Recherches arithmétiques/Section cinquième (suite 4)
245. Théorème. Si la forme est comprise dans le même ordre que que soit comprise dans le même ordre que la forme composée de aura le même déterminant, et sera comprise dans le même ordre que composée de
Soient , , , et les déterminants , , ; soit le plus grand diviseur commun des nombres le plus grand diviseur commun des nombres et que aient les mêmes significations par rapport aux et respectivement. L’ordre de la forme sera déterminé par les nombres , , , d’où il suit que les mêmes nombres auront lieu pour la forme ; par la même raison, les nombres seront pour la forme ce qu’ils sont pour la forme . Or (no 235) les nombres , , sont déterminés par les nombres , , ; , , ; savoir, est le plus grand commun diviseur des nombres et , et (si l’on a en même temps , ), ou (si , ou ). Comme ces propriétés de suivent de ce que est composé de , , on voit sans peine que , , seront pour ce qu’ils sont pour , et que parconséquent et sont de même ordre.
Nous appellerons en conséquence l’ordre qui renferme la forme , ordre composé de ceux qui renferment et . Ainsi, par exemple, l’ordre composé de deux ordres proprement primitifs est aussi un ordre proprement primitif, et l’ordre composé d’un ordre proprement primitif et d’un ordre improprement primitif, est un ordre improprement primitif.
C’est dans le même sens que nous pourrons dire qu’un certain ordre est composé de plusieurs autres.
246. Problème. Étant proposées deux formes primitives quelconques de la composition desquelles naît la forme , du genre auquel appartiennent et déterminer le genre auquel appartient
I. Considérons d’abord le cas où une des deux formes au moins, la première par exemple, est proprement primitive, et désignons par , , , les déterminans des formes , , : alors sera le plus grand commun diviseur des nombres , ; étant , ou , suivant que est proprement ou improprement primitive : dans le premier cas, appartiendrait à un ordre proprement primitif ; dans le second, à un ordre improprement primitif. Maintenant le genre de la forme se déterminera par ses caractères particuliers, tant à l’égard des différens diviseurs premiers impairs de , que, dans quelques cas, à l’égard des nombres ou . Il faudra donc déterminer chacun d’eux.
1o. Si est un diviseur premier quelconque de , il divisera nécessairement et ; ainsi la relation de la forme avec , se trouvera parmi les caractères des formes , . Or, si le nombre peut être représenté par la forme , et le nombre par , pourra l’être par . Si donc des résidus quadratiques de , non divisibles par , peuvent être représentés, tant par que par , il pourra y en avoir de représentés par la forme ; c’est-à-dire, que si l’une et l’autre de ces deux formes a le caractère , la forme aura le même caractère. Par une raison semblable, la forme aura le caractère , si les deux formes , ont le caractère ; au contraire aura le caractère , si l’une des formes et a le caractère , et l’autre le caractère .
2o. Si dans le caractère complet de la forme , il entre une relation à l’égard du nombre , cette relation doit entrer aussi dans les caractères des formes , . En effet, cela ne peut arriver que lorsque ou ; quand est divisible par , et le seront aussi ; donc ne peut pas être improprement primitive (no 226), et partant on a ; donc et sont divisibles par , et le caractère de chacune d’elles renfermera la relation à l’égard de . Quand , divisera et , les quotiens seront des nombres quarrés, et parconséquent et seront ou , ou , et la relation à l’égard du nombre sera comprise dans les caractères des formes , . Donc il suit de là, comme dans 1o., que le caractère de la forme sera 1,4, si les deux formes , ont le caractère 1,4 ou le caractère 3,4, et qu’au contraire le caractère de la forme sera 3,4, si l’une des formes , a le caractère 1,4 et l’autre le caractère 3,4.
3o. Quand est divisible par , l’est aussi ; donc est proprement primitive, , et divisible par ainsi un des caractères peut se trouver parmi les caractères de , s’il a lieu tant pour la forme que pour la forme . On s’assure facilement, comme ci-dessus, que le caractère de la forme est si , ont le même caractère ; qu’il sera si l’une des formes a le caractère et l’autre le caractère ou si l’une a le caractère et l’autre le caractère qu’il sera si , ont pour caractères l’une l’autre ou et et enfin qu’il sera si ont pour caractères et ou et
4o. Quand , sera , ou ; partant , et ou ; mais comme est le plus grand commun diviseur de et , ces deux nombres ne peuvent pas être tous deux divisibles par . Donc dans ce cas le caractère de la forme ne pourra être que et ou et , soit que les deux formes , aient l’un de ces deux caractères, soit que l’une d’elles en ayant un, l’autre ait un des caractères : d’où l’on voit facilement que le caractère de la forme se détermine par la table suivante :
5o. On prouve de la même manière, pour qu’on ne peut donner à la forme l’un ou l’autre des caractères et et à moins que quelqu’un de ces caractères n’appartienne à l’une des formes et que l’autre n’ait l’un de ces mêmes caractères ou l’un des suivans : desorte qu’on déterminera le caractère de la forme par la
table suivante :
II. Si chacune des formes est improprement primitive, sera le plus grand commun diviseur des nombres et ou celui de et il suit de là que et sont puisque (no 226) et le sont. Mais en posant le plus grand commun diviseur des nombres sera et celui des nombres sera donc est une forme dérivée de la forme improprement primitive dont est le déterminant, et dont le genre déterminera celui de Comme cette forme est improprement primitive, son caractère ne renfermera point de relations avec et mais seulement avec les différens diviseurs premiers impairs de Or ces diviseurs doivent nécessairement l’être de et Si les deux facteurs d’un produit sont représentables l’un par et l’autre par la moitié de ce produit le sera nécessairement par la forme on voit facilement, d’après cela, que le caractère de cette forme, à l’égard du nombre premier diviseur de sera d’abord, si et que les formes aient un même caractère à l’égard de ensuite si l’on a et que les caractères des formes soient opposés à l’égard de Au contraire, le caractère de cette forme sera si ont le même caractère et qu’on ait ou s’ils en ont un différent, et qu’on ait
247. Par la solution du problème précédent, il est évident que si est une forme primitive du même ordre et du même genre que , que soit une forme primitive du même ordre et du même genre que , la forme composée de , appartient au même genre que la forme composée. On voit par là ce que signifie un genre composé de deux ou de plusieurs autres genres. Or on voit encore que si , ont le même déterminant, que soit une forme d’un genre principal, et que soit composée de , , sera du même genre que , et qu’ainsi le genre principal peut toujours être omis dans la composition avec les autres genres de même déterminant. Si, toutes choses d’ailleurs égales, n’est pas du genre principal, et que soit une forme primitive, sera certainement d’un autre genre que . Enfin si , sont des formes proprement primitives de même genre, sera du genre principal (no 243 (2o.) et no 230, à la fin). Si donc une forme proprement primitive quelconque est composée avec elle-même, la forme qui résulte de la composition, et qui sera proprement primitive et de même déterminant, sera du genre principal ; mais si et sont toutes deux proprement primitives, de même déterminant et de genre différent, ne pourra pas appartenir au genre principal.
248. Problème. Étant proposées deux formes quelconques dont est composée ; déterminer le genre de d’après ceux de
Soit le plus grand commun diviseur des nombres , , , celui des nombres , , , de manière que et soient dérivées des formes primitives , , que nous désignerons par , ; cela posé, s’il y a au moins une des formes , qui soit proprement primitive, le plus grand commun diviseur des nombres , , sera , et sera dérivée de la forme primitive , et le genre de dépendra de celui de ; mais on voit facilement que se change en par la même substitution qui change en , et que parconséquent est composée de , ; donc on pourra déterminer son genre par le problème du no 246.
Mais si et sont improprement primitives, le plus grand commun diviseur des nombres , , sera , et la forme , qui est encore ici composée de , , est évidemment dérivée de la forme proprement primitive . Le genre de cette forme pourra être déterminé par le no 246, et comme est dérivée de la même forme, son genre sera connu par là même.
Il est évident par cette solution, que le théorème donné au no précédent pour les formes primitives, a lieu pour des formes quelconques, savoir, si et sont des mêmes genres que et respectivement, la forme composée de , est du même genre que la forme composée de , .
249. Théorème. Si les formes sont des mêmes ordres, genres et classes que respectivement, la forme composée de et de est de la même classe que la forme composée de
Ce théorème n’est qu’une conséquence immédiate du no 239. On voit par là ce qu’on doit entendre par une classe composée de deux ou de plusieurs classes.
Si l’on compose une classe quelconque avec la classe principale, la classe composée sera elle-même ; ainsi dans la composition des classes de même déterminant, on peut négliger la classe principale. Or (no 243) il naît toujours une classe principale de la composition de deux classes opposées proprement primitives ; donc toute classe ambiguë étant sa propre opposée, en composant avec elle-même une classe ambiguë proprement primitive, la résultante est la classe principale de même déterminant.
La réciproque de la dernière proposition est également vraie : Si la résultante de la composition d’une classe proprement primitive avec elle-même, est la classe principale de même déterminant, sera nécessairement une classe ambiguë. En effet, si est une classe opposée à , la résultante des trois classes , , sera la même que celle de et , c’est-à-dire, sera égale à ; mais la résultante de et est , et la résultante de et est , donc coïncide avec et est parconséquent une classe ambiguë.
Or on remarquera la proposition suivante : Si les classes sont opposées aux classes respectivement, la classe composée de sera opposée à la classe composée de Soient les formes , , , des classes , , , respectivement, la forme composée de , , la composée de , ; comme est improprement équivalente à et à , et que est composée directement de , , sera aussi composée de , , mais indirectement de chacune d’elles. Donc toute forme qui équivaut improprement à , sera composée directement des formes , , et partant sera improprement équivalente à (nos 238, 239) ; donc et seront proprement équivalentes, et les classes auxquelles elles appartiennent seront opposées.
Il suit de là que la résultante d’une classe ambiguë avec une autre classe ambiguë est elle-même une classe ambiguë ; car elle est opposée à la résultante des classes opposées à , et partant à elle-même, puisque ces classes sont elles-mêmes leurs opposées.
Observons enfin qu’étant proposées deux classes quelconques , de même déterminant, dont la première soit proprement primitive, on peut toujours trouver une classe de même déterminant, telle que soit composée de et de . En effet, on y parviendra en prenant pour la classe composée de et de la classe opposée à . On voit aussi très facilement que cette classe est la seule qui jouisse de cette propriété, ou que des classes différentes de même déterminant, composées avec la même classe proprement primitive, donnent des classes différentes.
La composition des classes peut se désigner commodément par le signe de multiplication , de même que l’identité des classes par le signe d’égalité. Au moyen de ces signes, la proposition que nous venons d’exposer peut être présentée de la manière suivante : Si la classe est opposée à , sera la classe principale de même déterminant ; donc , en prenant donc , on aura , comme on le desirait. Mais s’il y en avait une autre qui jouît de la même propriété, ou qu’on eût , on aurait ; donc . Si l’on compose ensemble plusieurs classes identiques, on peut exprimer la résultante en mettant en exposant le nombre de ces classes. Ainsi désignerait la même chose que , , que . On pourrait employer la même notation pour les formes, mais nous nous en abstiendrons pour éviter l’ambiguité, ayant déjà donné une signification particulière à l’expression . Nous dirons que la classe provient de la duplication de la classe , de la triplication, etc.
250. Si est divisible par (en supposant positif), il y aura un ordre de formes de déterminant , dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant (ou deux quand est négatif, un positif et l’autre négatif). La forme appartiendra évidemment à cet ordre (à l’ordre positif), et pourra avec raison être considérée comme la forme la plus simple de cet ordre (comme la forme dans l’ordre négatif quand est négatif). Si en outre il y aura aussi un ordre de formes de déterminant dérivé d’un ordre improprement primitif de déterminant , auquel appartiendra évidemment la forme , qui sera la plus simple. Quand est négatif, il y aura deux ordres, et dans le négatif la forme sera la plus simple. Ainsi, par exemple, si l’on veut appliquer cela au cas où , dans les quatre ordres de formes de déterminant , les suivantes seront les plus simples :
Cette observation donne naissance au problème suivant :
Problème. Étant proposée une forme quelconque de l’ordre , trouver une forme primitive (positive, s’il y a lieu à distinction) qui, composée avec la forme la plus simple de l’ordre ait pour résultante .
Soit dérivée de la forme proprement primitive de déterminant .
1o. Si est proprement primitive, nous observerons d’abord que quand ne serait pas premier avec , on pourra toujours trouver des formes équivalentes à , et dont les premiers termes jouissent de cette propriété. Car (no 228) on peut trouver des nombres premiers à , et représentables par cette forme ; or soit un tel nombre, on aura , où l’on peut supposer que , soient premiers entre eux ; partant, on pourra déterminer deux nombres tels qu’on ait , et la forme se changera, par la substitution , , , , en une forme qui lui sera proprement équivalente et jouira de la propriété précitée. Maintenant, comme et sont équivalentes, on voit qu’il suffit de considérer le cas où est premier avec . Alors sera une forme proprement primitive, car si , et avaient un diviseur commun, il diviserait nécessairement ; elle sera de même déterminant que , et l’on s’assurera facilement que se change par la substitution , , , , , , , , en le produit de la forme , par , qui sera la plus simple de l’ordre , à moins que la forme ne soit négative. Il suit de là, par la quatrième conclusion du no 235, que est composée de et ; mais quand est négative, elle se changera, par la substitution , , , ; , , , , en le produit de la forme , qui est la plus simple de cet ordre, par la forme positive , et parconséquent elle sera composée de ces deux formes.
2o. Si est une forme improprement primitive, ou peut supposer que soit premier avec , car si cette propriété n’a pas lieu pour la forme , on trouvera toujours une forme qui en jouisse et qui soit proprement équivalente à Il suit de là que la forme est une forme proprement primitive de même déterminant que ; on s’assurera aussi facilement que se change, par la substitution , , , ; , , , , en le produit des formes , , et que parconséquent elle est composée de ces deux formes, dont la première est la plus simple de l’ordre , et la seconde une forme proprement primitive positive. Les signes inférieurs doivent être pris quand est une forme négative, et les signes supérieurs dans les autres cas.
251. Problème. Étant proposées deux formes de même déterminant et qui appartiennent au même ordre trouver une forme proprement primitive de déterminant telle que la résultante de cette forme et de soit
Soit la forme la plus simple de l’ordre , et des formes proprement primitives de déterminant , qui, composées avec , donnent et respectivement, une forme proprement primitive, qui, composée avec donne , alors sera composée de trois formes , , ou des deux , .
Ainsi toute classe d’un ordre donné peut être considérée comme composée d’une classe quelconque donnée de même ordre et d’une classe proprement primitive de même déterminant.
252. Théorème. Pour un déterminant donné, les différents genres d’un même ordre contiennent un même nombre de classes.
Supposons que les genres , appartiennent au même ordre, que soit composé de classes , , , etc. , et soit une classe quelconque du genre ; cherchons par le no précédent une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec , produise , et désignons par , , etc. les classes résultantes de la composition de la classe avec les classes , , ,… respectivement. Alors de la dernière observation du no 249, il suit que toutes les classes , , etc. sont différentes, et par le no 248 elles appartiendront toutes au même genre. Enfin, il est visible que ne peut contenir d’autres classes, puisque toute classe de peut être considérée comme résultante de et d’une autre classe de même déterminant, qui sera nécessairement du genre . Ainsi contient, comme , classes différentes.
253. Le théorème précédent suppose identité d’ordre, et ne doit pas s’étendre à des ordres différents. Ainsi, par exemple, pour le déterminant , il y a vingt classes positives qui se distribuent en quatre ordres ; dans l’ordre proprement primitif il y a deux genres, dont chacun contient six classes ; dans l’ordre improprement primitif il y a deux genres composés chacun de deux classes. L’ordre dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant ne contient qu’un genre composé de quatre classes ; enfin l’ordre dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant ne contient qu’un seul genre composé d’une seule classe : il en est de même des classes négatives. Il est donc utile de chercher généralement la liaison des nombres de classes dans les différens ordres.
Supposons que , soient deux classes de même ordre (positif) de déterminant , et une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec , donne pour résultante , telle qu’on peut la trouver par le no 251. Dans quelques cas il peut arriver que soit l’unique classe proprement primitive, qui, composée avec , produise ; dans d’autres, plusieurs classes proprement primitives différentes peuvent être douées de cette propriété. Supposons généralement qu’il y ait classes de cette espèce qui, par leur composition avec , donnent toutes la même classe, et désignons leur ensemble par ; soit une autre classe de l’ordre et une classe proprement primitive, qui, composée avec , produise , et désignons par l’ensemble des classes qui seront toutes proprement primitives et différentes entre elles. Il est facile de voir que par sa composition avec une classe quelconque de produit d’où l’on conclut que et n’ont aucune classe commune : en outre, on prouve sans peine qu’il n’y a aucune classe proprement primitive, qui, par sa composition avec , produise et qui ne soit contenue dans De la même manière, si est une classe de l’ordre on trouvera classes proprement primitives différentes, tant entre elles qu’avec les classes et et dont chacune composée avec donnera , et ainsi de suite pour les autres classes ; mais comme toute classe proprement primitive et positive de déterminant composée avec , produit une classe de l’ordre , (no 251) on déduit facilement de là, que si le nombre de toutes les classes de l’ordre est , le nombre de toutes les classes proprement primitives (positives) de même déterminant est . Nous avons ainsi une règle générale : et étant deux classes quelconques de l’ordre et le nombre des classes proprement primitives de même déterminant, dont chacune produit par sa composition avec le nombre de toutes les classes de l’ordre proprement primitif (positif) sera fois plus grand que celui des classes de l’ordre
Comme les classes , peuvent être prises arbitrairement dans l’ordre , on peut les choisir identiques, et même il sera avantageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple de cet ordre, et en prenant celle-ci pour et , la difficulté est réduite à assigner toutes les classes proprement primitives, qui, composées avec , reproduisent elle-même. Nous y parviendrons au moyen du théorème suivant :
254. Théorème. Si est la forme la plus simple de l’ordre de déterminant et une forme proprement primitive de même déterminant ; le nombre pourra être représenté par la forme si est la résultante d’elle-même et de et réciproquement, sera composée d’elle-même et de si peut être représenté par
1o. Si se change en par la substitution , , , ; , , , , on a (no 235) , d’où .
2o. Si peut être représenté par la forme , désignons les valeurs des indéterminées qui effectuent la représentation par , ou soit ; prenons , , , , , . Cela fait, on s’assure aisément que se change en par la substitution , , , ; , , , , pourvu que les nombres , etc, soient entiers ; or, par la nature de la forme la plus simple, est ou ; donc est toujours un nombre entier ; il résulte encore du même principe, que est un nombre entier ; donc , , sont des nombres entiers ; il reste donc seulement à prouver que et sont des nombres entiers. Or on a
Si donc , il vient , , et partant et sont entiers. Mais si , on a ,
, d’où déduit aussi facilement que et
sont entiers. Donc est composée de et .
255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes proprement primitives de déterminant , par les formes desquelles le nombre peut être représenté. Or peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est lui-même, ou le quarré d’une partie aliquote de ; mais réciproquement si peut être représenté par une forme , en donnant aux indéterminées de cette forme les valeurs , , dont le plus grand diviseur commun est , la forme se changera, par la substitution , , , , en une forme dont le premier terme sera . et cette forme sera proprement équivalente à , si , sont tels qu’on ait ; donc toute classe par les formes de laquelle pourra être représenté, renfermera des formes dont le premier terme sera ou le quarré d’une partie aliquote de . Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primitives qui renferment des formes de cette espèce ; ce qui se fait de la manière suivante : Soient , , , etc. tous les diviseurs positifs de on cherchera toutes les valeurs de l’expression comprises entre et inclusivement, et les représentant par , , , etc., on fera , , , etc. ; désignons par l’ensemble des formes , , etc. On voit facilement que toute classe de déterminant qui renfermera une forme dont le premier terme soit devra contenir une forme de , on déterminera de la même manière toutes les formes de déterminant , dont le premier terme est et le second compris entre et , nous désignerons par l’ensemble de ces formes. On aura de même l’ensemble de formes qui commencent par , etc. On rejettera de , , , etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s’il y en a plusieurs qui appartiennent à la même classe, on n’en retiendra qu’une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées, et leur nombre sera à l’unité comme le nombre total des classes proprement primitives positives aux nombres de classes de l’ordre .
Exemple. Soit , et l’ordre positif dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant , dans lequel la forme la plus simple est . On a , , , , . contiendra la forme ; les formes , ; les formes , , ; enfin contiendra les formes , , , , , . De ces douze formes il y en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de , la première, la troisième, la quatrième et la sixième de , qui sont toutes des formes dérivées ; on trouve que les six autres appartiennent à des classes différentes ; en effet, le nombre des classes proprement primitives (positives) de déterminant est , et le nombre des classes improprement primitives positives de déterminant , ou le nombre des classes de déterminant dérivées de celles-ci est , partant le premier est au second comme est à .
256. Cette solution sera mieux éclaircie par les observations générales suivantes :
I. Si l’ordre est dérivé de l’ordre proprement primitif, divisera ; mais si est dérivé de l’ordre improprement primitif ou improprement primitif lui-même, sera pair, sera divisible par et le quotient . Donc le quarré de tout diviseur de divisera ou au moins , et dans le second cas, le quotient sera toujours .
II. Si divise , toutes les valeurs de l’expression qui tombent entre et seront , , , etc. , et partant sera le nombre des formes de ; mais parmi elles il n’y en aura de primitives qu’autant qu’il y a de nombres premiers avec dans les suivans : , , , ……. Ainsi quand , n’aura qu’une forme , qui sera toujours proprement primitive. Quand ou une puissance de , la moitié de ces nombres seront pairs, l’autre moitié impairs ; ainsi renferme formes proprement primitives. Quand est un autre nombre premier , ou une puissance de ce nombre premier, on doit distinguer trois cas : 1o. si n’est ni divisible par , ni résidu quadratique de , ces nombres seront tous premiers avec , et partant, toutes les formes de seront proprement primitives. 2o. Si divise comme depuis jusqu’à il y a nombres divisibles par ( compris), et partant non-divisibles, sera le nombre des formes proprement primitives que contient . 3o. Si est résidu quadratique de , et non-divisible par , comme entre et il y a deux valeurs de l’expression , entre et il y en aura ; donc il y aura nombres non-divisibles par dans la suite , , etc., et partant, le nombre des formes proprement primitives de est . Généralement, si l’on a , , , , etc. étant des nombres premiers différens, le nombre de formes proprement primitives contenues dans sera .... où l’on doit faire quand , et si ; si n’est pas résidu quadratique de et n’est pas divisible par , quand est divisible par , ou quand est résidu de mais non-divisible par . , , etc. se déterminent de la même manière en , , etc.
III. Si ne divise pas on aura entier et ; les valeurs de l’expression seront , , , , partant, le nombre des formes de sera , et parmi les formes, il y en aura autant de proprement primitives qu’il y aura de nombres premiers à dans la suite . Toutes les fois que , tous ces nombres seront pairs, et partant ne renfermera aucune forme proprement primitive ; mais quand , tous ces nombres seront impairs, et partant, toutes les formes seront proprement primitives, si est ou une puissance de . En général, il y aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu’il y a de nombres premiers avec dans la suite précédente. Le nombre de ces formes sera si ; étant , et , , , etc. se déterminant comme dans le cas précédent.
Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives contenues dans , , , etc. Quant à la somme de ces nombres, on trouve sans peine la règle suivante : Si , , , etc. étant des nombres premiers différens, le nombre total des formes proprement primitives contenues dans , , , etc. sera , où l’on doit faire dans le cas où , et dans celui où , , si est entier et , , si et . , si divise ; , quand ne divise pas , en prenant le signe ou le signe , suivant que est non-résidu ou résidu de . On déduit , , etc. de , , comme de . Nous omettons, pour abréger, la démonstration.
V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent ces formes proprement primitives, il faut distinguer les trois cas suivans :
1o. Quand est négatif, chaque forme proprement primitive fournit une classe particulière , excepté deux cas où l’on aurait ou, c’est-à-dire, ou . Pour démontrer ce théorème, il suffit évidemment de faire voir qu’il ne peut arriver que deux formes différentes de , , , etc. soient proprement équivalentes. Supposons donc que , soient deux formes proprement primitives de , , , etc. appartenantes à la même classe, et que la première se change en la seconde par la substitution , , , , on aura les équations
On conclut facilement de là que n’est certainement pas ; car on aurait , , , et partant, les formes , seraient identiques contre l’hypothèse. On voit ensuite que est divisible par le plus grand diviseur commun des nombres , ; en effet, en nommant ce diviseur, il divise et (II et III), mais sera premier avec ; en outre est divisible par , puisqu’on a ,
et l’on en déduit facilement que est divisible par . Or on a , donc et partant est divisible par . Enfin on a . Donc en posant , , et seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, et l’on a l’équation . Mais est le plus petit nombre divisible à-la-fois par et , parconséquent il divisera
et par suite ; donc sera un entier négatif que nous
représenterons par , il en résultera
Dans cette équation le terme étant un quarré , ne peut
être que ou ; dans le premier cas on a et ; donc est un quarré affecté du signe , et partant non ; ainsi ne sera ni un ordre improprement primitif, ni un ordre dérivé d’un ordre improprement primitif. Donc sera entier, d’où l’on déduit facilement que est divisible par donc et , et partant un entier ; donc on a nécessairement ou , première exception. Dans le second cas, on aura ; donc , et ; donc sera un entier qui ne peut être
que , puisqu’en le multipliant par le quarré entier , on
a . Donc ou , seconde exception. Donc
dans tous les autres cas, les différentes formes proprement primitives de , , etc. appartiendront à des classes différentes.
Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici
le résultat, qu’on trouve sans peine, mais dont la recherche prolongerait trop cette analyse. Dans le premier cas, les formes appartiendront deux à deux à la même classe, dans le second trois
à trois ; donc le nombre des formes est dans celui-là double du
nombre des classes, et triple dans celui-ci.
2o Quand est un nombre quarré positif, les différentes formes proprement primitives} de , , , etc. appartiennent sans exception à des classes différentes. Supposons en effet que et soient deux formes de cette espèce, et qu’elles soient équivalentes ; soit , , , la substitution propre qui change la première en la seconde. Il est clair que tous les raisonnemens de l’observation précédente, où l’on ne suppose pas négatif, ont également lieu ici ; on aura encore entier, mais positif et quarré ; faisons-le ; il en résulte , ce qui est absurde ; car la différence de deux quarrés ne peut être , à moins que le plus petit ne soit ; or cette supposition est inadmissible, puisque ne peut être nul, et que partant ne peut pas l’être non plus.
3o. Quand est positif non quarré, nous ne pouvons donner de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons même découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et les plus petites valeurs qui satisfont à l’équation ; mais il serait trop long de l’expliquer ici. Mais nous ne pouvons pas décider s’il est possible dans tous les cas de connaître ce quotient à la seule inspection des nombres , . Nous joignons quelques exemples qu’il sera facile de multiplier à volonté.
Pour , , le nombre des formes proprement primitives de , etc. est , qui sont toutes équivalentes et ne donnent qu’une seule classe.
Pour , , le nombre des formes est , qui appartiennent à trois classes différentes. Pour , , il y a formes qui fournissent quatre classes. Pour , , il y a dix-huit formes et deux classes. Pour et , il y a également dix-huit formes, mais elles fournissent six classes.
VI, De l’application de cette théorie générale au cas où est l’ordre improprement primitif, il résulte que le nombre de classes contenues dans cet ordre est à celui de l’ordre proprement primitif comme est au nombre de classes différentes proprement primitives que donnent les trois formes , , . Or il en résultera une seule classe quand , parceque dans ce cas la deuxième et la troisième sont improprement primitives. Mais quand , ces trois formes seront improprement primitives et donneront autant de classes différentes si est négatif, excepté le cas où , dans lequel elles appartiennent à la même classe ; quant au cas où est positif de la forme , il appartient à ceux pour lesquels nous n’avons pas jusqu’à présent de règle générale. Nous pouvons cependant affirmer que ces trois formes donneront ou trois classes ou une seule, jamais deux ; car on voit sans peine que si les formes , , appartiennent aux classes , , , respectivement, on aura (no 243, 2o), (ibid. 5o) ; donc si l’on supposait on aurait aussi ; et de même si et étaient identiques, on aurait ; d’ailleurs on trouve ; donc si et étaient identiques, et le seraient aussi. Ainsi les classes , , sont toutes différentes ou toutes identiques. Par exemple, au-dessous de il y a nombres de la forme , parmi lesquels se trouvent dix-sept déterminans auxquels se rapporte le premier cas, c’est-à-dire que le nombre de classes proprement primitives est trois fois plus grand que celui des classes improprement primitives ; ces déterminans sont : , , , , , , , , , , , , , , , ; pour les cinquante-huit autres, le second cas a lieu, c’est-à-dire qu’il y a le même nombre de classes dans l’un et l’autre ordre.
VII. Il est presque superflu d’observer que non-seulement par la recherche précédente, on peut comparer les nombres de classes des ordres différens de même déterminant, mais qu’elle est applicable à tous les déterminans différens qui sont entre eux comme des nombres quarrés ; savoir, si est un ordre quelconque de déterminant , un ordre de déterminant , pourra être comparé avec l’ordre proprement primitif de déterminant , celui-ci avec l’ordre dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant , ou, ce qui revient au même pour le nombre de classes, avec ce dernier lui-même ; et par une raison semblable, l’ordre pourra être comparé avec le même.
257. Parmi toutes les classes d’un ordre et d’un déterminant donné, les classes ambiguës demandent un plus grand développement, et la détermination de leur nombre nous conduira à beaucoup de résultats intéressans. Or il suffit de chercher ce nombre pour l’ordre proprement primitif, puisque les autres s’y ramènent facilement. Nous y parviendrons en trouvant d’abord toutes les formes ambiguës proprement primitives de déterminant , dans lesquelles ou , et en déduisant ensuite de leur nombre celui de toutes les classes ambiguës proprement primitives.
1o. Toutes les formes proprement primitives de déterminant , se trouvent évidemment en prenant pour tous les diviseurs de , positifs et négatifs, pour lesquels est premier avec . Ainsi quand , il y a deux formes de cette espèce : , ; il y en a autant quand , savoir, , . Quand est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier avec le signe ou le signe , il y a quatre formes
Généralement, quand D est divisible par n nombres premiers,
il y a formes de ce genre ; en effet, soit , , , , etc. étant des nombres premiers différens ou des puissances
de nombres premiers différens, dont le nombre est ; les valeurs
de seront : , , , ,… , , ,… …, et en
général le produit d’autant de ces nombres qu’on voudra ; or, par
la théorie des combinaisons, le nombre total de ces produits est ,
mais il faut le doubler, parceque chaque valeur de peut être
prise avec le signe ou le signe .
2o. On voit de même que toutes les formes proprement primitives de déterminant s’obtiennent en prenant pour tous les diviseurs de , pour lesquels est entier et premier avec ; ainsi, comme doit nécessairement être impair, et que partant ; comme d’ailleurs on a , on aura si est impair, et si est pair. Ainsi, toutes les fois que sera congru à l’un des nombres : , , , , , suivant le module , il n’y aura aucune forme de cette espèce.
Quand , est entier et impair, quel que soit le diviseur de que l’on prenne pour ; mais pour que n’ait pas de diviseur commun avec , doit être pris de manière que soit premier avec : donc pour il y a deux formes de cette espèce , , et en général on voit facilement que si le nombre de tous les diviseurs premiers de est , il y aura en tout formes.
Quand , est entier toutes les fois que l’on prend pour un diviseur pair de ; quant à la condition qui exige que soit premier avec , on y satisfera de deux manières, 1o. en prenant pour tous les diviseurs impairement pairs de , pour lesquels est premier avec , et dont le nombre est , si le nombre total des diviseurs de est , et que l’on fasse attention au double signe. 2o. En prenant pour tous les diviseurs pairement pairs de , pour lesquels est premier avec ; leur nombre est aussi ; desorte qu’on a en tout pour ce cas formes. C’est-à-dire, que si l’on pose , etc., étant et , , , etc. des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers impairs dont le nombre soit , on pourra prendre, tant pour que pour , les nombres : , , , , etc. et les produits de tant de ces nombres qu’on voudra, avec le signe ou le signe .
On peut conclure de tout ce qui précède, que si est divisible par nombres premiers impairs différens (où doit être fait si , , ou ), le nombre de toutes les formes proprement primitives dans lesquelles ou sera quand , ou , quand , , , , [1] ; enfin quand . Si l’on compare ce résultat avec celui que nous avons obtenu pour le nombre des caractères possibles des formes proprement primitives de déterminant , on verra que dans tous les cas le premier est double du dernier. Au reste, il est évident que, pour les déterminans négatifs, il y a parmi les premières formes autant de positives que de négatives.
258. Toutes les formes trouvées dans le no précédent appartiennent évidemment à des classes ambiguës, et réciproquement dans toute classe ambiguë proprement primitive, il doit y avoir au moins une de ces formes. En effet, dans une telle classe, il y a nécessairement des formes ambiguës, et toute forme ambiguë proprement primitive de déterminant doit trouver au moins une forme qui lui soit équivalente parmi celles du no précédent, c’est-à-dire, une forme , ou une forme , suivant que , ou . Ainsi le problème est réduit à trouver en combien de classes ces formes peuvent se distribuer.
Si la forme est comprise parmi les formes du no précédent, la forme s’y trouvera aussi et sera toujours différente de la première, excepté dans le cas où l’on aurait et partant cas que nous laisserons de côté pour quelque temps. Mais comme ces formes appartiennent à la même classe, il suffit d’en conserver une, et nous rejetterons celle dont le premier terme est plus grand que le dernier ; nous écarterons aussi le cas où c’est-à-dire, où De cette manière, nous pouvons réduire toutes les formes à moitié, et dans celles qui resteront, on aura toujours
De la même manière, si parmi les formes du no précédent, il se rencontre la forme , on y trouvera aussi la forme qui lui est proprement équivalente, mais qui n’est pas identique avec elle, excepté dans le seul cas où l’on aurait ou Il suffit de garder celle de ces deux formes dont le premier terme est le plus petit : d’où il suit que toutes les formes peuvent être réduites à moitié, et que dans celles qui resteront, on aura ou De cette manière, nous n’avons plus que la moitié de toutes les formes du no précédent ; nous en désignerons l’ensemble par et il ne reste plus qu’à faire voir combien ces formes fournissent de classes. Au reste, il est évident que si est négatif, renfermera autant de formes positives que de formes négatives.
1o. Quand est négatif, les différentes formes de appartiendront à des classes différentes ; car toutes les formes seront réduites ; de même, les formes seront réduites, excepté celles dans lesquelles mais dans ces formes on aura et comme on a ou ou ou on tire de là ou donc la forme qui est évidemment équivalente à la forme proposée, est une forme réduite. De cette manière, on a autant de formes réduites qu’il y a de formes dans on voit facilement d’ailleurs qu’il n’y en aura aucunes qui soient identiques ni opposées, excepté dans le cas où , ce qui donne et exige que l’un et l’autre soit , et partant que ; or nous avons déjà écarté ce cas-là : il suit de là que le nombre total des classes ambiguës proprement primitives de déterminant (négatif) est égal au nombre de formes de , ou à la moitié du nombre de formes du no précédent. Quant au cas que nous avons excepté, dans lequel , on a aussi le même résultat par compensation ; car il y a deux classes, à la première desquelles appartiennent les formes , , et à la seconde les formes , . Ainsi généralement pour les déterminans négatifs, le nombre de classes ambiguës proprement primitives est égal au nombre de caractères assignables pour les formes proprement primitives de ce déterminant, et le nombre de ces classes qui sont positives en est la moitié.
2o. Quand est un nombre positif quarré , on démontre facilement que toutes les formes appartiennent à des classes différentes. Mais on peut, dans ce cas, parvenir plus simplement à la. solution du problème. Comme, par le no 210, dans toute classe ambiguë proprement primitive on doit trouver une forme réduite , dans laquelle est une valeur de l’expression , comprise entre et , et que cette propriété leur est particulière, on voit qu’il y aura autant de classes ambiguës proprement primitives, qu’on peut trouver de valeurs de cette expression ; or on déduit sans peine, du no 105, que le nombre de ces valeurs est , ou , ou , suivant qu’on aura , ou , ou , désignant le nombre des diviseurs premiers impairs de . Donc le nombre de classes ambiguës proprement primitives est toujours égal à la moitié des formes du no précédent, ou au nombre de caractères possibles.
3o. Quand est positif non quarré ; déduisons des formes contenues dans , d’autres formes en prenant et compris entre et (le signe supérieur ayant lieu quand est positif, le signe inférieur quand est négatif), et . Désignons par l’ensemble de toutes ces formes ; elles seront évidemment toutes proprement primitives, ambiguës, de déterminant et non identiques ; elles seront d’ailleurs réduites : en effet, si , sera évidemment et positif ; en outre, , et parconséquent ; donc pris positivement est compris entre et . Si , n’est pas , puisque nous avons rejeté les formes dans lesquelles ces deux circonstances étaient réunies, mais il est ; donc est, en grandeur, , et il sera positif, car on a , partant tombera entre les limites assignées à et sera congru à , suivant le module ; donc , donc ou , et parconséquent : donc enfin tombera nécessairement entre les limites et . En outre, contiendra toutes les formes réduites proprement primitives et ambiguës ; en effet, si est une forme de cette espèce, on aura ou ; dans le premier cas, on ne pourra pas avoir , ni partant ; donc la forme sera certainement contenue dans , et partant , qui lui correspond, le sera dans ; dans le second on a nécessairement , et partant la forme sera contenue dans , et la forme , qui lui correspond, le sera dans . Il suit de là que le nombre des formes de est égal au nombre de formes réduites, ambiguës et proprement primitives de déterminant . Mais comme dans toute classe ambiguë il y a deux formes réduites ambiguës (nos 187, 194), le nombre des classes ambiguës proprement primitives de déterminant sera la moitié du nombre des formes de , ou la moitié du nombre de tous les caractères assignables.
259. Le nombre des classes ambiguës improprement primitives de déterminant , est toujours égal au nombre de celles qui sont proprement primitives. Soit la classe principale, et , , etc. les autres classes ambiguës proprement primitives de même déterminant, une classe ambiguë improprement primitive, celle, par exemple, qui contient la forme ; la classe résultera de la composition de avec elle-même, et si nous nommons , , etc. les classes qui proviennent de la composition de la classe avec les classes , , etc. respectivement, ces classes seront toutes improprement primitives, ambiguës et de même déterminant . Le théorème sera donc prouvé, aussitôt que nous aurons démontré que toutes les classes , , , etc. sont différentes , et qu’il n’y a pas d’autres classes ambiguës, improprement primitives et de déterminant . Pour y parvenir, nous distinguerons deux cas :
1o. Quand le nombre des classes improprement primitives est égal au nombre des classes proprement primitives, chacune des premières naît de la composition de la classe avec une classe déterminée proprement primitive ; d’où il suit que , , , etc. seront nécessairement toutes différentes. Mais en désignant par une classe quelconque ambiguë improprement primitive de déterminant , on peut trouver une classe proprement primitive , telle qu’on ait , et si la classe est opposée à la classe , on aura aussi , puisque et sont elles-mêmes leurs opposées ; donc on a nécessairement , et partant est une classe ambiguë. se trouvera donc parmi les classes , , , etc., et parmi les classes , , , etc.
2o. Quand le nombre de classes improprement primitives est trois fois moins grand que celui des classes proprement primitives, soit la classe dans laquelle est la forme , celle dans laquelle est la forme ; et seront proprement primitives, et différentes tant entre elles qu’avec la classe principale ; on a d’ailleurs , , . Si maintenant est une classe quelconque improprement primitive de déterminant qui résulte de la composition de la classe avec une classe proprement primitive , on aura aussi , , et il n’y aura que les trois classes (proprement primitives et différentes) , , qui, composées avec , aient pour résultante. Donc si est une classe ambiguë et que soit opposée à , on aura, comme ci-dessus, et partant sera une des trois classes , , ; or si , sera une classe ambiguë ; si , on aura ; donc est une classe ambiguë ; on prouverait de même qu’en supposant , il s’ensuivrait que est une classe ambiguë ; d’où l’on peut conclure que se trouve nécessairement parmi les classes , , , etc. Mais on voit facilement que parmi les trois classes , , , il ne peut y en avoir qu’une ambiguë. En effet, si et étaient ambiguës, ou si elles étaient identiques avec leurs opposées respectives , , on aurait , ou La même conclusion résulterait de la supposition de l’ambiguité simultanée des classes et enfin si et étaient ambiguës ou identiques avec leurs opposées respectives il en résulterait et partant ou et Il n’y aura donc qu’une seule classe ambiguë proprement primitive qui, composée avec puisse produire et parconséquent toutes les classes etc. seront différentes.
Le nombre des classes ambiguës d’un ordre dérivé est évidemment égal au nombre des classes ambiguës de l’ordre primitif dont il est dérivé, et pourra ainsi sé déterminer par ce qui précède.
260. Problème. La classe proprement primitive résultant de la duplication d’une classe proprement primitive de même déterminant on demande toutes les classes semblables dont la duplication donne
Soit la classe principale de déterminant et etc. les autres classes ambiguës de ce déterminant ; désignons par etc. les classes etc. ; toutes les classes etc. seront proprement primitives et différentes entre elles, et l’on voit facilement que naît de la duplication de chacune d’elles. Or en nommant une classe quelconque proprement primitive de déterminant qui produise par sa duplication, elle sera nécessairement comprise parmi les classes etc. ; en effet, en supposant , dans lequel est une forme proprement primitive de déterminant (no 249), on aura mais donc et partant est donc ambiguë et se trouvera parmi les classes etc. ; donc se trouvera parmi les classes etc. Ainsi ces classes donnent la solution complète du problème.
Au reste, il est évident que dans le cas où est négatif, il y a parmi les classes , , , etc. autant de classes positives que de négatives.
Puisque toute classe proprement primitive de déterminant qui résulte de la duplication d’une certaine classe, peut résulter de la duplication d’autant de classes semblables qu’il y a de classes proprement primitives ambiguës de déterminant , il est évident que si le nombre des classes proprement primitives est , et que le nombre des classes ambiguës proprement primitives soit , on aura pour le nombre des classes proprement primitives de déterminant qui peuvent résulter de la duplication de classes de la même espèce. On trouve le même résultat pour les determinants négatifs, en restreignant la signification de et aux classes positives seulement. Par exemple, pour , le nombre des classes proprement primitives est celui des classes ambiguës partant, le nombre de classes proprement primitives qui peuvent résulter de la duplication d’une classe proprement primitive est nécessairement , et l’on trouve effectivement que toutes les classes du genre principal sont douées de cette propriété ; savoir, la classe principale , qui naît de la duplication des quatre classes ambiguës ; la classe , de la duplication des classes , , ; la classe , de la duplication des classes , , , ; enfin la classe , de la duplication des classes , , , .
261. Théorème. La moitié des caractères assignables, pour un déterminant positif non quarré, peut n’appartenir à aucun genre proprement primitif, et pour un déterminant négatif, à aucun genre proprement primitif positif.
Soit le nombre de tous les genres proprement primitifs, positifs s’il y a lieu, de déterminant ; le nombre des classes de chaque genre, sera (no 252) le nombre total des classes proprement primitives, le nombre de tous les caractères différents assignables pour le déterminant . Alors, par le no 258, le nombre de toutes les classes ambiguës proprement primitives sera ; donc par le no précédent le nombre de toutes les classes proprement primitives qui peuvent résulter de la duplication de classes semblables est ; mais (no 247) toutes ces classes appartiennent au genre principal qui contient un nombre de classes ; si donc toutes les classes du genre principal peuvent provenir de la duplication de quelque classe, ce que nous prouverons par la suite, on aurait ou . Mais il est certain que l’on ne peut avoir ni parconséquent . Ainsi, puisque le nombre des genres proprement primitifs ne peut être plus grand que la moitié du nombre des caractères assignables, il y a au moins la moitié de ces derniers qui ne répondent à aucun genre. Au reste, il faut bien remarquer qu’il ne suit pas encore de là, que les genres proprement primitifs répondent en effet à la moitié de ces caractères ; mais nous pourrons, plus bas, tirer cette vérité des propriétés les plus abstraites des nombres.
Comme pour un déterminant négatif, il y a autant de genres négatifs que de positifs, il est clair qu’il n’y a pas plus de la moitié de tous les caractères assignables qui puissent appartenir à des genres proprement primitifs négatifs, nous reviendrons plus bas sur ce sujet, ainsi que sur les genres improprement primitifs. Nous finirons en observant que le théorème n’est pas applicable aux déterminans positifs quarrés, pour lesquels on peut voir sans peine que chaque caractère répond effectivement à un genre.
262. Ainsi, lorsque pour un déterminant donné, non quarré, il ne peut y avoir que deux caractères, il n’y a qu’un genre proprement primitif ( positif ), qui est nécessairement le genre principal. Cela arrive pour les déterminans les nombres premiers de la forme et les nombres premiers de la forme pris négativement, enfin pour toutes les puissances impaires de nombres premiers de la forme prises positivement et pour toutes les puissances des nombres premiers de la forme prises positivement ou négativement, suivant que les exposans sont pairs ou impairs. Nous pouvons déduire de là une nouvelle démonstration, non-seulement pour le théorème fondamental, mais encore pour les autres théorèmes de la section précédente, relatifs aux résidus , , , basée sur des principes tout-à-fait différens, et non moins élégante que la première. Nous ne nous occuperons pas du déterminant et de ceux qui sont des puissances de nombres premiers, parcequ’ils n’apprennent rien de nouveau.
Pour le déterminant , il n’y a aucune forme positive dont le caractère soit ; pour le déterminant , il n’y a absolument aucune forme dont le caractère soit et ; pour le déterminant , il n’y a aucune forme positive dont le caractère soit et . Pour le déterminant , si est un nombre de la forme , ou pour le déterminant , si est un nombre de la forme , aucune forme proprement primitive (positive dans le dernier cas) n’aura le caractère . Cela posé, nous démontrons comme il suit le théorème fondamental, et les autres précités :
1o. est non-résidu de tout nombre positif de la forme . En effet, si est résidu d’un tel nombre , en faisant , serait une forme de déterminant , dont le caractère serait .
2o. est résidu de tout nombre premier de la forme ; car le caractère de la forme , comme celui de toutes les formes de déterminant , sera , donc .
3o. et sont résidus de tout nombre premier de la forme ; car les formes , ou les formes , seront proprement primitives de déterminant , suivant que est impair ou pair ; donc leur caractère est ; donc et ; d’où (no 98) et .
4o. est non-résidu de tout nombre de la forme ou ; car s’il était résidu d’un tel nombre , il y aurait une forme de déterminant dont le caractère serait et .
5o. De même est non-résidu de tout nombre de la forme , ; sans quoi il y aurait une forme de déterminant dont le caractère serait et .
6o. est résidu, de tout nombre premier p de la forme . On peut prouver cette proposition de deux manières. D’abord, étant et aussi, on aura nécessairement (no 98) . Ensuite si l’on considère le déterminant , pour lequel il y a quatre caractères assignables : , et ; , et ; , et ; , et ; la moitié au moins ne répond à aucun genre. Or la forme a le premier caractère, la forme a le quatrième ; donc le deuxième et le troisième doivent être rejetés. Ainsi, comme le caractère de la forme , relativement au nombre , est et , son caractère, relativement à , ne pourra être que ; donc .
7o. est résidu de tout nombre premier de la forme ; on peut de même prouver cette proposition de deux manières. D’abord, étant non-résidu de et aussi, on a nécessairement . Ensuite, comme l’une ou l’autre des formes , est proprement primitive de déterminant , suivant que est pair ou impair, son caractère sera , donc , et partant .
8o. Tout nombre premier de la forme est non-résidu de tout nombre impair qui n’est pas résidu de . Car il est clair que si était résidu de , il y aurait une forme proprement primitive de déterminant dont le caractère serait .
9o. De la même manière, si un nombre quelconque impair est non-résidu d’un nombre premier de la forme , sera non-résidu de ; autrement il y aurait une forme positive, proprement primitive, et de déterminant dont le caractère serait .
10o. Tout nombre premier de la forme est résidu de tout autre nombre premier qui est résidu de . En effet, si est aussi de la forme cette proposition est une suite de la huitième ; mais si est de la forme sera résidu de par la deuxième proposition, et partant, par la neuvième, .
11o. Si un nombre premier quelconque est résidu d’un nombre premier de la forme , sera résidu de ; en effet, si est de la forme , il suit de la proposition 8 que , et partant, par la deuxième, ; mais le cas où est de la forme se soustrait à cette méthode ; cependant on peut facilement le traiter, par la considération du déterminant ; car, des quatre caractères assignables pour ce déterminant : , ; , ; , ; , , il n’y en a que deux qui appartiennent à des genres, et les formes , ayant pour caractères, la première la seconde les deux autres n’appartiennent à aucun genre. Ainsi, comme le caractère de la forme est par hypothèse le caractère de la même forme, à l’égard du nombre doit être et partant
Si l’on suppose, dans la huitième et la neuvième proposition, que désigne un nombre premier, et qu’on les réunisse à la dixième et à la onzième, on aura la démonstration complète du théorème fondamental de la section précédente.
263. Après avoir confirmé le théorème fondamental par une nouvelle démonstration, nous allons nous occuper de distinguer cette moitié des caractères, auxquels nous avons vu qu’il ne répond aucunes formes proprement primitives positives pour un déterminant quelconque non-quarré. Nous y parviendrons d’autant plus facilement que les élémens de cette discussion sont déjà renfermés dans les recherches des nos 147-150. Soit le plus grand quarré qui puisse diviser le déterminant proposé et desorte que ne renferme aucun facteur quarré. Soient encore etc. tous les diviseurs premiers impairs de sera, abstraction faite du signe, le produit de ces diviseurs, ou le double de ce produit. Désignons par l’ensemble des caractères particuliers etc., seul quand et en y joignant le caractère quand et que est impair ou impairement pair ; ou en y joignant les caractères et quand et que est pairement pair ; en y joignant le caractère et ou les deux et quand et que est impair ou pair, ou les deux et quand et que est pair ou impair. Cela posé, il ne répondra aucun genre proprement primitif (positif) à tous les caractères complets qui renfermeront un nombre impair des caractères particuliers . Dans tous les cas, les caractères particuliers qui expriment la relation à l’égard de diviseurs de qui ne sont pas diviseurs de n’influent pas sur la possibilité ou l’impossibilité des genres. Or, par la théorie des combinaisons, on voit aisément que l’on exclut effectivement la moitié de tous les caractères complets assignables.
La démonstration s’établit de la manière suivante :
Des principes de la section précédente, ou des théorèmes que nous venons de démontrer pour la seconde fois, on déduit sans peine que si est un nombre premier impair et positif qui ne divise pas , et auquel s’applique un des caractères rejetés, renfermera un nombre impair de facteurs qui sont non-résidus de , et que parconséquent , et par suite , sera non-résidu de . Or on voit facilement (no 228) qu’on ne peut supposer l’existence d’un quelconque des caractères rejetés, et à-la-fois que ce caractère n’appartienne à aucun facteur d’un produit de tant de nombres premiers avec qu’on voudra ; d’où, réciproquement, il est clair que tout nombre impair positif premier avec , auquel convient un des caractères rejetés, renfermera nécessairement un facteur premier auquel le caractère appartienne, et que partant est non-résidu de ce nombre. Si donc il existait une forme proprement primitive (positive) de déterminant auquel répondît ce caractère, serait non-résidu de tout nombre positif impair premier avec lui, qui pourrait être représenté par cette forme, ce qui est contradictoire avec le théorème du no 154.
On peut prendre pour exemple les classifications données aux nos 230 et 231. Chacun pourra d’ailleurs en augmenter le nombre à volonté.
264. De cette manière, tous les caractères assignables pour un déterminant donné se divisent en deux espèces dont chacune est composée d’un même nombre, et de manière qu’aucune forme proprement-primitive, ne puisse avoir un des caractères de ; mais quant à jusqu’à présent rien n’empêche que chacun des caractères qui y sont contenus n’appartienne à des formes semblables. À l’égard de ces deux espèces de caractères, on remarquera la proposition suivante, qui se déduit facilement de la nature même de ces caractères : Si l’on compose un caractère de avec un caractère de (en feignant qu’il existe des genres qui répondent à cette espèce de caractère, et y appliquant ce qui a été dit no 246) on trouvera un caractère de si l’on compose deux caractères de ou deux caractères de le caractère résultant appartient à À l’aide de ce théorème, on peut aussi exclure la moitié des caractères pour les genres négatifs et improprement primitifs, de la manière suivante :
1o. Pour le déterminant négatif , les genres négatifs sont contraires aux genres positifs, c’est-à-dire, que les caractères de n’appartiendront à aucun genre négatif, et que ces genres n’auront que des caractères de l’espèce . En effet, quand , sera un nombre positif de la forme , et parconséquent parmi les nombres , , , etc. il y en aura un nombre impair de la forme , de chacun desquels sera non-résidu, d’où il suit que le caractère complet de la forme renferme un nombre impair des caractères particuliers de , ou qu’il appartient à . Quand par la même raison, entre les nombres , , , etc., il n’y en aura aucun, ou il y en aura un nombre pair de la forme ; mais comme dans ce cas le caractère complet de la forme renferme l’un ou l’autre des deux caractères particuliers ou , il est clair que ce caractère complet appartient encore à . On obtient sans peine la même conclusion dans les autres cas, desorte que le caractère de la forme négative est toujours compris dans . Mais comme cette forme, composée avec une autre forme quelconque proprement primitive et négative, donne pour résultante une forme semblable positive, on voit facilement qu’aucune forme proprement primitive négative ne peut avoir un des caractères de
2o. On prouve de même, pour les genres improprement primitifs positifs, que la chose a lieu comme pour les genres proprement primitifs, ou d’une manière contraire, suivant que ou , Car dans le premier cas, on aura aussi </noinclude> d’où l'on conclut facilement que parmi les nombres , , , etc., il n’y aura aucun nombre de la forme , et de la forme , ou qu’il y en aura un nombre pair, puisque le produit de tant de nombres impairs qu’on voudra, parmi lesquels les facteurs des formes et sont pris ensemble en nombre impair, est toujours ou , et que le produit , , , etc. doit être égal à ou à . Il suit de là que le caractère complet de la forme ne renferme aucun caractère de ou en renferme un nombre pair, et que partant il appartient à . Maintenant, comme toute forme positive, improprement primitive et de déterminant peut être considérée comme composée de et d’une forme positive proprement primitive et de même déterminant , on voit qu’aucune forme positive improprement primitive ne peut avoir un des caractères de . Dans le second cas, où , au contraire, qui sera aussi renfermera nécessairement un nombre impair de facteurs de la forme , et de la forme , d’où l’on conclut que le caractère de la forme , et partant celui de toute forme positive improprement primitive de déterminant , appartient à , et qu’il n’y en a aucun qui se trouve dans .
3o. Enfin, pour le déterminant négatif, les genres improprement primitifs négatifs sont encore contraires aux positifs ; c’est-à-dire qu’ils n’auront aucun des caractères de ou de , suivant que ou , ou suivant que est de la forme , ou . On déduit facilement cette proposition de ce que la forme dont le caractère est compris dans , composée avec les formes improprement primitives et négatives de même déterminant, donne des formes improprement primitives et positives ; et que parconséquent, quand on exclut pour ces dernières les caractères renfermés dans , on doit exclure pour les premières les caractères renfermés dans P, et réciproquement.
265. Les recherches faites aux nos 257, 258, sur le nombre des classes ambiguës, et qui servent de base à tout ce qui précède, peuvent fournir beaucoup d’autres résultats très-dignes d’attention, que nous sommes forcés de supprimer ; cependant nous ne pouvons passer sous silence le suivant, qui est remarquable par son élégance. Nous avons fait voir que pour un déterminant positif , qui est un nombre premier de la forme , il n’y avait qu’une classe ambiguë proprement primitive ; ainsi toutes les formes ambiguës proprement primitives de ce déterminant, sont proprement équivalentes entre elles. Si donc est le nombre entier immédiatement au-dessous de et que l’on fasse , les formes , seront proprement équivalentes ; et partant, comme elles sont évidemment toutes les deux réduites, l’une sera contenue dans la période de l’autre. En attribuant à la première l’indice dans sa période, celui de la seconde sera nécessairement impair, puisque leurs termes extrêmes sont de différens signes ; supposons-le . On voit facilement que si les formes dont les indices sont , , , etc., sont respectivement
celles dont les indices sont , , , , etc.,
seront
Il suit de là que si la forme dont l’indice est , est , la
même sera ; donc et ;
donc tout nombre de la forme est decomposable en deux
quarrés, proposition que nous avons déjà démontrée (no 182),
mais par des principes tout-à-fait différens. Et nous pouvons parvenir à cette décomposition d’une manière uniforme, en développant la période de la forme réduite dont le premier terme est ,
et dont le déterminant est le nombre à partager, jusqu’à ce que
nous trouvions une forme dont les deux termes extrêmes soient
égaux et désigné contraire. Ainsi, par exemple, pour ,
on a
| , | , | , | |
| , | , | , |
d’où . Au reste, il est clair que la forme devant être proprement primitive, sera nécessairement impair, et partant, pair. Comme pour un déterminant positif qui est un nombre premier de la forme , il n’y
a non plus qu’une seule ambiguë dans l’ordre improprement primitif ; il est clair que si est le nombre impair immédiatement
au-dessous de , et qu’on fasse les formes réduites
, , sont proprement équivalentes, et
partant, l’une doit être comprise dans la période de l’autre : de
là, par des raisonnemens absolument semblables aux précédens,
on conclut que dans la période de la forme , il se
trouvera une forme dont les termes extrêmes sont égaux et de signes
contraires, desorte qu’on peut encore tirer de là la décomposition du
nombre en deux quarrés. Mais il est clair que les termes extrêmes
seront pairs, et partant, celui du milieu impair ; et comme il est
constant qu’un nombre premier ne peut se décomposer que d’une
seule manière en deux quarrés ; la forme trouvée par cette dernière
méthode sera , ou . Ainsi, pour
l’exemple précédent, où on a
et , comme plus haut.
- ↑ Il est essentiel de remarquer que la contradiction qui semble se présenter ici ne provient que de ce que n’a pas la même signification qu’à l’article 1o de ce numéro. En effet, dans le premier cas le facteur ou se trouve compris dans le nombre , tandis qu’il ne l’est pas dans le second. (Note du traducteur.)
