Mécanique analytique/Fragment 2

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 370-376).

II.

Sur le mouvement de rotation (voir p. 226).

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Faisons, comme dans l’article 1,

$x=x'+\xi ,\qquad y=y'+\eta ,\qquad z=z'+\zeta$

et

${\begin{aligned}\xi =&a\xi '+b\xi ''+c\xi ''',\\\eta =&a\eta '+b\eta ''+c\eta ''',\\\zeta =&a\zeta '+b\zeta ''+c\zeta '''.\end{aligned}}$

Ces formules représentent naturellement les trois espèces de mouvements dont un système est susceptible. Les variables $x',\,y',\,z'$ sont les coordonnées d’un point du système qu’on peut regarder comme son centre, et elles déterminent le mouvement commun de tout le système. Les neuf variables $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\ldots ,$ entre lesquelles il y a six équations de condition (art. 2), déterminent le mouvement de rotation de tout le système autour de son centre. Enfin les quantités $a,\,b,\,c$ ne dépendent que des distances mutuelles des corps et servent à déterminer leurs mouvements réciproques.

En prenant le centre du système dans un point fixe, lorsqu’il y en a un dans le système, ou dans son centre de gravité, lorsque le système est libre, on a la formule générale (Sect. III, art. 6)

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}\xi d\xi +d^{2}\eta d\eta +d^{2}\zeta d\zeta }{dt^{2}}}+\mathrm {X} d\xi ++\mathrm {Y} d\eta ++\mathrm {Z} d\zeta \right)=0,$

à laquelle il faudra ajouter les termes

$\lambda \delta \mathrm {L} +\mu \delta \mathrm {M} +\nu \delta \mathrm {N} +\ldots$

dus aux équations de condition

$\mathrm {L} =0,\quad \mathrm {M} =0,\quad \mathrm {N} =0,\quad \ldots ,$

pour avoir l’équation générale du mouvement du système (Sect. IV, art. 11).

Il faut maintenant substituer à la place des variables $\xi ,\eta ,\zeta$ leurs valeurs en $a,\,b,\,c,\,\xi ',\,\xi '',\ldots$ de l’article précédent. Or, si dans les expressions de $d\xi ,\,d\eta ,$ $d\zeta$ de l’article 14 on change, ce qui est permis, la caractéristique $d$ en $\delta ,$ on a

${\begin{aligned}\delta \xi =&\xi '\delta a'+\xi ''\delta b'+\xi '''\delta c',\\\delta \eta =&\eta '\delta a'+\eta ''\delta b'+\eta '''\delta c',\\\delta \zeta =&\zeta '\delta a'+\zeta ''\delta b'+\zeta '''\delta c',\end{aligned}}$

les valeurs de $da',\,db',\,dc'$ étant

${\begin{aligned}\delta a'=&\delta a+c\delta \mathrm {Q} -b\delta \mathrm {R} ,\\\delta b'=&\delta b+a\delta \mathrm {R} -c\delta \mathrm {P} ,\\\delta c'=&\delta c+b\ \delta \mathrm {P} -a\delta \mathrm {Q} \,;\end{aligned}}$

et si l’on fait ces substitutions conjointement à celles de $d^{2}\xi ,\,d^{2}\eta ,\,d^{2}\zeta$ de l’article cité, dans l’expression $d^{2}\xi \delta \xi +d^{2}\eta \delta \eta +d^{2}\zeta \delta \zeta ,$ elle devient, en vertu des équations de condition de l’article 6,

$d^{2}a''\delta a'+d^{2}b''\delta b'+d^{2}c''\delta c'.$

De même la quantité $\mathrm {X} \delta \xi +\mathrm {Y} \delta \eta +\mathrm {Z} \delta \zeta$ se change en celle-ci

$\mathrm {X} '\delta a'+\mathrm {Y} '\delta b'+\mathrm {Z} '\delta c',$

en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {X'=\xi '\ \,X+\eta '\ \,Y+\zeta '\ \,Z} ,\\&\mathrm {Y'=\xi ''\ X+\eta ''\ Y+\zeta ''\ Z} ,\\&\mathrm {Z'\ =\xi '''X+\eta '''Y+\zeta '''Z} .\end{aligned}}$

En supposant le système libre de tourner en tout sens autour de son centre, il est facile de voir que les équations de condition

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \mathrm {N} =0,\quad \ldots ,$

données par la nature du système, ne pourront contenir les coordonnées $a,\,b,\,c$ qui déterminent la disposition des corps entre eux. Ainsi les quantités $\mathrm {L,\,M,\,N} ,\ldots$ ne pourront être fonctions que des $a,\,b,\,c$ relatives aux différents corps.

Ainsi, en égalant séparément à zéro les termes de l’équation générale qui se trouveront multipliés par les variations $\delta \mathrm {P,\,\delta Q,\,\delta R} ,$ qui sont communes à tous les corps du système, et ceux qui seront multipliés par les variations $\delta a,\,\delta b,\,\delta c$ relatives à chacun de ces corps, on aura d’abord, pour tout le système en général, les trois équations

_S$\mathrm {m} \left({\frac {ad^{2}b''-bd^{2}a''}{dt^{2}}}+a\mathrm {Y} '-b\mathrm {X} '\right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left({\frac {cd^{2}a''-ad^{2}c''}{dt^{2}}}+c\mathrm {X} '-a\mathrm {Z} '\right)=0,$

_S$\mathrm {m} \left({\frac {bd^{2}c''-cd^{2}b''}{dt^{2}}}+b\mathrm {Z} '-c\mathrm {Y} '\right)=0\,;$

ensuite on aura, pour chacun des corps du système, les équations

${\begin{alignedat}{5}&\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}a''}{dt^{2}}}+\mathrm {X} '\right)&+&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial a}}&+&\mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial a}}&+&\nu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial a}}&+&\ldots =0,\\&\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}b''}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} '\right)&+&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial b}}&+&\mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial b}}&+&\nu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial b}}&+&\ldots =0,\\&\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}c''}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} '\right)&+&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial c}}&+&\mu {\frac {\partial \mathrm {M} }{\partial c}}&+&\nu {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial c}}&+&\ldots =0.\end{alignedat}}$

Et si le système est un corps solide composé d’éléments $\operatorname {D} m$ pour lesquels les coordonnées $a,b,c$ sont constantes relativement au temps $t,$ on a

$da=0,\qquad db=0,\qquad dc=0\,;$

donc

$da'=c\,d\mathrm {Q} -b\,d\mathrm {R} ,\qquad db'=a\,d\mathrm {R} -c\,d\mathrm {P} ,\qquad dc'=b\,d\mathrm {P} -a\,d\mathrm {Q} ,$

et de là

${\begin{alignedat}{6}&d^{2}a''&=&c\,d^{2}\mathrm {Q} &-&b\,d^{2}\mathrm {R} &+&b\,d\mathrm {P} d\mathrm {Q} &+&c\,d\mathrm {P} d\mathrm {R} &-&a\left(d\mathrm {Q} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}\right),\\&d^{2}b''&=&a\,d^{2}\mathrm {R} &-&c\,d^{2}\mathrm {P} &+&a\,d\mathrm {P} d\mathrm {Q} &+&c\,d\mathrm {Q} d\mathrm {R} &-&b\left(d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}\right),\\&d^{2}c''&=&b\,d^{2}\mathrm {P} &-&a\,d^{2}\mathrm {Q} &+&a\,d\mathrm {P} d\mathrm {R} &+&b\,d\mathrm {Q} d\mathrm {R} &-&c\left(d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}\right).\end{alignedat}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans les équations précédentes, qu’on prenne pour axes des coordonnées $a,\,b,\,c$ les trois axes principaux du corps, ce qui donnera (Sect. III, art. 28)

_S$ab\operatorname {D} \mathrm {m} =0,\qquad$_S$ac\operatorname {D} \mathrm {m} =0,\qquad$_S$bc\operatorname {D} \mathrm {m} =0$

et qu’on fasse

_S$a^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =l,\qquad$_S$b^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =m,\qquad$_S$c^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =n,$

on aura, en supposant nulles les forces accélératrices,

${\begin{aligned}(l\,\ +m){\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+(l\ \,-m){\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt^{2}}}=0,\\(l\,\ +\,n){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}&+(n\ -l\ \ )\,{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt^{2}}}=0,\\(m+\,n){\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}&+(m-n\ ){\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt^{2}}}=0.\end{aligned}}$

Ces équations s’accordent avec celles que nous avons trouvées d’une manière différente dans la Section III, puisque les quantités ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ sont les vitesses de rotation autour des trois axes principaux du corps, qui étaient désignées par ${\dot {\psi }},\,{\dot {\omega }},\,{\dot {\varphi }}$ dans les équations de l’article cité. Elles prouvent en même temps la justesse de celles-ci, sur laquelle on pouvait avoir quelques doutes à cause du passage des axes fixes aux axes mobiles ; mais l’analyse précédente, en rendant la formule générale indépendante de la position des axes de rotation, rend ce passage légitime.

Dans le même cas d’un corps solide qui n’est animé par aucune force accélératrice, nous avons vu que les équations des aines sont intégrables (Sect. III, art. 9). Si donc on fait les substitutions précédentes dans les équations intégrales, on aura des équations qui seront les intégrales de celles de l’article précédent.

Substituons d’abord les valeurs de $\xi ,\eta ,d\xi ,d\eta$ dans l’expression $\xi d\eta -\eta d\xi ,$ on aura

${\begin{aligned}\xi d\eta -\eta d\xi =(b\,dc'-c\,db')(\xi ''\eta '''-\eta ''\xi ''')+&(c\,da'-a\,dc')(\eta '\xi '''-\xi '\eta ''')\\+&(a\,db'-b\,da')(\xi '\eta ''-\eta '\xi '')\end{aligned}}$

savoir, par les formules de l’article 6,

$\xi d\eta -\eta d\xi =(b\,dc'-c\,db')\zeta '+(c\,da'-a\,dc')\zeta ''+(a\,db'-b\,da')\zeta '''.$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}\zeta d\xi -\xi d\zeta =&(b\,dc'-c\,db')\eta '+(c\,da'-a\,dc')\eta ''+(a\,db'-b\,da')\eta ''',\\\eta d\zeta -\zeta d\eta =&(b\,dc'-c\,db')\xi '+(c\,da'-a\,dc')\xi ''+(a\,db'-b\,da')\xi '''.\end{aligned}}$

Si l’on multiplie ces expressions par ${\frac {\operatorname {D} m}{dt}},$ qu’on les affecte du signe _S, et qu’après avoir substitué les valeurs de $da',\,db',\,dc'$ on fasse

$da=0,\qquad db=0,\qquad dc=0,$

S$ab\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$b^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =m,$		S$bc\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$
S$a^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =t,$		S$ac\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$c^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$

qu’ensuite on les égale aux constantes $\mathrm {C,\,B,\,A} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{4}&(m+n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\zeta '&+&(l+n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\zeta ''&+&(l+m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\zeta '''&=&\mathrm {C} ,\\&(m+n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\eta '&+&(l+n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\eta ''&+&(l+m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\eta '''&=&\mathrm {B} ,\\&(m+n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\xi '&+&(l+n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\xi ''&+&(l+m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\xi '''&=&\mathrm {A} \,;\end{alignedat}}$

d’où l’on tire tout de suite, par les équations de condition de l’article 3,

${\begin{alignedat}{5}&(m&+&n){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&=&\mathrm {A} \xi '&+&\mathrm {B} \eta '&+&\mathrm {C} \zeta ',\\&(l&+&n){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}&=&\mathrm {A} \xi ''&+&\mathrm {B} \eta ''&+&\mathrm {C} \zeta '',\\&(l&+&m){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&=&\mathrm {A} \xi '''&+&\mathrm {B} \eta '''&+&\mathrm {C} \zeta '''.\end{alignedat}}$

Ces équations s’accordent avec celles de l’article 31 de la Section III, dans lesquelles ${\dot {\psi '}},\,{\dot {\omega '}},\,{\dot {\varphi '}}$ sont la même chose que ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},$ et où les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots$ répondent à $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\,\eta ',\,\eta '',\ldots .$

Si l’on ajoute ensemble les carrés des trois équations précédentes, on a tout de suite une équation entre $d\mathrm {P} ,\,d\mathrm {Q} ,\,d\mathrm {R}$ et $dt,$ en vertu des équations de condition de l’article 5 ; cette équation est

$(m+n)^{2}{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+n)^{2}{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+m)^{2}{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} ,$

par laquelle on peut déterminer une des trois variables ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ par les deux autres.

On peut, dans le même cas d’un corps solide qui n’est animé par aucune force accélératrice, avoir une seconde équation entre ces variables, par l’équation des forces vives ; car, en ajoutant ensemble les carrés des quantités ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\eta }{dt}},\,{\frac {d\zeta }{dt}},$ on a (art. 13), à cause des équations de condition,

${\frac {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}+d\zeta ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {da'^{2}+db'^{2}+dc'^{2}}{dt^{2}}}\,;$

donc, en affectant tous les termes du signe _S, après les avoir multipliés par $\operatorname {D} \mathrm {m} ,$ on aura, en général, pour un système quelconque, lorsqu’il n’y a point de forces accélératrices (Sect. III, art. 35),

_S$\left({\frac {da'^{2}+db'^{2}+dc'^{2}}{dt^{2}}}\right)\operatorname {D} \mathrm {m} =\mathrm {E} .$

Dans le cas d’un corps solide, on a

$da=0,\qquad db=0,\qquad dc=0\,;$

donc

${\begin{aligned}da'^{2}=&c^{2}\ d\mathrm {Q} ^{2}-2bc\,d\mathrm {Q} d\mathrm {R} +b^{2}d\mathrm {R} ^{2},\\db'^{2}=&a^{2}\,d\mathrm {R} ^{2}-2ac\,d\mathrm {P} d\mathrm {R} +c^{2}d\mathrm {P} ^{2},\\dc'^{2}=&b^{2}\ d\mathrm {P} ^{2}-2ab\,d\mathrm {P} d\mathrm {Q} +a^{2}d\mathrm {Q} ^{2}.\end{aligned}}$

Donc, supposant comme ci-dessus

	S$ab\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$ac\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$		S$bc\operatorname {D} \mathrm {m} =0,$
et
	S$a^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =t,$		S$b^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =m,$		S$c^{2}\operatorname {D} \mathrm {m} =n,$

on aura

$(m+n){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+n){\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt^{2}}}+(l+m){\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {E} .$

On a ainsi deux des trois variables ${\frac {d\mathrm {P} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ exprimées par la troisième, mais on ne peut avoir la valeur de celle-ci que par l’intégration d’une des trois équations différentielles précédentes. Ensuite, pour avoir la valeur finie

des coordonnées $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ d’un point quelconque du corps, il faudra encore connaître les valeurs des quantités $\xi ',\,\xi '',\,\xi ''',\ldots \,;$ et l’on y parviendra en combinant les six équations de condition entre ces neuf quantités, comme il a été dit (Sect. IX, art. 29).