Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/801

lement primitif, qu’il importe de connaître les lois du mouvement du fluide ; nous allons donc examiner spécialement ce que deviennent les formules (18) et (19), lorsque le rayon $r$ du point $\mathrm {M}$ auquel elles répondent, est un très-grand multiple de $\varepsilon \,:$ il faudra, d’après ce qu’on vient de dire, que $at$ soit aussi très-grand, pour que le mouvement de $\mathrm {M}$ ait commencé.

(8) Mettons $at,r_{1},\mu _{1},\lambda _{1},$ à la place de $\rho ,r',\mu ',\lambda ',$ dans les équations (17). Soit ensuite

$at=r-\zeta ,\qquad \theta =\pi -\mu +\eta ,\qquad \omega =\pi +\lambda +\eta '.$

Si l’on considère $r_{1}$ et $\zeta$ comme des quantités très-petites par rapport à $r,$ il est aisé de voir, d’après ces équations (17), que $\eta$ et $\eta '$ seront aussi très-petites ; et en négligeant les carrés et les produits de $\zeta ,\eta ,\eta ',$ on aura

$\zeta \cos .\mu -\eta r\sin .w=r_{1}\cos .\mu _{1},$

${\begin{alignedat}{3}\zeta \sin .\mu \sin .\lambda &+\eta r\cos .\mu \sin .\lambda &&-\eta 'r\sin .\mu \cos .\lambda &&=r_{1}\sin .\mu _{1}\sin .\lambda _{1},\\\,\zeta \sin .\mu \cos .\lambda &+\eta r\cos .\mu \cos .\lambda &&+\eta 'r\sin .\mu \sin .\lambda &&=r_{1}\sin .\mu _{1}\cos .\lambda _{1}\,;\end{alignedat}}$

d’où l’on tire

$r_{1}^{2}=\zeta ^{2}+\eta ^{2}r^{2}+\eta '^{2}r^{2}\sin .^{2}\mu .$

En même temps la formule (19) deviendra

${\begin{aligned}\varphi _{1}={\frac {1}{4\pi a}}\iint \operatorname {F} &(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})r\sin .\mu \,d\eta \,d\eta '\\-&{\frac {1}{4\pi }}{\frac {d.}{d\zeta }}\iint f(r_{1},\mu _{1},\lambda _{1})r\sin .\mu \,d\eta \,d\eta '.\end{aligned}}$

On y considérera $r_{1},\mu _{1},\lambda _{1},$ comme des fonctions de $\zeta ,\eta ,\eta ',$ données par les équations précédentes, et l’on déterminera les limites des intégrales relatives à $\eta$ et $\eta ',$ de manière que $r_{1}$