Mécanique analytique/Notes du volume 2/Note 2

J.-A. Serret

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 346-349).

NOTE II.

Sur la solution particulière que peut admettre le problème du mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances ; par M. J.-A. Serret.

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Lagrange a remarqué, au Chapitre III de la Section VII^[1], que, dans le problème du mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances, la trajectoire du mobile peut être une ellipse ou une hyperbole qui a pour foyers les deux centres fixes. Et la même chose peut encore avoir lieu, si l’on ajoute un troisième centre fixe placé au milieu de la droite qui joint les deux premiers et doué d’une action proportionnelle à la simple distance. Le raisonnement employé par Lagrange pour établir cette proposition laisse quelque chose à désirer, ainsi que nous en avons déjà fait l’observation ; l’objet que nous avons en vue dans cette Note est de donner une démonstration rigoureuse du point dont il s’agit.

Nous conserverons toutes les notations de l’auteur ainsi la distance des deux premiers centres fixes sera $h\,;$ nous prendrons pour coordonnées du mobile les distances $r,q$ à ces deux centres et l’angle $\varphi$ que forme la projection de $r$ sur un plan perpendiculaire à $h$ avec une droite fixe située dans ce même plan ; enfin, nous poserons $r+q=s$ et $r-q=u.$ La force proportionnelle à la distance, et qui est dirigée vers le troisième centre fixe dont nous avons parlé plus haut, peut être décomposée en deux autres dirigées suivant les rayons $r$ et $q$ et respectivement proportionnelles à ces rayons ; en sorte que le mobile sera sollicité par les deux seules forces

${\frac {\alpha }{r^{2}}}+2\gamma r,\qquad {\frac {\beta }{q^{2}}}+2\gamma q,$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ désignant des constantes données. En nommant $\mathrm {B,\,C,\,H}$ les constantes introduites par les trois premières intégrations et en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {S} =&-{\frac {\gamma }{4}}s^{6}+\left(\mathrm {H} +{\frac {\gamma h^{2}}{4}}\right)s^{4}\,+(\alpha +\beta )s^{3}+\mathrm {C} s^{2}\,-h^{2}(\alpha +\beta )s-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2},\\\mathrm {U} =&-{\frac {\gamma }{4}}u^{6}+\left(\mathrm {H} +{\frac {\gamma h^{2}}{4}}\right)u^{4}+(\alpha -\beta )u^{3}+\mathrm {C} u^{2}-h^{2}(\alpha -\beta )u-\mathrm {H} h^{4}-\mathrm {B} ^{2},\end{aligned}}$

le problème se trouve ramené aux équations suivantes, où les variables sont séparées, savoir

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}-{\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}&=0,\\d\varphi ={\frac {\mathrm {B} h^{2}ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {S} }}}}-&{\frac {\mathrm {B} h^{2}du}{\left(u^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {U} }}}},\\dt\,\ ={\frac {s^{2}ds}{4{\sqrt {\mathrm {S} }}}}-{\frac {u^{2}du}{4{\sqrt {\mathrm {U} }}}}\,;&\end{aligned}}\right.$

les deux premières de ces équations appartiennent à la trajectoire et la troisième fait connaître l’élément du temps. Les constantes $\mathrm {B,\,C,\,H}$ peuvent être déterminées en se donnant la position du mobile et sa vitesse au commencement du mouvement. Nous supposerons que cette détermination ait été faite, et alors, en désignant par $r_{0},\,s_{0},\,\varphi _{0}$ les valeurs initiales de $r,\,s,\,\varphi ,$ les équations intégrales du problème seront

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\int _{s_{0}}^{s}{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}-\int _{u_{0}}^{u}{\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}&=0,\\\varphi =\varphi _{0}+\mathrm {B} h^{2}\int _{s_{0}}^{s}{\frac {ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {S} }}}}&-\mathrm {B} h^{2}\int _{u_{0}}^{u}{\frac {du}{\left(u^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {U} }}}},\\t\,={\frac {1}{4}}\int _{s_{0}}^{s}{\frac {s^{2}ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}}-{\frac {1}{4}}\int _{u_{0}}^{u}{\frac {u^{2}du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}.\end{aligned}}\right.$

Dans le cas général, les intégrales contenues dans les équations (2) sont des fonctions abéliennes, mais elles se réduisent à de simples fonctions elliptiques dans le cas de $\gamma =0.$ On voit que généralement les coordonnées $s$ et $u$ dépendent l’une de l’autre ; en d’autres termes, ces quantités sont toutes deux variables. Cependant il peut arriver que la trajectoire du mobile soit une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers et pour centre les trois centres fixes ; c’est ce que nous allons expliquer.

La première des équations (1), où $\mathrm {B,\,C,\,H}$ ont des valeurs déterminées, admet, outre son intégrale générale, la solution particulière

$\mathrm {SU} =0,$

en sorte qu’on pourra la vérifier en prenant pour $s$ l’une des racines de $\mathrm {S} =0,$ ou pour $u$ l’une des racines de $\mathrm {U} =0.$ Mais, pour que cette solution particulière puisse convenir à notre problème, il faut d’abord que la valeur initiale $\mathrm {S} _{0}$ ou $\mathrm {U} _{0}$ de $\mathrm {S}$ ou $\mathrm {U}$ soit nulle ; il faut donc que l’on ait

$\left({\frac {ds}{dt}}\right)_{0}=0\quad {\text{ou}}\quad \left({\frac {du}{dt}}\right)_{0}=0,$

l’indice $0$ indiquant qu’il faut substituer $s_{0}$ ou $u_{0}$ à $s$ ou à $u.$

En outre, cette condition, qui est nécessaire, n’est pas suffisante ; car la solution particulière ne peut résoudre notre problème que si la solution générale indiquée par les équations (2) est en défaut ce qui ne peut arriver que si les intégrales définies qu’elles contiennent deviennent infinies. Or, pour que les intégrales

$\int _{s_{0}}^{s}{\frac {ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}},\qquad \int _{s_{0}}^{s}{\frac {s^{2}ds}{\sqrt {\mathrm {S} }}},\qquad \int _{s_{0}}^{s}{\frac {ds}{\left(s^{2}-h^{2}\right){\sqrt {\mathrm {S} }}}},$

dont l’élément est supposé infini pour $s=s_{0},$ soient elles-mêmes infinies, il faut évidemment que le polynôme $\mathrm {S}$ contienne le facteur $s-s_{0}$ au moins à la seconde puissance ; en d’autres termes, il faut que l’équation $\mathrm {S} =0$ ait au moins deux racines égales à $s_{0}.$

Ainsi l’une des équations de la trajectoire sera

$s=s_{0}\qquad {\text{ou}}\qquad u=u_{0},$

si l’on a

$\mathrm {S} _{0}=0,\qquad \left({\frac {d\mathrm {S} }{ds}}\right)_{0}=0$

ou

$\mathrm {U} _{0}=0,\qquad \left({\frac {d\mathrm {U} }{du}}\right)_{0}=0.$

On conclut de là, comme l’a fait Lagrange, que la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse du carré de la distance, ou tendante au centre et agissant en raison directe de la distance, peut l’être encore en vertu de trois forces pareilles tendantes aux deux foyers et au centre.

1. Page 109 de ce Volume.