafb904bf060558f0820b5d35f)
Donc les termes
![{\displaystyle \varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8f6d7ad38881047233b5a4d6494a4c99b6b598)
de la valeur de
(Article CIV) se changeront en
![{\displaystyle \left(\varepsilon '''_{1}+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c03f9fb498cafbe56adfcf50931f0279c2f24f6)
![{\displaystyle +\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}i\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98326fbb6707ba4fff22f41a924dbe061fd13b3)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon '''_{1}+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {(\beta _{1}+\gamma _{1})\delta '''_{1}+\Delta \gamma _{1}i}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}={\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}},\\\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}i=&{\frac {\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\gamma _{1}i}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}={\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e758666af6fb0fb2d86a201207a0ceb142c9b9)
Donc la valeur de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}=&\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]+\varepsilon ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+{\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]\\&+{\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbda1cc61c848f32ef4625bfb7fa4ef448b784f6)
Par conséquent celle de
sera (Article CVII), en négligeant les termes de l’ordre de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]-2\varepsilon ''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\&-2{\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]\\&-2{\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3b092214e3911b67a83d0d9a02ba339762101b)
De là on voit que les valeurs de
et de
contiendront dans ce cas un terme multiplié par l’angle
lequel donnera par conséquent une équation dont la valeur ira toujours en augmentant.
On résoudra de la même manière le cas de trois racines égales, et l’on trouvera pour lors dans les valeurs de
et de
des termes qui contiendront l’angle
avec son carré
et ainsi de suite, s’il y avait quatre racines égales.
2o Soient maintenant
et
imaginaires ; on les mettra d’abord (ce qui est toujours possible comme on sait) sous cette forme
![{\displaystyle \rho '''=p+q{\sqrt {-1}},\quad \rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=p-q{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b6ed3bec63aa824e12cc5e9c7a7a6665baabe1)
et
étant des quantités réelles ; moyennant quoi les quantités
se rarnèneront à la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} '''_{1}=&\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {B} '''_{1}=&\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {C} '''_{1}=&\mathrm {T+V} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {T-V} {\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09875213129482cd27dcb402998a377513eb6153)
Faisant, ces substitutions dans les équations
et supposant
les imaginaires disparaîtront, de sorte qu’on aura pour
des valeurs réelles ; donc les quantités
seront encore de cette forme
![{\displaystyle \beta _{1}=b+c{\sqrt {-1}},\quad \gamma _{1}=b-c{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052b039aab25b784830bcca3c241bf5ee106c32b)
De plus, on verra par l’Article CII que les quantités
seront aussi de la forme
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {D} '''_{1}=&\mathrm {F+G} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {F-G} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {E} '''_{1}=&f+g{\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&f-g{\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6064169c7b3d9bcf05b3834c631f609bb96e5683)
Donc on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&\mathrm {H+L} {\sqrt {-1}},\quad &{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&\mathrm {H-L} {\sqrt {-1}},\\{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&h+l{\sqrt {-1}},&{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&h-l{\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966916a013b9c3dc341c2055350301b13479b892)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin &\left[\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\left(p\pm q{\sqrt {-1}}\right)\right]t\\&=\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\mp \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74fbfaa2dbd7980f00fb9aa609cca7c5efce3bb)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos &\left[\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\left(p\pm q{\sqrt {-1}}\right)\right]t\\&=\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\pm \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ea6ed89ee41bb5e6123df30ae4d09f480f3ca2)
Donc les termes
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t&-{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t\\{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t&-{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3047578a748205f536a3c75d88719e003cb870f2)
de la valeur de
(Article CIV) se changeront en
![{\displaystyle {\begin{aligned}2&\left[\mathrm {H} \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t-h\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right]\cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\\-2&\left[\mathrm {L} \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+l\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right]\sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04dbf25a64f9d1f006578fc86f01816700b6a00)
c’est-à-dire, en mettant au lieu de
et
leurs valeurs exponentielles ![{\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {n}{2}}qt}+e^{{\frac {n}{2}}qt}}{2}},\ {\frac {e^{-{\frac {n}{2}}qt}-e^{{\frac {n}{2}}qt}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a42affa96f4da1cb211fb9c814b8674b889517)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-{\frac {n}{2}}qt}&\left[(\mathrm {H} -l)\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+(\mathrm {L} +h))\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right]\\+e^{-qt}&\left[(\mathrm {H} +l)\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t-(\mathrm {L} -h))\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5924ee2194ffbc5afefd7307a84da45e20e305)
expressions qui peuvent encore se changer en celles-ci
![{\displaystyle {\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]+{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d0c9cd16912500bc5e710ec2a9998932a050d2)
en faisant
![{\displaystyle \mathrm {H} -l=-{\overset {\smile }{\varepsilon }}\sin {\overset {\smile }{\omega }},\quad \mathrm {L} +h={\overset {\smile }{\varepsilon }}\cos {\overset {\smile }{\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ce2cb8b9610a5ceee55ab2153bbe6b3fe97ea7)
![{\displaystyle \mathrm {H} +l=-{\overset {\frown }{\varepsilon }}\sin {\overset {\frown }{\omega }},\quad h-\mathrm {L} ={\overset {\frown }{\varepsilon }}\cos {\overset {\frown }{\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3877b9553918899f06bb693e0437f5f4cf1a8ab9)
On mettra donc ces termes au lieu des termes
![{\displaystyle \varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8f6d7ad38881047233b5a4d6494a4c99b6b598)
de la valeur de
de l’Article CIV, et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}=&\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]+\varepsilon ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\\\&+{\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]+{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89922d3b10741169ab4dca951e7ec180275c0ea3)
d’où l’on tire (Article XC)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]-2\varepsilon ''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\\\&-2{\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]-2{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e268c0133ede6639f9f189ee80e4261336789c)
Ainsi, dans ce cas, les valeurs de
et de
contiendront deux termes, l’un multiplié par
et l’autre par
lesquels donneront dans le mouvement des satellites deux équations, dont l’une ira toujours en augmentant et l’autre ira en diminuant.
Si les valeurs de
étaient toutes quatre imaginaires, on ferait sur les deux premiers termes de l’expression de
(Article CIII) les mêmes raisonnements et les mêmes réductions que nous venons de faire sur les deux autres.
On en dira autant des valeurs de
lesquelles sont entièrement analogues à celles de
(Article CIX) ; de sorte que, si l’équation en avait des racines égales ou imaginaires, les latitudes des satellites se trouveraient sujettes à des variations qui augmenteraient de plus en plus.
CXIV.
Remarque II. — À l’égard des quantités
il faudra les déterminer par le moyen des observations ; mais il y a là-dessus une remarque importante à faire c’est que, comme il n’y a proprement que les huit quantités
qui soient absolument arbitraires (Article CII), et que les quantités dont nous parlons sont au nombre de
on aura
conditions à vérifier.
Il en est de même des quantités
(Article CX).
CXV.
Scolie. — Nous avons déjà donné les valeurs de
(Article LXXXII) aussi bien que celles de
(Article LXXXVI).
Ainsi, pour avoir les valeurs de
et de
il ne s’agira plus que de trouver les valeurs numériques des coefficients de l’équation
(Article XCIX) dans les deux cas (Articles XCVIII, CIX).
Premier Cas.
Suivant les formules de l’Article XCVIII, on a
![{\displaystyle (1,2)={\overset {\circ }{\Psi }}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}(a_{1},a_{2})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab563aeeaf0185666d5dd23d073ddbb822e0320)
donc, faisant les substitutions de l’Article XCI, et mettant partout
au lieu de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,2)=&{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&-\left(2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right){\frac {\mu _{1}(2\mu _{2}-\mu _{1})}{\mu _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746becd4e1e455069ab4ecdae296a104469ebdd4)
ce qui se réduit à
![{\displaystyle (1,2)={\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})-2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be253a2a78e7223e8ae5f10c1b73b48d28c31f00)
On trouvera de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1,3)=&{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+2{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})-2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-4{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\(2,1)=&{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})+2{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})-2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-4{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3f4306a1a2a8aa7cf31e81c1e33f458d29123e)
et ainsi des autres.
Or nous avons déjà donné les valeurs des quantités
et
(Article XLVII) ; il ne reste plus qu’à chercher celles de
et de
Pour cela, il faut auparavant chercher les valeurs des quantités
et
Or, en faisant
on trouve (Article XXII), à cause de
(Article LXXX),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \ (a_{1},a_{2})=&{\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6248e8f8ce05db15ff68f1b6007ab177468c1cb)
et de même, à cause de
(Article LXXX),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \ (a_{2},a_{1})=&{\frac {q(\mathrm {B} )-2q^{2}(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{1}(a_{2},a_{1})=&{\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{2}(a_{2},a_{1})=&{\frac {q(\mathrm {D} )-2q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799ad6b4aa2dc1694b818d6ecd43dd9ccead7dfd)
Donc (Article LXXX)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Psi (a_{1},a_{2})=\Pi (a_{2},a_{1}),\qquad &\Psi _{1}(a_{1},a_{2})=\Pi _{1}(a_{2},a_{1}),\ldots ,\\\Psi (a_{2},a_{1})=\Pi (a_{1},a_{2}),\qquad &\Psi _{1}(a_{2},a_{1})=\Pi _{1}(a_{1},a_{2}),\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84133b2dac855f4a9e0b811363b1d0cf2fe4e910)
c’est-à-dire, que les quantités
sont les réciproques des quantités ![{\displaystyle \Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258cc515d57db2d995c29082014a55edfe602396)
On aura donc (Article XXIV)
![{\displaystyle {\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {Q} _{2}-2q^{3}\mathrm {Q} _{1}+2q^{2}\mathrm {Q} }{2}}+{\frac {q^{2}\mathrm {C} +2q^{2}\mathrm {A} }{2}}+2q^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982da62df8f5bc9c2f21a9ec1a0e7350db35250d)
expression qui servira aussi pour les quantités analogues
en faisant successivement
![{\displaystyle q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c522ec343941ddda1301827f9cb340a45ecc67)
Ensuite on aura, pour les quantités réciproques,
![{\displaystyle {\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {P} _{2}-2\mathrm {P} _{1}+2q\mathrm {P} }{2}}+{\frac {q\mathrm {C} +2q\mathrm {A} }{2}}+{\frac {2}{q^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c146b0f4bf19fae322193c843e204efd261a8268)
et ainsi des autres.
Pareillement on trouvera (Article XXV)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {q^{2}\mathrm {Q} _{2}-2q^{2}\mathrm {Q} }{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})-3q^{2},\\{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})=&3{\frac {q\mathrm {Q} _{2}-2q\mathrm {Q} }{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})-{\frac {3}{q^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7746d4a11a1ad47bbca08d2249d3ef588d3fc137)
et ainsi des autres.
De là on tire, en employant les valeurs de la Table de l’Article LXXXI
![{\displaystyle {\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Psi }}_{1}&-1{,}708&-0{,}181&-0{,}008&-1{,}733&-0{,}132&-0{,}887\\\hline \ {\widehat {\Psi }}_{1}&0{,}366&0{,}068&0{,}003&0{,}153&0{,}036&0{,}214\\\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Psi }}_{1}&1{,}203&11{,}699&29{,}330&1{,}580&14{,}871&3{,}489\\\hline \ {\widehat {\Psi }}_{1}&-6{,}181&-13{,}371&-40{,}052&-6{,}500&-16{,}188&-7{,}089\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa1e3543460780a2c4dfa3e1dcddfb5c952f18c)
ensuite
![{\displaystyle {\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|}\hline (1,2)&(1,3)&(1,4)&(2,3)&(2,4)&(3,4)\\\hline -1{,}578&-0{,}213&-0{,}004&-1{,}155&-0{,}162&-0{,}765\\\hline (2,1)&(3,1)&(4,1)&(3,2)&(4,2)&(4,3)\\\hline -2{,}365&-0{,}363&-10{,}040&-1{,}414&-0{,}289&-1{,}331\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f974dc0e2c26b5fe8f612b9c8d844d9bf25a9d1a)
Donc l’équation
(Z)
de l’Article XCIX deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\varepsilon )\quad &\mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-2{,}532K_{1}K_{2}-0{,}468K_{1}K_{3}-1{,}633K_{1}K_{4}} \\&\quad -\mathrm {0{,}040K_{2}K_{3}-0{,}077K_{2}K_{4}-3{,}732K_{3}K_{4}} \\&\quad +\mathrm {1{,}013K_{1}+1{,}641K_{2}+2{,}593K_{3}+1{,}373K_{4}-5{,}599} =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52bf2a5a0e876f9513e5afa8b5d69f93e132ba80)
où il n’y aura plus qu’à substituer au lieu de
leurs valeurs
![{\displaystyle 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}},\quad 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{3}}}-{\text{ϐ}}_{3}}{\chi _{3}}},\quad 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{4}}}-{\text{ϐ}}_{4}}{\chi _{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494adf13af6a6c6ac22947a559a13f6ab72e3b51)
Second Cas.
On aura ici (Article CX)
![{\displaystyle (1,2)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\quad (1,3)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\ldots ,\quad (2,1)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5448337ae0366ebb607cd8b95d03b58187212aaf)
Donc, faisant successivement
on aura (Articles XXXII et XLIII)
![{\displaystyle (1,2)=q^{2}\mathrm {B} ,\quad (1,3)=q^{2}\mathrm {B} ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88eac215583d36c696cea5f0c54e5cb45744844)
ensuite
![{\displaystyle (2,1)=q\mathrm {B} ,\quad (3,1)=q\mathrm {B} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cffb7e651616b0075158f6ea461b4f0e266805)
Donc, en employant les valeurs de
données dans l’Article XLVII, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|}\hline (1,2)&(1,3)&(1,4)&(2,3)&(2,4)&(3,4)\\\hline -1{,}963&-0{,}252&-0{,}037&-1{,}884&-0{,}174&-1{,}151\\\hline (2,1)&(3,1)&(4,1)&(3,2)&(4,2)&(4,3)\\\hline -3{,}116&-0{,}640&-0{,}166&-3{,}011&-0{,}489&-2{,}025\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de77bb4e8331221d171fe7f9de661b5deba57efd)
et, l’équation
se changera en celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\zeta )\quad &\mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-2{,}331K_{1}K_{2}-0{,}085K_{1}K_{3}-5{,}675K_{1}K_{4}} \\&\quad -\mathrm {0{,}006K_{2}K_{3}-0{,}161K_{2}K_{4}-6{,}120K_{3}K_{4}} \\&\quad +\mathrm {2{,}124K_{1}+0{,}096K_{2}+0{,}114K_{3}+4{,}738K_{4}+11{,}972} =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ececd183c58830ab242c0d815e8b56f4a59c7fc9)
dans laquelle
![{\displaystyle \mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{1}}}-\pi _{1}}{\chi _{1}}},\ \ \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{2}}}-\pi _{2}}{\chi _{2}}},\ \ \mathrm {K} _{3}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{3}}}-\pi _{3}}{\chi _{3}}},\ \ \mathrm {K} _{4}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{4}}}-\pi _{4}}{\chi _{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4832f4e58796f01e009baec45ad2cfdbda19d3)
Il resterait maintenant à tirer de ces équations les valeurs de
et
d’où dépendent les principales inégalités de l’équation du centre et de la latitude des satellites de Jupiter ; mais comme nous touchons au terme fixé par l’Académie pour l’admission des Pièces, nous nous contenterons ici d’avoir donné la méthode et les principes nécessaires pour déterminer ces sortes d’inégalités, et nous remettrons ce travail à un autre temps, où nous nous proposons de suivre et de discuter avec attention ces points importants de la Théorie des satellites.
§ IV. — Sur les inégalités des satellites de Jupiter qui dépendent
de la période de 12 ans.
CXVI.
Les Tables du premier et du second satellite ne renferment que les équations qui dépendent de l’anomalie de Jupiter avec celles qui dépendent de la période de
jours dont nous avons parlé au long dans le § V du Chapitre précédent ; cependant, il est facile de se convaincre, et M. Wargentin l’avoue lui-même dans les dissertations qu’il a mises à la tête des observations de ces deux satellites (Mémoires de la Société d’Upsal, années 1742 et 1743), que les équations attribuées à l’inégalité du mouvement de Jupiter ne s’accordent pas entièrement avec l’équation du centre de cette Planète ; d’où il s’ensuit qu’il doit y avoir dans le mouvement de ces deux satellites des inégalités particulières qui, ayant des périodes à très-peu près égales à la révolution de Jupiter, se trouvent pour ainsi dire fondues dans la grande inégalité qui vient de l’excentricité de cette Planète ; c’est ce que la Théorie confirme d’ailleurs, car on a vu que les équations du centre des satellites (Article CVII) doivent renfermer quatre termes tels que
![{\displaystyle 2n\varepsilon \sin \left[\left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho \right)t+\omega \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a443a2e9a823dd280d742e5c583a666436f8f5)
or, dans le temps des éclipses, on a
à très-peu près (Article LII) ; donc
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left[\left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho \right)t+\omega \right]=&\sin \left[\left(1-{\frac {n\rho }{2\mu }}\right)(180^{\circ }+v)+\omega \right]\\=&-\sin \left[\left(1-{\frac {n\rho }{2\mu }}\right)v+\omega -{\frac {n\rho }{2\mu }}180^{\circ }\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d03c7f669fc5f7eacc5f36174f25a128cfae5cc)
d’où l’on voit que les équations provenant de ces termes auront des périodes égales à la révolution de Jupiter, plus à
de cette révolution.
Au reste on ne doit pas se flatter de pouvoir jamais déterminer ces sortes d’inégalités par la simple Théorie ; car les valeurs de
(Article CXV) dépendent des quantités
c’est-à-dire des masses des satellites, dont la plupart sont encore inconnues. Ainsi, ce n’est que par des observations multipliées et réitérées qu’on peut espérer de perfectionner à cet égard la Théorie des deux premiers satellites.
CXVII.
On a aperçu de pareilles inégalités dans le mouvement du troisième et du quatrième satellite ; ce sont celles qui, dans les Tables de M. Wargentin, répondent aux arguments
et
En consultant ces Tables (voyez les Tables des satellites imprimées parmi celles des Planètes de M. Halley), on trouve 1o que le nombre
achève huit périodes exactes dans l’intervalle de cent années juliennes, d’où il s’ensuit que chaque période est de douze ans et demi ; 2o que dans le même espace de temps le nombre
achève
périodes, ce qui donne
pour la durée de chaque période ; mais ce dernier élément a été réformé dans les nouvelles Tables du quatrième satellite imprimées à la fin de la Connaissance des Mouvements célestes pour l’année prochaine suivant ces Tables, le nombre
qui fait ici le même effet que le nombre
dans les premières, achève
périodes en cent années juliennes ; d’où l’on tire pour la durée de chaque période
environ.
Or, si l’on imagine que chacune de ces deux équations soit représentée par un seul terme tel que
![{\displaystyle \sin \left[\left(1-{\frac {n\rho }{2\mu }}v+\omega -{\frac {n\rho }{2\mu }}\right)180^{\circ }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29609c4de4253473fc160bc46c03feb4740a204d)
(c’est le cas où l’orbite serait une ellipse mobile), on trouvera aisément que la quantité
sera, pour le troisième satellite,
et, pour le quatrième,
On pourrait trouver de même
les valeurs des quantités
![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
qui dépendent des époques des arguments
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8)
et
![{\displaystyle \mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/361b47422cabcfe72db184c88a4d5cfb960c9584)
aussi bien que les coefficients
n\varepsilon
qui expriment les plus grandes équations ; mais, pour que toutes ces déterminations fussent exactes, il faudrait que les autres termes qui doivent entrer dans les équations du centre fussent nuls à la fois, ce qui paraît assez difficile ; d’ailleurs les incertitudes et les variétés qu’on trouve lorsqu’on compare les observations de ces deux satellites, et qu’on veut fixer les quantités et les périodes des équations dont nous parlons, donnent tout lieu de croire que ces équations sont plutôt des résultats de différentes équations particulières qui, ayant à peu près les mêmes périodes, se confondent ensemble, comme nous l’avons déjà observé par rapport aux deux premiers satellites.
CXVIII.
Je finirai ces remarques par donner un léger essai de calcul sur les valeurs des quantités
et, pour plus de simplicité, je supposerai que les masses du premier et du quatrième satellite soient considérablement plus petites que celles du second et du troisième ; hypothèse qui n’a d’ailleurs rien de choquant.
Donc, puisque
et
sont des quantités fort petites,
et
seront fort grandes, par conséquent l’équation
de l’Article CXV se réduira à très-peu près à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-1{,}633K_{4}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3ab5bfac78cecfa0b4b95442f7888f694b471c)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {K} _{1}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K} _{4}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K_{2}K_{3}} -1{,}633=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a81f51a1370d9ebc755bc5cb39187303fe1abc)
On aura de plus par les formules de l’Article LXXXVI en mettant
au lieu de
et ne conservant que les termes qui renferment
et
on aura, dis-je,
![{\displaystyle {\text{ϐ}}_{1}=0{,}982\chi _{2}+0{,}124\chi _{3},\quad {\text{ϐ}}_{2}=60{,}40\chi _{3},\quad {\text{ϐ}}_{3}=1{,}467\chi _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c24c40c7099aaf1c9f7e1dd17089d5c7b095559)
![{\displaystyle {\text{ϐ}}_{4}=0{,}260\chi _{2}+1{,}139\chi _{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508099508762f915458057640283ff53f0c94f3e)
Donc, puisque
![{\displaystyle \mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0897c995254ca9aeedbbe4770b247ab05a08be9)
on a, pour les quatre valeurs de
les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-0{,}982\chi _{2}-0{,}124\chi _{3}=0,\\&{\cfrac {\rho }{\mu _{4}}}-0{,}260\chi _{2}-1{,}139\chi _{3}=0,\\&{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-0{,}940\chi _{2}}{\chi _{2}}}\times {\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{3}}}-1{,}467\chi _{3}}{\chi _{3}}}-0{,}408=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96a8f685dfdae5c6b25548c07a86de64e34f922)
d’où l’on tire à peu près
![{\displaystyle \rho =0{,}731\mu _{3}\chi _{3}+0{,}470\chi _{3}\pm {\sqrt {\left(0,731\mu _{3}\chi _{2}+0{,}470\mu _{3}\chi _{3}\right)^{2}+0{,}408\mu _{2}\mu _{3}\chi _{2}\chi _{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b14c7d3198a20a0743353ba486a0f3828fd249)
Ainsi l’on aura les quatre valeurs de
qui donneront pour chaque satellite quatre équations, dont les périodes seront de
révolutions de Jupiter.
§ V. — Des durées des éclipses des satellites de Jupiter,.
CXIX.
La durée d’une éclipse dépend de quatre éléments de la largeur de l’ombre de Jupiter, de la vitesse du satellite, de sa latitude, et de l’inclinaison de sa route, laquelle peut être prise pour rectiligne pendant tout le temps de l’éclipse.
Soit donc
l’angle que le demi-diamètre de la section de l’ombre soustend au centre de Jupiter ; cet angle est donné par les observations pour chacun des quatre satellites.
Supposons de plus que
dénote la longitude du satellite, et
la tangente de sa latitude, au moment de la conjonction
Enfin soit
la longitude du satellite au moment de son entrée dans l’ombre ; de sorte que
exprime l’angle qu’il parcourt sur le plan de Jupiter depuis l’immersion jusqu’à la conjonction.
On aura, pour la valeur de
qui y répond,
à peu près.
Cela posé, supposons, pour plus d’exactitude, que la section de l’ombre soit une ellipse semblable à celle des méridiens de Jupiter ; il est visible qu’on aura
Demi-grand axe de l’ellipse
![{\displaystyle \,\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \quad \nu \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f9f05a52a4278a03ec6fc6c88586d1e65e5789)
Demi-petit axe (
![{\displaystyle \mathrm {E} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1811407dea8b43727d28dbe8da7251985b03e8)
étant l’ellipticité comme dans l’Article XVI).
![{\displaystyle \,\quad \nu \alpha (1-\mathrm {E} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/395d9a12cd6cf7e3464b0c173bde1c897f05cdca)
Abscisse prise depuis le centre
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \nu \psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3d58e187cb2c641fa97d275dd9d4848bdadc80)
Appliquée correspondante
![{\displaystyle \ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \nu \left(p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29eb2e46d8a98ebe3ebd7b1efa24f37af9a82a0)
Donc, par la nature de l’ellipse,
![{\displaystyle \alpha ^{2}-\psi ^{2}:\left(p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi \right)^{2}=1:(1-\mathrm {E} )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa42157b12767f9a564476796ac6de75ae8a3982)
équation d’où l’on tirera ![{\displaystyle \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c)
On aura donc
![{\displaystyle \alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-\psi ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}=p^{2}-2{\frac {pdp}{d\varphi }}\psi +{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}\psi ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bbf4e37b52385e3a0e26e186465f48862c4d546)
d’où l’on tire, après les réductions,
![{\displaystyle \psi ={\frac {{\cfrac {pdp}{d\varphi }}\pm (1-\mathrm {E} ){\sqrt {\alpha ^{2}\left[(1-\mathrm {E} )^{2}+{\cfrac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}\right]-p^{2}}}}{(1-\mathrm {E} )^{2}+{\cfrac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a7bec34ce68b4794da2510590518f2580591f04)
Le signe
donne la valeur
pour l’immersion, comme nous l’avons supposé, et le signe
donne au contraire la valeur de
our l’émersion.
CXX.
Substituons maintenant
au lieu de
au lieu de
et de même
au lieu de
(car il est évident que la quantité
doit être du même ordre que la quantités
) ; on aura, en ne négligeant que les termes affectés de
![{\displaystyle \psi =\pm {\frac {n}{1-\mathrm {E} }}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{(1-\mathrm {E} )^{2}}}{\frac {zdz}{\mu dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a098c60d1f609a5b03cc7e09db3b37c1c20cd19)
CXXI.
Pour convertir cette expression en temps, on la divisera par la vitesse angulaire qui est
ce qui donnera, en négligeant toujours les
![{\displaystyle \pm {\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}\mp (1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50001d82fe81bebdca1ad52a498e2a764aaf1a2f)
Donc l’intervalle entre l’immersion et la conjonction sera
![{\displaystyle {\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}-(1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c694dbbf7133f34f86d1307b0bebef03df25d4)
et l’intervalle entre la conjonction et l’émersion sera
![{\displaystyle {\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}-{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}+(1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d558d546e61f3a584925d71a2bb3e4d91ce3a451)
Par conséquent la demi-durée sera
![{\displaystyle {\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}-{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d45c973c98cf9ad685bac56313fcfa0928f78ee)
CXXII.
Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu’à présent que les durées des éclipses des satellites étaient les mêmes avant et après la conjonction ; ce qui n’est pas vrai à la rigueur, la différence étant de
![{\displaystyle {\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}{\frac {zdz}{\mu dt}},\quad {\text{c’est-à-dire de}}\quad {\frac {pdp}{\mu ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c833a0a36c05475ec12e484c8fc26d40df2153c2)
d’où l’on voit que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas
1
o lorsque
![{\displaystyle p=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc58a9d7d5e8eefcb5ecec886c7e909ff85960c9)
c’est-à-dire lorsque la latitude du satellite est nulle, et que par conséquent l’éclipse est centrale ; 2
o lorsque
![{\displaystyle dp=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1274e6d927d68ed9a7691b606404e00cb65e21d)
savoir lorsque la latitude est la plus grande, ou bien que le satellite est dans les limites.
CXXIII.
Supposons maintenant qu’on ait observé la demi-durée d’une éclipse de satellite, laquelle soit de
secondes ; on aura, en remettant pour
et
et
,
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1-n{\cfrac {dy}{\mu dt}}}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-p^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2fa3a804c6e469ad6c4ab1b24fe8bc7f337727)
où il faudra prendre, pour
degrés divisés par le temps périodique réduit en secondes ; ou bien on convertira immédiatement la durée
en degrés, et l’on aura simplement
![{\displaystyle \Delta ={\frac {1-n{\cfrac {dy}{\mu dt}}}{1-\mathrm {E} }}{\sqrt {\alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-p^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9393ed910b1215e5f6db312a71fe61713ecfa3)
d’où l’on tire
![{\displaystyle p=(1-\mathrm {E} ){\sqrt {\alpha ^{2}-\Delta ^{2}\left(1+2n{\frac {dy}{\mu dt}}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cb7f932105b8f005f1ea3b92afdb9e041403a4)
c’est la tangente de la latitude du satellite au moment de la conjonction.
CXXIV.
Ayant ainsi la latitude, et connaissant d’ailleurs le lieu du nœud par les observations des plus grandes durées, on trouvera aisément l’inclinaison de l’orbite ; il n’y aura pour cela qu’à diviser la tangente de la latitude trouvée par le sinus de l’élongation de Jupiter, vu du Soleil, au nœud du satellite ; le quotient sera la tangente de l’inclinaison de l’orbite.
C’est ainsi que tous les Astronomes en ont usé jusqu’ici pour déterminer la position des plans des orbites des satellites.
Mais, si l’on pouvait connaître avec assez de précision par la Théorie le moment de la conjonction, on pourrait trouver immédiatement l’inclinaison de la route du satellite dans l’ombre par les observations des immersions et des émersions ; car nous avons vu que la différence entre les durées avant et après la conjonction doit être
![{\displaystyle {\frac {pdp}{\mu ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71af104ee0ece402b2a85bf66b8478918325f06)
donc, divisant cette différence par
on aura
![{\displaystyle {\frac {dp}{\mu dt}}={\frac {dp}{d\varphi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c8b208cc75f70d42ffd281f5278ea6b47483c3)
tangente de l’inclinaison de la route du satellite.
Mais, outre que cette méthode exigerait dans les Tables des satellites un degré de précision dont elles sont encore bien éloignées, elle serait encore le plus souvent impraticable, à cause qu’on ne peut pas toujours observer à la fois les immersions et les émersions.
Je finirai ces recherches par dire un mot des variations qu’on a aperçues jusqu’ici dans les positions des orbites des satellites.
§ VI. Des inclinaisons et des nœuds des satellites..
CXXV.
Le premier satellite est le seul dont l’orbite paraisse à peu près fixe ; son inclinaison est, selon les Tables, de
et le lieu du nœud, à
du moins les demi-durées observées cadrent assez bien avec ces éléments.
Le nœud du second paraît aussi fixe, mais son inclinaison est sujette à un changement considérable, dont la période est de
ans ; la plus grande inclinaison est de
et la plus petite de
de sorte que la variation est de
ou bien de
tantôt en plus, tantôt en moins, ce qui fait environ
de l’inclinaison moyenne.
CXXVI.
Un changement si considérable ne saurait s’expliquer que par les formules de l’Article CIX. En effet, supposons que la valeur de
ne renferme que deux termes, ou au moins que les deux autres soient assez petits pour pouvoir être négligés, de sorte qu’on ait simplement
![{\displaystyle z_{2}=\lambda '_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+\lambda ''_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be855b236e417d1c01b2b1e6ca5ab4444c8117a5)
On aura, en nommant
la tangente de l’inclinaison de l’orbite et
la distance du satellite au nœud ascendant (Article CXI),
![{\displaystyle \tau _{2}={\sqrt {z_{2}^{2}+{\frac {dz_{2}^{2}}{\mu _{2}^{2}dt^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01efac40680fecba14ad30a21d160f97b4ccbf1a)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi _{2}={\frac {z_{2}\mu _{2}dt}{dz_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02fbd2ce0d56bdbf487436ec13918c022c1375e2)
savoir, en négligeant les termes de l’ordre de ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{2}=&{\sqrt {\lambda _{2}^{'2}+\lambda _{2}^{''2}+2\lambda '_{2}\lambda ''_{2}\cos \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right]}},\\\operatorname {tang} \psi _{2}=&{\frac {\lambda '_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+\lambda ''_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}{\lambda '_{2}\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+\lambda ''_{2}\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c782d4b1b8bad2d4deb5d3e6d55a168e46094af0)
Donc la plus grande valeur de
sera
et la plus petite
donc
![{\displaystyle n(\lambda '_{2}+\lambda ''_{2})=\operatorname {tang} 3^{\circ }47'27''\quad {\text{et}}\quad n(\lambda '_{2}-\lambda ''_{2})=\operatorname {tang} 2^{\circ }29'2''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657f35547e832bb09d28e277fe4817e38a53eac4)
par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\lambda '_{2}+\lambda ''_{2}}{\lambda '_{2}-\lambda ''_{2}}}={\frac {\operatorname {tang} 3^{\circ }47'27''}{\operatorname {tang} 2^{\circ }29'2''}}=1{,}527\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe613251b7e660178ddfaf2b08747b3f42e13204)
d’où lon tire
![{\displaystyle {\frac {\lambda ''_{2}}{\lambda '_{2}}}={\frac {0{,}527}{2{,}527}}=0{,}208=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecddccbdff4c5a79c7baa7aa77a365decd122131)
environ
![{\displaystyle {\frac {1}{5}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525e24793a54f949a95fb32f9d9f712e791b2907)
Maintenant il est clair que la valeur de
redeviendra la même lorsque l’angle
se trouvera augmenté ou diminué de
degrés pris une ou plusieurs fois ; donc, puisque la longitude moyenne du second satellite est exprimée par
la période de la variation de
sera de
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{{\cfrac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64d6ee13520118e441c62f8392f46cada4b2ac6)
révolutions de ce même satellite. Or cette période est, selon les observations, de
ans, ce qui répond à peu près à
révolutions du second satellite ; donc il faudra que
![{\displaystyle \pm {\frac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')={\frac {1}{3189}}=0{,}0003136.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e910ef4176861e867e1f5e2a3362a4a0531adafe)
CXXVII.
Ayant trouvé
on pourra simplitier les expressions de
et de
et l’on aura à très-peu près
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{2}=&\lambda '_{2}\left[1+{\frac {1}{5}}\cos \left({\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right)\right]\\\operatorname {tang} \psi _{2}=&\operatorname {tang} \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+{\frac {1}{3}}{\frac {\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}{\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}}\\&-{\frac {1}{3}}{\frac {\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}{\cos ^{2}\left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8e562c89dfeda2ab098ece1dbe5f7425749c91)
Soit fait
![{\displaystyle \psi _{2}=\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}+q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ac2e90d38bb88f3f8cf1a000170c4eb39a34d0)
étant une quantité fort petite, on aura
![{\displaystyle \operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+{\frac {q}{\cos ^{2}\left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86029259afac8cf2e1b17fcb209ffa9f0db3f37)
à peu près ; donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&{\frac {1}{5}}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\cos \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]\\&-{\frac {1}{5}}\cos \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]\\=&-{\frac {1}{5}}\sin \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3c68bc48418d0e3c0b308c8a733576360743f4)
donc
![{\displaystyle \psi _{2}=\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}-{\frac {1}{5}}\sin \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83006512e10c5579ac6db6866dee75c8ae7852e8)
D’où l’on voit 1o que le mouvement du nœud sera de
par révolution ; 2o que ce mouvement sera sujet à une équation analogue à celle de l’inclinaison, laquelle montera à
Ces derniers résultats ne s’accordent pas à la vérité avec les observations des demi-durées, par lesquelles il paraît que les nœuds sont à très-peu près fixes ; mais j’observe 1o que la quantité
peut être nulle, auquel cas le nœud n’aura plus qu’un mouvement d’oscillation ; 2o qu’il est impossible que l’attraction produise un changement dans l’inclinaison sans produire en même temps un changement analogue dans le lieu du nœud (voyez plus bas, Article CXXX).
CXXVIII.
Voyons maintenant comment on pourrait satisfaire à ces deux conditions, savoir
![{\displaystyle \pm {\frac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')=0{,}0003136\quad {\text{et}}\quad \sigma '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaac0a332fb54a9e51154645052a38bbe9982a1)
Pour cela, nous conserverons ici les hypothèses de l’Article CXVIII, moyennant quoi l’équation
de l’Article CXV se réduira à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-5{,}675K_{1}K_{4}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c746f131a68353fa2cf18c46de233f0d358b0612)
laquelle donne
![{\displaystyle \mathrm {K} _{1}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K} _{4}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K_{3}K_{4}} -5{,}675=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0afc2c5c2cb5c81585e4024064dc4e7686d225bf)
cette dernière équation se réduit à celle-ci
![{\displaystyle \left({\frac {\sigma }{\mu _{2}}}-\varpi _{2}\right)\left({\frac {\sigma }{\mu _{3}}}-\varpi _{3}\right)-{\frac {5{,}675}{4}}\chi _{2}\chi _{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be39f5c3aaefb27b9e699e4fb0afa6fe5aa4a634)
ou bien
![{\displaystyle \sigma ^{2}-(\mu _{2}\varpi _{2}+\mu _{3}\varpi _{3})\sigma +\mu _{2}\mu _{3}\varpi _{2}\varpi _{3}-1{,}419\mu _{2}\mu _{3}\chi _{2}\chi _{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abfcfb3bad655b2fc9373e3906ee136e6864c62)
Or, suivant les mêmes hypothèses, on a (Article LXXXVI)
![{\displaystyle \varpi _{2}=0{,}942\chi _{3}\quad {\text{et}}\quad \varpi _{3}=1{,}506\chi _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7029531adcd104ec4a85899e87e1238c52bad679)
à peu près ;
donc
![{\displaystyle \varpi _{2}\varpi _{3}=0{,}942\times 1{,}506\chi _{2}\chi _{3}=1,419\chi _{2}\chi _{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712d61f155b86f3b89f343089467896804488ce8)
donc, faisant pour plus de simplicité
et mettant
au lieu de
on aura l’équation
![{\displaystyle \sigma ^{2}-(0{,}942m+0{,}747)\mu _{2}\chi _{2}\sigma =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fffcb31d4734966f6ac2c777f5ad94b2c46633b)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \sigma =0\quad {\text{et}}\quad \sigma =(0{,}942m+0{,}747)\mu _{2}\chi _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8d7e0808c0813661c6f2e8b5c53ccbbfbafb3b)
Donc on satisfera à nos conditions en prenant pour
la première de ces deux racines et pour
la seconde, et supposant
![{\displaystyle {\frac {n}{2}}(0{,}942m+0{,}747)\chi _{2}=0{,}000316,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a44f0696c31eb1ac6bd86ef5cfdcc03f1fa5e79)
ce qui donne, à cause de
(Article LXIII),
![{\displaystyle m=27}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ecdfbab4ba3cf6d2d50a3635dfbfd727aeaccb)
à très-peu près.
Il est vrai que cette détermination ne s’accorde point avec ce que nous avons trouvé dans l’Article LXVIII ; mais cela n’est point surprenant vu le grand nombre des quantités que nous avons négligées dans ce calcul aussi ne l’ai-je donné ici que comme un essai, me réservant de le reprendre dans quelque autre occasion.
CXXIX.
La position de l’orbite du troisième satellite est aussi sujette à des variations fort remarquables ; son inclinaison paraît avoir été la plus petite en 1697, où elle n’était que d’environ
degrés, et depuis lors elle a toujours été en augmentant, de sorte qu’en 1763 on l’a trouvée de
ce qui fait
en 66 ans, et par conséquent environ
par an.
Quoiqu’on ne connaisse pas encore le terme de cette augmentation, il y a cependant tout lieu de croire qu’elle est périodique comme celle du second satellite ; car, suivant la comparaison que M. Maraldi a faite d’un très-grand nombre d’observations des demi-durées depuis 1671 jusqu’en 1763, l’inclinaison se trouve à très-peu près la même à intervalles égaux avant et après 1697.
À l’égard du nœud, les Tables de M. Wargentin le supposent fixe, à
mais M. Maraldi trouve qu’il doit avoir un mouvement direct d’environ
minutes par an ; selon ce savant Astronome, il était, à
en 1697, et, à
en 1763.
Ces variations peuvent s’expliquer de la même manière que celle du second satellite, pourvu qu’on suppose que la période de l’inclinaison soit beaucoup plus longue ; faisons-la de
révolutions du troisième satellite il faudra que l’on ait
![{\displaystyle \pm {\frac {n}{2\mu _{3}}}(\sigma '-\sigma '')={\frac {1}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee25207f2c0bdf1825781528b2d3dcdb98b612e)
prenons pour
la même racine que ci-dessus, et pour
une des deux autres racines, par exemple celle qui résulte de l’équation (Article LXXXVI)
![{\displaystyle \mathrm {K} _{1}=0,\quad {\text{savoir}}\quad \sigma ''=\mu _{1}\varpi _{1}=\mu _{1}(0{,}981\chi _{2}+0{,}126\chi _{3})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a728c5b7534d1222492ec704467bd145bbbc464)
mettons, au lieu de
au lieu de
et au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}=0,00004796+0,00000615m={\frac {1}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4337628c60ed866eed6ab5dc010b946453455bd1)
si
![{\displaystyle m=10,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dafdd4d44d980a79bff5f51ca59901e25d5531d)
on aurait environ
![{\displaystyle r=10000,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcb7a3104ecc745e213e21d21c52ad822f6b9b9)
ce qui donnerait à peu près 195 ans pour la durée de la période.
Maintenant, si l’on dénote par
la tangente de l’inclinaison et par
la distance au nœud, et qu’on suppose
étant une fraction assez petite, on aura comme dans l’Article CXXVI
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{3}=&\lambda '_{3}\left[1+\nu \cos \left({\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{3}-\eta ''_{3}\right)\right],\\\psi _{3}=&\left(\mu _{3}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{3}-\nu \sin \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{3}-\eta ''_{3}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca0bdc093f5b4c73abf229ddef92628a7674347)
ou bien (à cause de
et de
à la longitude moyenne du satellite que nous dénoterons par
)
![{\displaystyle \tau _{3}=\lambda '_{3}\left[1+\nu \cos \left({\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}-\eta '_{3}+\eta ''_{3}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3e2682c11d72218bed46981eef5647836df8cd)
![{\displaystyle u_{3}-\psi _{3}=-\eta '_{3}-\nu \sin \left({\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}-\eta '_{3}+\eta ''_{3}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e017ed04ab543f0044460e8afa463b1d17c70f)
où
est la longitude du nœud.
Supposons, ce qui est permis, que la longitude moyenne
soit comptée depuis le point où se trouvait le satellite au moment de la plus petite inclinaison de son orbite, on aura
![{\displaystyle \cos(-\eta '_{3}+\eta ''_{3})=-1,\quad {\text{dpnc}}\quad -\eta '_{3}+\eta ''_{3}=180^{\circ }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4afd7c8b4161298d9c7a0268d77f882e2c645e)
par conséquent les formules précédentes deviendront
![{\displaystyle \tau _{3}=\lambda '_{3}\left(1-\nu \cos {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}\right),\quad u_{3}-\psi _{3}=-\eta '_{3}+\nu \sin {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96b709849c57417a594e61973e09156c26cecde)
Donc la vitesse du nœud sera à la vitesse moyenne du satellite comme
à
d’où l’on voit que le mouvement du nœud sera direct tant que
sera positif, c’est-à-dire, tant que l’inclinaison sera au-dessous de la moyenne.
Au reste, si je donne ici ces formules, ce n’est pas que je les regarde comme fort exactes et conformes au mouvement du troisième satellite ; mon objet est simplement de donner une idée de la manière dont on pourrait rendre raison de l’augmentation d’inclinaison et du mouvement direct des nœuds de ce satellite, phénomènes qui paraissent assez difficiles à expliquer.
CXXX.
Le quatrième satellite est aussi dans le même cas que le troisième à l’égard du mouvement des nœuds. M. Maraldi l’a trouvé d’environ
par
suivant l’ordre des signes ; mais M. Wargentin ne le fait que d’environ
dans ses nouvelles Tables.
Quant à l’inclinaison, ils la supposent constante et de
mais il y a tout lieu de croire que cette détermination n’est pas tout à fait exacte ; car il paraît difficile que les nœuds aient un mouvement direct, tandis que l’inclinaison demeure la même. D’ailleurs, M. Wargentin remarque que les nœuds ont dû être stationnaires vers la fin du siècle dernier, ce qui prouve, ce me semble, qu’ils étaient auparavant rétrogrades, et que leur mouvement n’est qu’une espèce d’oscillation, comme nous l’avons déjà supposé, à l’égard du troisième satellite ; or je dis qu’un tel mouvement ne saurait avoir lieu dans le nœud, sans qu’il ait, dans l’inclinaison, une variation analogue ; c’est de quoi il est facile de se convaincre en jetant les yeux sur la formule de l’Article III
![{\displaystyle d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136f61f61a0a9d10b3b1576c716c3dcf78f0d73b)
laquelle exprime la relation qu’il doit y avoir en général entre le mouvement du nœud et la variation de l’inclinaison.
Je fais cette remarque, moins pour faire naître des doutes sur les résultats de ces deux savants Astronomes, que pour les engager à se rendre de plus eh plus attentifs à la détermination d’éléments si délicats et si difficiles.
Au reste, quand on sera bien assuré de l’exactitude de ces éléments, on pourra alors se servir de nos formules pour donner à la Théorie du quatrième satellite de nouveaux degrés de perfection.