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DE LA PHILOSOPHIE NATURELLE

poſition de ce ſecond cas, $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {h^{2}y}{l^{2}K}}-1}}}}$, on aura ${\frac {1}{c}}={\frac {hh}{Kl^{2}}}$ d’où on tire $c={\frac {Kl^{2}}{hh}}$. C. Q. F. 2^o. D..

Ainſi le corps en partant du point $P$ avec une vîteſſe égale à celle qu’il auroit acquiſe en tombant de la hauteur $PC$, décrira une parabole.

Troiſiéme Cas. L’équation polaire de l’hyperbole pour un de ſes foyers eſt $dx={\frac {bdy}{y{\sqrt {2ay+yy-bb}}}}$, lorſque le demi grand axe eſt $a$, & le demi petit axe $b$ : en lui donnant cette forme $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {2ay}{bb}}+{\frac {y^{2}}{bb}}-1}}}}$, & la comparant avec l’équation générale de la trajectoire qui eſt dans le cas préſent $dx={\frac {dy}{y{\sqrt {{\frac {(K-h)y^{2}+h^{2}y}{Kl^{2}}}-1}}}}$, on aura ${\frac {2a}{bb}}={\frac {hh}{Kl^{2}}}$, & ${\frac {1}{bb}}={\frac {K-h}{Kl^{2}}}$, d’où l’on tirera $b={\frac {l{\sqrt {K}}}{\sqrt {K-h}}}$, &$a={\frac {hh}{2(K-h)}}$. C. Q. F. 3^o. D.

Donc le corps partant du point $P$ avec une vîteſſe plus grande que celle qu’il auroit acquiſe en tombant de la hauteur $PC$, décrira une hyperbole.

XXII.

SCHOLIE.

On voit par ces trois ſuppoſitions de $h>$, $=$ ou $<K$ qui ſont les trois cas poſſibles, que lorſque la force agit en raiſon inverſe du quarré des diſtances, les trajectoires ne peuvent être que des ſections coniques, ayant le centre des forces dans un foyer, quelle que ſoit la force projectile.