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DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE

Par ce moyen l’équation $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2Byy+2ny}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$ ſe changera, en y mettant pour $2B$ ſa valeur $f^{2}-{\frac {2n}{h}}$, en $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(f^{2}-{\frac {2n}{h}})y^{2}+2ny}{l^{2}f^{2}}}-1}}}}$, mais on vient de voir que dans la ſuppoſition préſente $f={\frac {\sqrt {2nK}}{hh}}$, donc en mettant dans cette équation pour $f^{2}$ ſa valeur ${\frac {2nK}{hh}}$, on aura $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(K-h)y^{2}+h^{2}y}{Kl^{2}}}-1}}}}$ pour l’équation générale de toutes les trajectoires qui peuvent être décrites, lorſque la force centripéte agit en raiſon inverſe du quarré des diſtances. C. Q. F. T.

XXI.

PROPOSITION XIII. THEORÉME VI.

Réduction de l’équation $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(K-h)y^{2}+h^{2}y}{Kl^{2}}}-x}}}}$ aux équations des ſections coniques.

On peut ſuppoſer $h>$, $=$ ou $<K$ ; dans le premier cas, le terme $(K-h)yy$ deviendra négatif, & alors l’équation exprimera une ellipſe dont le grand axe ſera ${\frac {hh}{h-K}}$, & le petit axe ${\frac {2l{\sqrt {K}}}{\sqrt {h-K}}}$ : dans le ſecond, le terme $(K-h)yy$ fera zéro, & alors l’équation exprimera une parabole dont le paramétre ſera ${\frac {4Kl^{2}}{h^{2}}}$ : dans le troiſiéme enfin, $(K-h)y^{2}$ ſera poſitif, &