NOTES.
NOTE I.
Sur la convergence des séries ordonnées suivant les puissances de l’excentricité qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique ; par M. V. Puiseux.
Nommons
l’anomalie moyenne d’une planète,
l’anomalie excentrique,
l’excentricité de l’orbite, de sorte qu’on ait l’équation
![{\displaystyle u-e\sin u=\zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca326ed29dfdd0885658938a4caf96fe003d4957)
on peut désirer de savoir dans quel cas la variable
et les fonctions finies et continues de cette variable peuvent être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de ![{\displaystyle e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555e31662b6063bc8e8afb6c4c83a46101db0cb9)
Pour répondre à cette question, observons d’abord que,
étant regardée comme une constante réelle et
comme une variable réelle ou imaginaire, l’équation transcendante
![{\displaystyle u-e\sin u=\zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fad124a461f9ccc03ba87c54106c78276a7442a)
détermine pour chaque valeur de
une infinité de valeurs de
dont l’une se réduit à zéro pour
tandis que les autres deviennent infinies. Généralement, les valeurs de
correspondantes à une valeur de
sont inégales ; mais, pour certaines valeurs de
deux valeurs de
deviennent égales, et, par conséquent, vérifient à la fois les deux équations
![{\displaystyle u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57eca33dfb226ab0107cdc9a4d4f0d0dedae96c)
dont la seconde est la dérivée de la première prise par rapport à
Parmi ces valeurs de
il y en a une dont le module est le plus petit ; nous nommerons
ce plus petit module, lequel dépend d’ailleurs de la constante ![{\displaystyle \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8843b83e5b60116bafbba232629752394ad08e56)
Cela posé, si l’on assujettit le module de
à rester moindre que
et la variable
à s’annuler pour
sera une fonction de
complètement déterminée et qui, pour les valeurs réelles de
se confondra avec l’anomalie excentrique du mouvement des planètes ; de plus, cette fonction et les fonctions finies et continues de celle-là pourront être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de
Ces propositions, qui résultent de théorèmes bien connus[1], étant admises, la question revient à déterminer le module
ou plutôt, comme ce module dépend de
à trouver le minimum des valeurs de
qui répondent aux diverses valeurs de
c’est ce que nous allons faire en suivant la marche tracée par M. Cauchy.
Nommons
la base des logarithmes népériens, et soit
![{\displaystyle e=a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9f81a4f7d43442b2eb0b0e84f57794f4cc5c57)
la valeur de
qui a le module
cette valeur de
jointe à une valeur convenable de
vérifie à la fois les équations
![{\displaystyle u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6f4070e361bbb934f8bcfad2f21fca851f98c4)
On trouve, en différentiant la première par rapport à ![{\displaystyle \zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2579c0a35d39cc67c4fab7a644b786cf6d22ec16)
![{\displaystyle (1-e\cos u){\frac {du}{d\zeta }}-\sin u{\frac {de}{d\zeta }}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899b907b782b2a86339cf41038d4020ea42494f0)
ou simplement, en ayant égard à la seconde,
![{\displaystyle -\sin u{\frac {de}{d\zeta }}=1,\qquad {\frac {de}{d\zeta }}=-{\frac {1}{\sin u}}=-{\frac {e}{u-\zeta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee190a4bef113cdb5a3b4ca49655aeade795d9ed)
Mais l’équation
![{\displaystyle e=a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e9f81a4f7d43442b2eb0b0e84f57794f4cc5c57)
nous donne
![{\displaystyle {\frac {de}{d\zeta }}=e^{\alpha {\sqrt {-1}}}{\frac {da}{d\zeta }}+a\varepsilon ^{\alpha {\sqrt {-1}}}{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e52cd6d176224162105ef78730d0ca10ef6fdfa1)
et, par suite,
![{\displaystyle {\frac {1}{e}}{\frac {de}{d\zeta }}={\frac {1}{a}}{\frac {da}{d\zeta }}+{\frac {d\alpha }{d\zeta }}{\sqrt {-1}}={\frac {d\log a}{d\zeta }}+{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf49bc0147a384db499b10e547d64677a5a6b780)
Mettant pour
sa valeur
il vient
![{\displaystyle -{\frac {1}{u-\zeta }}={\frac {d\log a}{d\zeta }}+{\frac {da}{d\zeta }}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0556733ca497202fbe34a499444a084d12d51327)
Supposons maintenant la constante
telle que
prenne sa valeur minimum ; on aura
![{\displaystyle {\frac {d\log a}{d\zeta }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a72e3a377d84238e0073824635745d5da391b2)
et l’équation précédente montre qu’alors la partie réelle de
sera nulle ; il en sera de même, par conséquent, de la partie réelle de
et l’on pourra poser
![{\displaystyle u-\zeta =\rho {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564950881cd75cf08d819ac0799caead3f5b2dc5)
étant une quantité réelle, ou bien
![{\displaystyle u=\zeta +\rho {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714e71b7ff9ceb5e54023f66a3b1d386848b4453)
Portons cette valeur de
dans la relation
![{\displaystyle (u-\zeta )\cos u=\sin u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff591c20fa7a788cd1fb48b80d3262f934f304be)
qui résulte de l’élimination de
entre les deux équations
![{\displaystyle u-e\sin u=\zeta ,\qquad 1-e\cos u=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d36634a3c4a7107fc0283346cf1113bc427ed4f)
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho {\sqrt {-1}}\left[\cos \zeta \cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)-\sin \zeta \sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\qquad =\sin \zeta \cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)+\cos \zeta \sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f3c3fa541a947a881436fdf05bf65543f27ec7)
ou bien
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \zeta \left[\rho {\sqrt {-1}}\cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)-\sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right]\\&\qquad =\sin \zeta \left[\cos \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)+\rho {\sqrt {-1}}\sin \left(\rho {\sqrt {-1}}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d9e54b34e9029f83a14503e130ee374ccbac72)
ou encore
![{\displaystyle {\sqrt {-1}}\cos \zeta \left(\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)=\sin \zeta \left({\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3e684b6853768adfada61e64b97a9c36383207)
Chaque membre de cette dernière équation doit être nul séparément ; on peut donc poser, ou
![{\displaystyle \rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,\qquad {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a6d12d004ffa9c8b17074a6f7acd9dcf7594a9)
ou encore
![{\displaystyle \cos \zeta =0,\quad {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac051d88d4bd36386772f58a8795ec56e0897e4a)
ou enfin
![{\displaystyle \sin \zeta =0,\qquad \rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd28951d6cf9dc5ee5809e5b61ee07592871d5e3)
La première solution doit être rejetée, car on en conclurait
![{\displaystyle \left(\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-{\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\varepsilon ^{\rho }+\varepsilon ^{-\rho }}{2}}-\rho {\frac {\varepsilon ^{\rho }-\varepsilon ^{-\rho }}{2}}\right)^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4608e17e85bbd5fad167614a9b5b8ce5d1a02de5)
ou bien
![{\displaystyle (1-\rho )^{2}\varepsilon ^{2\rho }+(1+\rho )^{2}\varepsilon ^{-2\rho }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b55d54446893bcb39f0500fc1946c4860d0940d)
équation impossible,
étant réel. La seconde solution nous donne
[2] et l’équation en
peut s’écrire
![{\displaystyle 1+{\frac {\rho ^{2}}{1.2}}+{\frac {\rho ^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots -\left({\frac {\rho ^{2}}{1}}+{\frac {\rho ^{4}}{1.2.3}}+\ldots \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfaa582c8b194a0b575d508cb5d157df72bf3153)
ou
![{\displaystyle {\frac {\rho ^{2}}{1.2}}+{\frac {3\rho ^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {5\rho ^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d946d933031e424e863e1961add12e13a8fe5d7)
on voit que la quantité réelle et positive
n’a qu’une seule valeur ; en la déterminant par des essais successifs et extrayant la racine carrée, on trouve
![{\displaystyle \rho =\pm 1{,}1996785\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc45d2fb55e56621fce74e70481c26f45e6738f)
On a ensuite
![{\displaystyle e\sin u=u-\zeta =\rho {\sqrt {-1}},\qquad e\cos u=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d448a5bd7614bddbb63119dd95b2934b1ca422)
d’où, en ajoutant les carrés,
![{\displaystyle e^{2}=1-\rho ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e1cc880871654886ac6e2847d985dca797d81f)
et, par conséquent,
![{\displaystyle e=\pm {\sqrt {1-\rho ^{2}}}=\pm {\sqrt {\rho ^{2}-1}}{\sqrt {-1}}=\pm 0{,}662\ 7432\ldots {\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d418fc0ff7ad4599598951e588d9195f64d68)
Pour savoir si le module
de
est un maximum ou un minimum, il faut chercher si, en adoptant pour
cette valeur, on obtient pour
une quantité négative ou positive. Or l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\log a}{d\zeta }}=-{\frac {1}{u-\zeta }}-{\frac {d\alpha }{d\zeta }}{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5295be265cfa64b9c4b116005538d74565caec8)
nous donne
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {1}{(u-\zeta )^{2}}}\left({\frac {du}{d\zeta }}-1\right)-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c1d1c40f0e6726f906ae956d44338d4d73645e)
Mais de l’équation
![{\displaystyle 1-e\cos u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3316427d90f0d926757b194ee6354b529b9d9112)
nous tirons
![{\displaystyle e\sin u{\frac {du}{d\zeta }}=\cos u{\frac {de}{d\zeta }}=-{\frac {\cos u}{\sin u}}=-{\frac {e\cos u}{e\sin u}}=-{\frac {1}{u-z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10faa6b269007bbb4fc8e501217162985599d2e)
![{\displaystyle {\frac {du}{d\zeta }}=-{\frac {1}{(u-\zeta )e\sin u}}=-{\frac {1}{(u-\zeta )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5462644eaab4586a7a7b9a81a4a165d25296d636)
Il en résulte
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {(u-\zeta )^{2}+1}{(u-\zeta )^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da21cdeab7c9bc6d507ae0db2bb5018537b3067)
ou bien, en remplaçant
par ![{\displaystyle \rho {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8944233df29715dfa1560e0e82e8d8a904c852)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f879d13d42ef75e1e8fdcb1d76b7b7d330b16388)
Mais, le premier membre étant réel, le second doit l’être aussi ; on a donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81966eb26ed2367a754f1e6be6a8190f7e53725)
et, par suite,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94889909d3f84fb3ae89e758355e3edc42ed2e22)
Le nombre
surpassant l’unité, on voit par là que
est une quantité positive, et qu’ainsi la valeur
de
correspondante à
est bien un minimum.
La troisième solution nous donnerait
![{\displaystyle \sin \zeta =0,\quad \zeta =0\ \ {\text{ou}}\ \ \pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1326497cf4e523457253b97a7f5c483f99b0a5d3)
on aurait en même temps
![{\displaystyle \rho {\frac {e^{\rho }+e^{-\rho }}{2}}-{\frac {e^{\rho }-e^{-\rho }}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a531836060589b99a6acdc3659f7d36f6d3c1a3)
ou
![{\displaystyle {\frac {2\rho ^{2}}{1.2.3}}+{\frac {4\rho ^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847713d88a7bc59be9241afa6e1e155fcdc2c2a5)
par suite
![{\displaystyle \rho =0,\quad e=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1049964588696ae5455f99ccbca05f758b61acc)
Il s’ensuivrait
mais cette valeur de
ne peut être qu’un maximum, puisque, pour
est un minimum, et qu’entre
et
il n’y a pas de maximum, non plus qu’entre
et ![{\displaystyle \zeta =\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdf3bd2c621e119579cb5d208851bcb14693120)
Le nombre trouvé ci-dessus
est donc bien le seul minimum de
et ce minimum répond à
Ainsi les développements en série dont on fait usage dans la théorie du mouvement elliptique sont toujours convergents, tant que l’excentricité
est inférieure à
dès que l’excentricité dépasse cette limite, les séries cessent d’être convergentes, si l’anomalie moyenne est égale à
Mais, si l’anomalie moyenne est différente de
ces mêmes séries resteront convergentes jusqu’à des valeurs de
supérieures à
et d’autant plus voisines de
que l’anomalie moyenne est elle-même plus voisine de zéro ou de