Mécanique analytique/Fragment 1

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 369-370).

FRAGMENTS.

I.

Sur la détermination des orbites des comètes.

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Soient $\mathrm {R}$ la distance de la comète à la Terre, $\mathrm {R} l,\,\mathrm {R} m,\,\mathrm {R} n$ les trois coordonnées de la comète rapportées à la Terre, où

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=1\,;$

$x,\,y,\,z$ les trois coordonnées de l’orbite de la comète autour du Soleil, et $r$ son rayon vecteur ; $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ les trois coordonnées de l’orbite de la Terre, et $\rho$ son rayon vecteur ; on aura

$x=\xi +l\mathrm {R} ,\quad y=\eta +m\mathrm {R} ,\quad z=\zeta +n\mathrm {R} .$

Ensuite

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}}=&0,\qquad &{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}=&0,\\{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}=&0,&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}=&0,&{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}=&0\,;\end{alignedat}}$

donc, substituant, on aura

${\begin{alignedat}{4}&{\frac {d^{2}(l\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\xi +l\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\\&{\frac {d^{2}(m\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\eta +m\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\\&{\frac {d^{2}(n\mathrm {R} )}{dt^{2}}}&-&{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}&+&{\frac {\zeta +n\mathrm {R} }{r^{3}}}&=&0,\end{alignedat}}$

savoir

${\begin{alignedat}{5}&l{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dld\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}l}{dt^{2}}}+{\frac {l}{r^{3}}}\right)&+&\xi \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0,\\&m{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dmd\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}m}{dt^{2}}}+{\frac {m}{r^{3}}}\right)&+&\eta \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0,\\&n{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&2{\frac {dnd\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+&\mathrm {R} \left({\frac {d^{2}n}{dt^{2}}}+{\frac {n}{r^{3}}}\right)&+&\zeta \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)&=&0.\end{alignedat}}$

Multipliant la première par $m\,dn-n\,dm,$ la seconde par $-(l\,dn-n\,dl),$ la troisième par $l\,dm-m\,dl,$ et les ajoutant ensemble, on aura, à cause de

$l(m\,dn-n\,dm)-m(l\,dn-n\,dl)+n(l\,dm-m\,dl)=0,$

${\begin{aligned}\mathrm {R} &{\frac {(m\,dn-n\,dm)d^{2}l-(l\,dn-n\,dl)d^{2}m+(l\,dm-m\,dl)d^{2}n}{dt^{2}}}\\&+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)\left[\xi (m\,dn-n\,dm)-\eta (l\,dn-n\,dl)+\zeta (l\,dm-m\,dl)\right]=0.\end{aligned}}$

Ainsi l’on aura

$\mathrm {R} =\mu \left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)\,;$

mais

$r^{2}=\rho ^{2}+2(l\xi +m\eta +n\zeta )\mathrm {R+R} ^{2}\,;$

donc

$r^{2}=\rho ^{2}+2\mu (l\xi +m\eta +n\zeta )\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)+\mu ^{2}\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)^{2}\,;$

savoir

$\left(r^{2}-\rho ^{2}\right)\rho ^{6}r^{6}+2\mu (l\xi +m\eta +n\zeta )\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)\rho ^{3}r^{3}-\mu ^{2}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)^{2}=0\,;$

équation du huitième degré, mais qui est évidemment divisible par $r-\rho ,$ ce qui la rabaisse au septième.