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Page:Poincaré - Théorie des tourbillons, 1893.djvu/63

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DÉMONSTRATION DIRECTE

D’où

Cette vitesse est donc inversement proportionnelle à la distance comme nous l’avons trouvé par une autre méthode.

49. Démonstration directe. — Il n’est pas indispensable, pour obtenir l’expression de la fonction d’avoir recours à la comparaison entre les équations hydrodynamiques et les équations électrodynamiques, comme nous l’avons fait ; cette expression peut s’obtenir directement comme je vais le montrer.

Pour abréger, nous dirons que la fonction est engendrée par un contour G quand elle est due à un tube tourbillonnaire dont ce contour est l’axe, et Fig. 16.
Fig. 16.
nous conviendrons de prendre un tube tourbillonnaire dont le moment soit égal à 1. Ce choix d’unité n’enlèvera rien évidemment à la généralité de notre démonstration. Je vais d’abord établir quelques théorèmes qui nous seront nécessaires pour trouver l’expression de la fonction

50. Théorème I. — Considérons une courbe fermée (fig. 16) ; joignons deux points de cette courbe, par un chemin quelconque Nous formons ainsi deux contours partiels, et un contour total, Admettons