Page:Descartes - Œuvres, éd. Adam et Tannery, VI.djvu/442

420

348.

Œuvres de Descartes.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus^[1], à savoir

$y^{6}-2by^{5}+\left.{\begin{array}{r}+b^{2}\\-2cd\\+d^{2}\end{array}}\right\}y^{4}+\left.{\begin{array}{r}+4bcd\\-2d^{2}v\end{array}}\right\}y^{3}+\left.{\begin{array}{r}+c^{2}d^{2}\\-d^{2}s^{2}\\+d^{2}v^{2}\\-2b^{2}cd\end{array}}\right\}$ $\displaystyle {-2bc^{2}d^{2}y+b^{2}c^{2}d^{2}=0}$,^[2]

doit avoir même forme, que la somme qui se produit lorsqu’on multiplie

y² - 2ey + e² par y⁴ + fy³ + g²y² + h³y + k⁴

qui est

$y^{6}+\left.{\begin{array}{r}+f\\-2e\end{array}}\right\}y^{5}+\left.{\begin{array}{r}+g^{2}\\-2ef\\+e^{2}\end{array}}\right\}y^{4}+\left.{\begin{array}{r}+h^{3}\\-2eg^{2}\\+e^{2}f\end{array}}\right\}y^{3}$

$+\left.{\begin{array}{r}+k^{4}\\-2eh^{3}\\+e^{2}g^{2}\end{array}}\right\}y^{2}+\left.{\begin{array}{r}-2ek^{4}\\+e^{2}h^{3}\end{array}}\right\}y+e^{2}k^{4}$ ^[3]

de façon que de ces deux équations j’en tire six autres, qui servent à connaître les six quantités f, g, h, k, v et s.

D’où il est sort aisé à entendre, que de quelque genre, que puisse être la ligne courbe proposée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’équations, qu’on est obligé de supposer de quantités, qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, et trouver enfin la quantité v, qui et la seule dont on a besoin, et à l’occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement par le second terme chercher f, la première des quantités inconnues de la dernière somme, et on trouve f = 2e - 2b.

Puis par le dernier il faut chercher k, la dernière des quantités inconnues de la même somme, et on trouve

$k^{4}={\frac {b^{2}c^{2}d^{2}}{e^{2}}}$

---

1. Page 415
2. y⁶-2by⁵+(b²-2cd+d²)y⁴+(4bcd-2d²v)y³+(c²d²-d²s²+d²v² -2b²cd)y² -2bc²d²y +b²c²d²=0.
3. y⁶ + (f-2e)y⁵ + (g²-2ef+e²)y⁴ + (h³-2eg²+e²f)y³ + (k⁴-2eh³+e²g²)y² + (-e²h³-2ek⁴)y + e²k⁴