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DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE

$e'f'g'$ donneront $eg:fg::LF::FD$ & $e'g'::f'g'::L'F':F'D'$, c’est-à-dire ${\frac {bds^{2}}{aa}}:fg::b:a$, & ${\frac {b'ds'^{2}}{a'a'}}::f'g'::b':a'$, donc $fg={\frac {ds^{2}}{a}}$ & $f'g'={\frac {ds'^{2}}{a'}}$, ce qui donne $ds^{2}::ds'^{2}::a\times fg:a'\times f'g'$; mais les flèches $fg$ & $f'g'$ proportionnelles aux forces ſont entr’elles, par ce qu’on vient de trouver, dans la raison de ${\frac {1}{aa}}$ à ${\frac {1}{a'a'}}$, donc $ds^{2}::ds'^{2}::{\frac {I}{a}}::{\frac {I}{a'}}$, ou, ce qui revient au même, $ds:ds'::{\frac {1}{\sqrt {a}}}:{\frac {1}{\sqrt {a'}}}$, & comme les petits espaces $ds,ds'$ ſont entr’eux dans la même raison que les vîteſſes qui les font parcourir, on aura donc, la vîteſſe en $D$ : la vîteſſe en $D'::{\frac {1}{\sqrt {a}}}:{\frac {1}{\sqrt {a'}}}$, c’est à-dire en raison renverſée des moyennes distances. C. Q. F. D.

XI.

PROPOSITION VII. THÉORÈME V.

Les tems périodiques dans deux courbes différentes font entr’eux comme les racines quarrées des cubes des moyennes diſtances au centre, lorſque lintenſité des forces eſt la même.

Gardant les mêmes dénominations que dans la propoſition précédente, ${\frac {1}{2bds}}$ ſera l’expreſſion du petit triangle ou ſecteur $FDd$, & ${\frac {1}{2abc}}$ celle de l'aire entiere de l'ellipſe ($c$ exprimant le rapport de la circonférence au rayon.) On aura donc en nommant $dt$ le temps par $Dd$ & $T$ le temps total ; $dt:T::{\frac {1}{2}}bds::{\frac {1}{2}}abc$ ; mais au lieu de $ds$ on peut mettre $udt$ donc $dt:T::udt:ac$, d’où l’on tire $T={\frac {ac}{u}}$, c’eſt-à-dire, les temps en raiſon directe des moyennes distances, & en raison renverſée des vîteſſes : mais (Article 10.) les vîteſſes dans les ellipſes en $D$ & $D'$ ſont en