Théorie des fonctions analytiques/Partie III/Chapitre 05

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 377-385).

CHAPITRE V.

Du mouvement d’un corps sur une surface donnée ou assujetti à de certaines conditions. Du mouvement de plusieurs corps liés entre eux. Des équations de condition entre les coordonnées de ces différents corps, et de la manière d’en déduire les forces qui résultent de leur action mutuelle. Démonstration générale du principe des vitesses virtuelles.

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25. Reprenons les formules générales du n^o 15, et supposons que la force $\mathrm {P}$ soit dirigée vers un point ou centre déterminé par les coordonnées $a,b,c\,;$ si l’on nomme $p$ la distance rectiligne de ce centre au point de la courbe qui répond aux coordonnées $x,y,z,$ on aura

$p={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},$

et il est visible que $x-a,\ y-b,\ z-c$ seront les projections de la ligne $p$ sur les axes des $x,y,z\,;$ donc ${\frac {x-a}{p}},\ {\frac {y-b}{p}},\ {\frac {z-c}{p}}$ seront les cosinus des angles que la ligne $p$ fait avec ces axes, c’est-à-dire des angles $\lambda ,\mu ,\nu$ que la direction de la force $\mathrm {P}$ fait avec les mêmes axes. Donc les termes $\mathrm {P} \cos \lambda ,\ \mathrm {P} \cos \mu ,\ \mathrm {P} \cos \nu ,$ dus à la force $\mathrm {P}$ dans les valeurs de $\mathrm {M} x'',\mathrm {M} y'',\mathrm {M} z'',$ pourront être représentés par $\mathrm {P} {\frac {x-a}{p}},\ \mathrm {P} {\frac {y-b}{p}},$ $\mathrm {P} {\frac {z-c}{p}}\,:$ ce sont les forces qui résultent de la décomposition de la force $\mathrm {P}$ suivant les directions des coordonnées $x,y,z.$

Si maintenant on suppose $p$ égale à une constante $d,$ on aura l’équation d’une sphère dont $d$ sera le rayon et dont le centre sera déterminé par les coordonnées $a,b,c\,;$ et la direction de la force $\mathrm {P}$ sera perpendiculaire à la surface de cette sphère. Donc elle sera aussi perpendiculaire à toute autre surface qui passerait par le même point et qui serait tangente à la sphère.

Représentons par $f(x,y,z)=0$ l’équation de la sphère

${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}-d=0\,;$

on aura, en prenant les fonctions primes,

${\frac {x-a}{d}}=f'(x),\quad {\frac {y-b}{d}}=f'(y),\quad {\frac {z-c}{d}}=f'(z),$

et, comme on a supposé $p=d,$ il est clair que les forces dirigées suivant $x,y,z$ et résultantes de la force $\mathrm {P}$ seront exprimées par $\mathrm {P} f'(x),\mathrm {P} f'(y),$$\mathrm {P} f'(z).$

26. Si l’on a une surface représentée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,$

laquelle soit tangente de la sphère dont il s’agit, il faudra, par ce qu’on a vu dans le n^o 40 de la deuxième Partie, que les trois fonctions primes $\operatorname {F} '(x),$$\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$ de cette surface soient proportionnelles aux fonctions primes $f'(x),f'(y),f'(z)$ de la surface de la sphère. Donc, si la force $\mathrm {P}$ agit perpendiculairement à cette surface, il en résultera, suivant les directions de $x,y,z,$ trois forces proportionnelles à $\mathrm {P} \operatorname {F} '(x),\mathrm {P} \operatorname {F} '(y),$ $\mathrm {P} \operatorname {F} '(z).$

Or, si l’on fait abstraction de la force $\mathrm {P} ,$ et qu’on suppose que le corps soit forcé de se mouvoir sur cette surface, il est clair que l’action, ou plutôt la résistance que la surface oppose au corps, ne peut agir que dans une direction perpendiculaire à la surface donc il en résultera, sur le corps, des forces proportionnelles aux fonctions primes $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$ de l’équation $\operatorname {F} (x,y,z)=0$ de la surface.

Donc le même résultat aura lieu aussi si, en faisant abstraction de la surface, on considère seulement l’équation $\operatorname {F} (x,y,z)=0$ comme une équation de condition donnée par la nature de la question mécanique proposée, d’où l’on peut conclure que toute condition du-problème représentée par l’équation $\operatorname {F} (x,y,z)=0$ sera équivalente à des forces proportionnelles aux fonctions primes $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} '(y),\operatorname {F} '(z)$ et dirigées suivant les coordonnées $x,y,z.$ Ainsi, en prenant un coefficient indéterminé $\Pi ,$ il faudra ajouter aux valeurs de $\mathrm {M} x'',\mathrm {M} y'',\mathrm {M} z''$ des équations du n^o 15 les termes $\Pi \operatorname {F} '(x),\Pi \operatorname {F} '(y),\Pi \operatorname {F} '(z).$ La quantité inconnue $\Pi$ devra être éliminée, mais l’équation qu’on aura de moins par cette élimination sera remplacée par l’équation de condition $\operatorname {F} (x,y,z)=0.$

On peut étendre cette conclusion au cas où il y aurait deux équations de condition représentées par

$\operatorname {F} (x,y,z)=0\quad {\text{et}}\quad \Phi (x,y,z)=0\,;$

elles équivaudraient à des forces exprimées par

$\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x),\quad \Pi \operatorname {F} '(y)+\Psi \Phi '(y),\quad \Pi \operatorname {F} '(z)+\Psi \Phi '(z)$

et dirigées suivant $x,y,z,$ qu’il faudrait ajouter aux valeurs de $\mathrm {M} x'',$ $\mathrm {M} y'',\mathrm {M} z''$ (n^o 15), les coefficients $\Pi$ et $\Psi$ étant indéterminés et devant être éliminés.

27. Jusqu’ici nous n’avons considéré qu’un corps isolé. Soient maintenant deux corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ attachés aux extrémités d’un fil inextensible qui passe sur une poulie fixe. Soient $x,y,z$ les coordonnées du corps $\mathrm {M} \,;$ $\xi ,\eta ,\zeta$ celles du corps $\mathrm {N} \,;$ $a,b,c$ les coordonnées du point fixe où est placée la poulie, et $d$ la longueur donnée du fil ; il est clair qu’on aura l’équation

${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0,$

que nous représenterons par

$f(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0.$

Si l’on nomme $\mathrm {T}$ la tension du fil qui agit également sur les deux corps, et qu’on applique ici l’analyse du n^o 25, il est clair que l’action du fil sur les deux corps produira sur le corps $\mathrm {M}$ les forces $\mathrm {T} f'(x),$ $\mathrm {T} f'(y),\mathrm {T} f'(z)$ suivant $x,y,z,$ et sur le corps $\mathrm {N}$ les forces $\mathrm {T} f'(\xi ),$ $\mathrm {T} f'(\eta ),\mathrm {T} f'(\zeta )$ suivant ses coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta .$

Il en serait de même si le fil passait sur deux poulies fixes dont la position dans l’espace fût déterminée par les coordonnées $a,b,c$ pour la première, et par $\alpha ,\beta ,\gamma$ pour la seconde. Alors, en désignant par $d$ la longueur totale du fil, moins la partie interceptée entre les deux poulies, qui est aussi donnée, l’équation de l’inextensibilité du fil donnerait

${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0,$

et, en représentant cette équation par

$f(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

on aurait pareillement $\mathrm {T} f'(x),\mathrm {T} f'(y),\mathrm {T} f'(z)$ pour les forces qui tireraient le corps $\mathrm {M}$ suivant les coordonnées $x,y,z,$ et $\mathrm {T} f'(\xi ),\mathrm {T} f'(\eta ),$ $\mathrm {T} f'(\zeta )$ pour celles qui tireraient le corps $\mathrm {N}$ suivant les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta .$

Enfin, si l’on supposait que le fil auquel est attaché le corps $\mathrm {M} ,$ après avoir passé sur la première poulie fixe, repassât sur le même corps $\mathrm {M}$ et de là sur la même poulie, et de nouveau sur le corps et sur la poulie à plusieurs reprises, de manière qu’il y eût $m$ cordons entre le corps et la poulie ; qu’ensuite le fil, en quittant cette poulie, passât sur la seconde poulie fixe et de là sur le corps $\mathrm {N} ,$ en faisant aussi plusieurs tours entre ce corps et la même poulie avant d’être attaché fixement au corps $\mathrm {N} ,$ de manière qu’il y eût $n$ cordons entre ce corps et la poulie ; comme la tension $\mathrm {T}$ est la même dans toute l’étendue du fil, le corps $\mathrm {M} ,$ étant tiré par $m$ cordons, serait tiré vers la première poulie par une force égale à $m\mathrm {T} ,$ et le corps $\mathrm {N}$ serait tiré vers la seconde poulie par une force égale à $n\mathrm {N} .$ Or il est clair que dans ce cas l’équation qui renferme la condition de l’inextensibilité du fil serait

$m{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+n{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0,$

en désignant toujours par $d$ la longueur totale du fil, moins la longueur interceptée entre les deux poulies et il est facile de voir qu’en représentant cette équation par

$f(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

on aurait aussi, pour les forces qui tireraient le corps $\mathrm {M}$ suivant $x,y,z$ et le corps $\mathrm {N}$ suivant $\xi ,\eta ,\zeta ,$ les mêmes expressions que ci-dessus : $\mathrm {T} f'(x),\mathrm {T} f'(y),\mathrm {T} f'(z),\mathrm {T} f'(\xi ),\mathrm {T} f'(\eta ),\mathrm {T} f'(\zeta ).$

Si l’on suppose que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ soient les forces qui tirent les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ vers les deux poulies fixes, on aura $\mathrm {P} =m\mathrm {T}$ et $\mathrm {Q} =n\mathrm {T} \,;$ donc, puisque $m$ et $n$ doivent être des nombres entiers, si les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont commensurables, il faudra prendre $\mathrm {T}$ pour leur commune mesure ; mais, quelles que soient les forces $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ on peut toujours les représenter par $m\mathrm {T}$ et $n\mathrm {T} ,$ en prenant, dans le cas où elles seraient incommensurables, les nombres $m$ et $n$ très-grands et la quantité $\mathrm {T}$ infiniment petite, et les forces qui tirent les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ suivant leurs coordonnées $x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta$ seront toujours proportionnelles aux fonctions primes de la même équation de condition relatives à ces coordonnées.

28. Maintenant, si au lieu de l’équation de condition

$f(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

dépendante de l’inextensibilité du fil, on a une autre équation quelconque entre les mêmes coordonnées $x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta$ des deux corps, représentée par

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

on peut, en regardant les constantes qui entrent dans la première de ces équations comme arbitraires, faire coïncider non-seulement les équations mêmes, mais encore toutes leurs fonctions primes pour des valeurs données des variables $x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta \,;$ de cette manière, les deux équations deviendront comme tangentes l’une de l’autre, par la théorie des contacts que nous avons donnée dans la deuxième Partie,

et, quelle que soit la liaison des deux corps qui est représentée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

elle deviendra équivalente à celle d’un fil qui passe par deux poulies.

On pourrait croire que, puisque l’équation de condition

${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0,$

pour un fil simple qui passe sur deux poulies fixes, renferme sept constantes arbitraires, elle peut toujours avoir un contact du premier ordre avec une équation quelconque, puisque ce contact ne demande que sept conditions ; mais, en représentant cette équation par

$f(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0$

et prenant ses fonctions dérivées, il est visible qu’on a

$\left[f'(x)\right]^{2}+\left[f'(y)\right]^{2}+\left[f'(z)\right]^{2}=1,\quad \left[f'(\xi )\right]^{2}+\left[f'(\eta )\right]^{2}+\left[f'(\zeta )\right]^{2}=1,$

de sorte qu’on ne pourrait plus satisfaire en général aux conditions du contact :

${\begin{alignedat}{3}f'(x)=&\operatorname {F} '(x),\qquad &f'(y)=&\operatorname {F} '(y),\qquad &f'(z)=&\operatorname {F} '(z),\\f'(\xi )=&\operatorname {F} '(\xi ),&f'(\eta )=&\operatorname {F} '(\eta ),&f'(\zeta )=&\operatorname {F} '(\zeta ).\end{alignedat}}$

Cet inconvénient disparaît en prenant

$m{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+n{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0$

pour l’équation de condition du fil multiple, à cause des nouveaux coefficients indéterminés $m$ et $n,$ et l’on peut dire que l’équation de condition donnée

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0$

produit sur les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les mêmes forces que le fil,

On tire de là cette conclusion que, dans un système de deux corps dont la liaison dépend de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

leur action mutuelle produit sur l’un des corps les forces $\Pi \operatorname {F} '(x),$ $\Pi \operatorname {F} '(y),\Pi \operatorname {F} '(z)$ suivant les trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ et sur l’autre corps les forces $\Pi \operatorname {F} '(\xi ),\Pi \operatorname {F} '(\eta ),\Pi \operatorname {F} '(\zeta )$ suivant les coordonnées rectangles $\xi ,\eta ,\zeta ,$ $\Pi$ étant un coefficient indéterminé.

29. Si le système était composé de trois corps ayant pour coordonnées rectangles $x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} ,$ on trouverait, par un pareil raisonnement, que toute équation entre ces coordonnées dépendante de la liaison des corps et représentée par

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} )=0$

donnerait pour le premier corps les forces $\Pi \operatorname {F} '(x),\Pi \operatorname {F} '(y),\Pi \operatorname {F} '(z)$ suivant $x,y,z,$ pour le second corps les forces $\Pi \operatorname {F} '(\xi ),\Pi \operatorname {F} '(\eta ),\Pi \operatorname {F} '(\zeta )$ suivant $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et pour le troisième les forces $\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {x} ),\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {y} ),\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {z} )$ suivant $\mathrm {x,y,z} ,$ et ainsi de suite si le système était composé d’un plus grand nombre de corps. En effet, quel que soit le nombre des corps et quelle que soit leur liaison, elle ne peut produire sur chaque corps qu’une force déterminée suivant une certaine direction ; or toutes ces forces peuvent être aussi produites par la tension d’un même fil qui passerait successivement et à plusieurs reprises sur les mêmes corps et sur des poulies fixes.

Enfin, s’il y avait entre les mêmes coordonnées une seconde équation de condition représentée par

$\Phi (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} )=0,$

il en résulterait d’autres forces exprimées par $\Psi \Phi '(x),\Psi \Phi '(y),\Psi \Phi '(z)$ pour le premier corps, par $\Psi \Phi '(\xi ),\Psi \Phi '(\eta ),\Psi \Phi '(\zeta )$ pour le second corps et par $\Psi \Phi '(\mathrm {x} ),\Psi \Phi '(\mathrm {y} ),\Psi \Phi '(\mathrm {z} )$ pour le troisième, et suivant les directions des mêmes coordonnées, le coefficient étant indéterminé comme le coefficient $\Pi \,;$ et ainsi de suite s’il y avait un plus grand nombre d’équations de condition.

30. On doit conclure de là, en général, que les forces qui peuvent résulter de l’action mutuelle des corps d’un système donné se déduisent directement des équations de condition qui doivent avoir lieu entre les coordonnées des différents corps du système, en prenant les fonctions primes des fonctions qui sont nulles en vertu de ces équations. Les fonctions primes de la même fonction, prises par rapport aux différentes coordonnées, sont toujours proportionnelles aux forces qui agissent suivant ces coordonnées, et qui dépendent de la condition exprimée par cette fonction.

J’étais déjà arrivé à un résultat semblable dans la Mécanique analytigue, en partant du principe général des vitesses virtuelles, et, en effet, ce principe est renfermé dans le résultat que nous venons de trouver ; car il est évident que, si plusieurs forces appliquées à un système de corps sont en équilibre, elles doivent être égales et directement opposées à celles qui résultent de leur action mutuelle.

Soient $X,Y,Z$ les forces appliquées à l’un des corps suivant les directions des coordonnées $x,y,z$ prolongées, $\Xi ,\Upsilon ,\Sigma$ les forces appliquées à un autre corps suivant le prolongement de ses coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et $\mathrm {X,Y,Z}$ les forces appliquées à un troisième corps suivant le prolongement de ses coordonnées $\mathrm {x,y,z} \,;$ on aura, par ce qu’on vient de démontrer,

${\begin{alignedat}{2}X=&\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x),\quad &Y=&\Pi \operatorname {F} '(y)+\Psi \Phi '(y),\quad &Z=&\Pi \operatorname {F} '(z)+\Psi \Phi '(z),\\\Xi =&\Pi \operatorname {F} '(\xi )+\Psi \Phi '(\xi ),&\Upsilon =&\Pi \operatorname {F} '(\eta )+\Psi \Phi '(\eta ),&\Sigma =&\Pi \operatorname {F} '(\zeta )+\Psi \Phi '(\zeta ),\\\mathrm {X} =&\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {x} )+\Psi \Phi '(\mathrm {x} ),&\mathrm {Y} =&\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {y} )+\Psi \Phi '(\mathrm {y} ),&\mathrm {Z} =&\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {z} )+\Psi \Phi '(\mathrm {z} ),\end{alignedat}}$

et de là on tirera immédiatement

${\begin{aligned}Xx'&+Yy'+Zz'+\Xi \xi '+\Upsilon \eta '+\Sigma \zeta '+\mathrm {Xx'+Yy'+Zz'} \\=&\Pi \operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} )'+\Psi \Phi (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} )'.\end{aligned}}$

Le second membre de cette équation est évidemment nul, en vertu des équations de condition, puisque les quantités indéterminées, se trouvent multipliées par les fonctions primes de ces équations ; donc on aura

$Xx'+Yy'+Zz'+\Xi \xi '+\Upsilon \eta '+\Sigma \zeta '+\mathrm {Xx'+Yy'+Zz'} =0,$

équation générale du principe des vitesses virtuelles pour l’équilibre

des forces $X,Y,Z,\Xi ,\Upsilon ,\Sigma ,\mathrm {X,Y,Z} ,$ dans laquelle les fonctions primes $x',y',z',\xi ',\ldots$ expriment les vitesses virtuelles des points auxquels sont appliquées les forces $X,Y,Z,\Xi ,\ldots$ estimées suivant les directions de ces forces. [Voir la première Partie de la Mécanique analytique^[1]].

Au reste, on ne doit pas être surpris de voir le principe des vitesses virtuelles devenir une conséquence naturelle des formules qui expriment les forces d’après les équations de condition, puisque la considération d’un fil qui par sa tension uniforme agit sur tous les corps et y produit des forces données suffit pour conduire à une démonstration directe et générale de ce principe, comme je l’ai fait voir dans la seconde édition de l’Ouvrage cité.

1. Œuvres de Lagrange, t. XI.