CHAPITRE IX.
Des valeurs singulières qui ne sont pas comprises dans les équations primitives complètes. Des équations primitives singulières.
58. La méthode que nous venons d’exposer pour trouver l’équation primitive par le moyen des séries est fondée sur la supposition que toute fonction
de deux variables
puisse toujours, par la substitution de
à la place de
se développer en une série ascendante suivant les puissances entières de
mais, comme cette série résulte du développement d’une fonction de
en faisant
et donnant à
une valeur particulière
il s’ensuit de la théorie que nous avons donnée dans le Chapitre V que ce développement pourrait contenir des puissances fractionnaires ou négatives de
auquel cas la série dont il s’agit contiendrait nécessairement de pareilles puissances de
Alors la série qui doit représenter la valeur de
pourra ne plus avoir la même forme ; mais, comme
et qu’on suppose
et
le premier terme sera toujours
et le second pourra encore être supposé de la forme
car, s’il était de la forme
étant un exposant quelconque, il n’y aurait qu’à substituer
à la place de
et supposer que
devienne
ce qui est indifférent, puisqu’on regarde
comme une constante arbitraire ; mais les termes suivants pourront être de la forme
où
devra être
par hypothèse.
Substituant donc, dans
pour
la série
![{\displaystyle p+qi+ri^{m}+si^{n}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b9ed74e2ac6262a6dda8a6ba51bd3c6d8b7b47c)
et développant suivant les puissances ascendantes de
![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
on aura une série de cette forme
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,p)+\mathrm {P} i^{\mu }+\mathrm {Q} i^{\nu }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40580ca5317949c8b61a544d0e0fe1bac24d9c85)
étant différent de l’unité,
et
étant des fonctions données de
Donc l’équation
![{\displaystyle y'=\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e489f3c1ee4333c095d61940ed62e8f98f78d62)
deviendra, par ces substitutions,
![{\displaystyle iq'+i^{m}r'+i^{n}s'+\ldots =\mathrm {P} i^{\mu }+\mathrm {Q} i^{\nu }+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec08fe51af269f676325da392b38b7a400558a1e)
laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de ![{\displaystyle i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
Donc, si
on pourra faire
et
ensuite
Ainsi, on aura d’abord
égal à une constante, ou plus simplement
ensuite, comme
ne dépend que de
et de
on trouvera la valeur de
en prenant la fonction primitive de
et ainsi de suite.
59. Mais si
alors il sera impossible de satisfaire à l’équation de manière que
demeure une constante arbitraire, et l’on devra en conclure que la valeur particulière
ne pouvant pas être complétée ainsi, ne saurait être contenue dans l’expression générale
qui représente la valeur complète de
Maintenant il est visible que, quel que puisse être le premier terme
du développement de
par la substitution, de
à la place de
il ne peut venir que des termes
de sorte qu’il sera le même que si l’on substituait simplement
à la place de
Donc le développementde
par la substitution de
à la place de
sera
donc, puisque la série résultante de ce développement contient un terme affecté de
où
est
et
il s’ensuit de la théorie donnée au no 29 que la fonction prime
devra devenir infinie lorsque
De là on tire cette conclusion que la valeur particulière
ne pourra pas être contenue dans l’expression complète de
si cette valeur rend la fonction
infinie, c’est-à-dire la fonction
nulle.
Réciproquement donc, l’équation
donnera toutes les valeurs de
qui, pouvant satisfaire à l’équation
comme valeurs particulières, ne seront pas renfermées dans la valeur complète. On pourra appeler ces valeurs valeurs singulières, pour les distinguer des autres, et, en général, on pourra appeler équation primitive singulière toute équation en
et
qui satisfera à une équation du premier ordre entre
et
ou à une équation d’un ordre supérieur, et qui ne sera pas comprise dans l’équation primitive complète, c’est-à-dire qui ne sera pas un cas particulier de cette équation.
60. Nous venons de voir qu’il y a une espèce d’équations qui peuvent satisfaire à des équations d’un ordre supérieur et qui ne satisfont pas aux équations d’où celles-ci peuvent être dérivées, parce qu’elles ne sont pas renfermées dans les équations complètes d’un ordre inférieur à celles-ci. Ces équations ne forment pas une exception à la théorie générale exposée plus haut (no 46), mais elles résultent d’une considération particulière dans la manière dont les équations d’un ordre supérieur sont dérivées par l’élimination des constantes. En effet, on y a vu que les deux équations
et
donnent, par l’élimination d’une constante
une équation dérivée du premier ordre entre
et
dont
sera l’équation primitive.
Or il est évident que le résultat de cette élimination serait le même si la quantité
au lieu d’être constante, était une fonction quelconque de
mais, dans ce cas, la fonction prime de
ne serait plus simplement
elle contiendrait de plus une partie provenant de la variation de
et, si l’on désigne par
la fonction prime de
prise relativement à la variable
on aura
pour la partie dont il s’agit,
étant la fonction prime de
regardé comme fonction de
Ainsi, dans le cas où
serait fonction de
l’équation prime de
serait
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)'+a'\operatorname {F} '(a)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1df5de78e978499999f35781a1a0f44a90154cb)
donc, pour qu’elle se réduise à
comme dans le cas de
constante, il faudra que l’on ait
équation qui servira à déterminer la valeur de
et qui n’est autre chose, comme l’on voit, que l’équation prime de l’équation primitive, prise relativement à
d’où il s’ensuit que, si l’on substitue cette valeur de
dans l’équation primitive
on aura une équation en
et
qui satisfera également à l’équation du premier ordre et qui ne sera pas renfermée dans l’équation primitive, où
est la constante arbitraire.
On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres supérieurs et en déduire des conclusions semblables.
61. Pour voir maintenant si l’équation qui résulte de cette considération est la même que l’équation primitive singulière, déduite de l’analyse précédente, supposons, comme plus haut (no 58), que l’équation du premier ordre soit réduite à la forme
et que son équation primitive complète soit
étant la constante arbitraire. Pour en déduire l’équation primitive où
est variable, on prendra l’équation prime relativement à
seul, et, si l’on désigne par
la fonction prime de
prise relativement à
on aura
d’où l’on tirera
qu’on substituera dans
et l’on aura une valeur particulière de
qui satisfera aussi à la proposée du premier ordre. Nous appellerons
cette valeur particulière, comme dans le numéro cité.
Maintenant, puisque la valeur compléte
de
doit satisfaire à l’équation
quelle que soit la constante
il s’ensuit que, en faisant la substitution, l’équation résultante
![{\displaystyle f'(x,a)=\operatorname {F} \left[x,f(x,a)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46736fc38db05a20375aca72310370aee3ebbbd0)
devra avoir lieu quelle que soit la valeur de
Par conséquent, son équation prime, prise relativement à
regardée comme seule variable, devra avoir lieu aussi quelle que soit la valeur de
(no 17).
Puisque
est la fonction prime de
prise relativement à
la fonction prime de celle-ci prise relativement à
sera donc la fonction seconde de
prise d’abord relativement à
et ensuite relativement à
laquelle est la même chose, comme nous le démontrerons plus bas, que la fonction seconde de
prise d’abord relativement à
et ensuite relativement à
Ainsi, ayant désigné par
la fonction prime de
par rapport à
on aura
pour la fonction prime de
prise également par rapport à
les traits appliqués aux caractéristiques
et
ne se rapportant qu’à la variable
À l’égard de la fonction
comme elle résulte de la substitution de
à la place de
dans
sa fonction prime relativement à
sera exprimée par
(no 16), puisque nous avons désigné par
la fonction prime de
relativement à
et par
la fonction prime de
ou
relativement à
Donc l’équation prime de l’équation
![{\displaystyle f'(x,a)=\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73042c18e66620b9f50962ce8b45e7a3665b1d2b)
prise relativement à
sera
![{\displaystyle \varphi '(x,a)=\operatorname {F} '(y).\varphi (x,a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fc1ad867425b0ddad9ac8e51be032953e18dd7)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)={\frac {\varphi '(x,a)}{\varphi (x,a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbe6650cc20de669e5d1f72cde893faea14e85d)
Or nous venons de trouver que, pour avoir la valeur particulière
il faut substituer dans
la valeur de
tirée de l’équation
Dénotons par
cette valeur de
qui sera une fonction de
la fonction
aura cette forme
![{\displaystyle \varphi (x,a)=\mathrm {V} (\mathrm {X} -a)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43530c44bb16681001f92763e9b83248731d9a0c)
étant
et
étant une fonction de
qui ne deviendra ni nulle ni infinie lorsque
on tirera de là
![{\displaystyle \varphi '(x,a)=\mathrm {V} '(\mathrm {X} -a)^{m}+m\mathrm {V} \mathrm {X} '(\mathrm {X} -a)^{m-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a5eef3b4e47965e30ae71cf07c400f43b2025a)
Donc on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)=\mathrm {\frac {V'}{V}} +{\frac {m\mathrm {X} '}{\mathrm {X} -a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ec71bc31e3c87b43dcbc0498adf3cf4f8e9c89)
Mais
devient
lorsque
donc
deviendra infini lorsque
comme dans le cas du no 59. Ainsi les deux méthodes des nos 58 et 60 conduisent aux mêmes résultats et donnent les mêmes valeurs singulières ; mais la seconde a l’avantage d’être plus directe et de donner la vraie métaphysique de cette espèce de paradoxe.
62. Supposons, pour donner un exemple, que l’équation primitive soit
![{\displaystyle x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20526d9ebf5dbdd10f14f66143ca18cc3eb54225)
en prenant les fonctions primes, on aura l’équation prime
![{\displaystyle x-ay'=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb93c2d24afa222a07ca33f1f89d8ab582d7a5a)
éliminant
par le moyen de l’équation primitive, on aura l’équation du premier ordre
![{\displaystyle x-\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right)y'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d571c923391d79d943c985f65040937776309d0)
dont celle-là sera l’équation primitive complète,
étant la constante arbitraire.
Maintenant, si l’on prend la fonction prime de la même équation
![{\displaystyle x^{2}-2ay-a^{2}-b^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89eec0ffbaef33a0d4f274be9f91c3ba923aa9e)
relativement à la quantité
regardée comme une fonction de
on aura
![{\displaystyle -2(y+a)a'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac80c31a78e6ccf4fb12683d9784f297aebe1699)
ce qui donne
![{\displaystyle y+a=0,\quad a=-y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d0319f61541be0a1d584afb5d51e1c693a5bef)
et, substituant cette valeur dans la même équation primitive, on aura
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-b^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bebf21319a9346eaf46e274c332ee15c72bea9)
Cette équation satisfera par conséquent aussi à la même équation du premier ordre, ce qui est aisé à vérifier, car elle donne
![{\displaystyle y^{2}=b^{2}-x^{2}\quad {\text{et}}\quad yy'=-x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955b079dd2b22c281cbbd8212f7b2e8ec9662233)
valeurs qui, étant substituées dans la quantité
![{\displaystyle x+yy'-y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82804f617f828b9942a883f9e0e4a553a7217b66)
la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l’équation primitive singulière.
En effet, suivant la théorie du no 61, on aura, dans le cas présent,
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y)={\frac {x}{-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624c4cc07eba4f35dac6af44f32282f5b1dbe928)
donc, en prenant les fonctions primes relativement à
seul, on trouvera
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)={\frac {x}{\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff531768986504def60e86b3982e94220838c4c8)
quantité qui devient infinie, comme l’on voit, par la supposition de ![{\displaystyle y=p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6daa0a356fc3b694299e5b735a95991d964e56ca)
63. Supposons maintenant que l’on ait l’équation du premier ordre
et que la fonction
de
soit telle qu’elle devienne nulle lorsque
est égal à une constante donnée
il est visible que cette valeur de
satisfera à l’équation, car
donne aussi
On demande si cette valeur de
est une valeur particulière comprise dans la valeur complète ou bien si ce n’est qu’une valeur singulière. On prendra la fonction prime de
et, si
devient infini lorsque
la valeur
ne sera qu’une valeur singulière ; sinon, elle sera une valeur particulière.
Soit
![{\displaystyle \operatorname {F} (y)=\mathrm {K} (y-b)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20b70878d14eb732c87704dc527e2f2bd22c3f9b)
étant
et
une constante ; on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)=m\mathrm {K} (y-b)^{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8439be380f68d4dc3f4fea905633149d3309fd)
quantité qui devient infinie lorsque
![{\displaystyle m<1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9fa95c78e5e6d2e456ad899fab29ae6482fe12d)
donc la valeur
![{\displaystyle y=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a2b7edf933b5c4ff37ac2bca32cb5edc0c596c)
sera une valeur singulière si
![{\displaystyle m>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501173910e6da8425b4e9d44a4e8643620bc2464)
et
![{\displaystyle <1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b609d535680e3a94f5a6d19996e90a957332a0ee)
et une simple valeur particulière si
![{\displaystyle m=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ca1e8909ec6751b821936017e812bde5a375c3)
ou
![{\displaystyle >1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4493b47ed296753fb80e704b2293564ea834ef99)
En effet, l’équation
![{\displaystyle y'=\mathrm {K} (y-b)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0f717e8861e6fe6797d702e1783c0ef441fb12)
étant divisée par
et mise sous la forme
![{\displaystyle (y-b)^{-m}y'-\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf5d26ea18e9d4ebdf4d231f5354332feebdf6a7)
a pour équation primitive
![{\displaystyle {\frac {(y-b)^{1-m}}{1-m}}-\mathrm {K} x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5bd0335cc9c16356a0e4bdd74d715383d38d2c)
étant la constante arbitraire, d’où l’on tire
![{\displaystyle y=b+\left[(m-1)(a+\mathrm {K} x)\right]^{\frac {1}{1-m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d555b55cfaade8808dc5604ed05b31452a258d5)
Donc, pour que l’on ait
il faudra que la quantité
devienne nulle. Or, si
et
l’exposant
sera positif ; par conséquent, il sera impossible de donner à
une valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s’agit. Mais si
alors, l’exposant
devenant négatif, la quantité
deviendra nulle lorsque
sera infini ; car, faisant
cette quantité deviendra
![{\displaystyle {\frac {c^{\frac {1}{m-1}}}{(1+\mathrm {K} cx)^{\frac {1}{m-1}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118f9ef7b8bfc7e413c42fc3471d53fbb3cc1703)
laquelle devient zéro lorsque ![{\displaystyle c=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4905a9dd91c5a2847b64b0dddc0fd27b345bfc5)
La même chose a lieu lorsque
alors l’équation primitive contient des logarithmes ou des exponentielles, car on a
![{\displaystyle y'=\mathrm {K} (y-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579c8505e25540e089d8a07ef05a1e07bafeff3a)
et, divisant par ![{\displaystyle y-b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7e199d9ad0d0a726ba4999c85b41e08e3eda29)
![{\displaystyle {\frac {y'}{y-b}}-\mathrm {K} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300a6fd833f2c786e0779764f48a7a988bf9484e)
dont l’équation primitive est
![{\displaystyle \operatorname {l} (y-b)-\mathrm {K} x=\operatorname {l} a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5886384d13f99b33d4206dd2c4efe7d927482c5)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y=b+ae^{\mathrm {K} x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00473dde547278ef4b4d6083119ff2818ba3e596)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité et
la constante arbitraire. Ici il est évident qu’en faisant
égal à zéro on aura ![{\displaystyle y=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef1bd48463dbb0709b15f72779baf4c80f980a2)
Supposons encore
![{\displaystyle \operatorname {F} (y)={\sqrt {\mathrm {Y} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632bb53430f06da5c2da6fe3afb6bad81e0c59e0)
étant une fonction de
qui devienne nulle lorsque
on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '(y)=\mathrm {\frac {Y'}{2{\sqrt {Y}}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389f91f329840a23af035fc8d7ea90103bc9ff3e)
donc, puisque
devient nul lorsque
si
ne devient pas nul en même temps,
deviendra alors infini et la valeur
ne sera qu’une valeur singulière. Donc, pour que cette valeur soit une simple valeur particulière, il faudra que
devienne nul en même temps que
en faisant ![{\displaystyle y=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef1bd48463dbb0709b15f72779baf4c80f980a2)
Cette théorie des équations primitives singulières est présentée d’une manière plus générale et avec de nouveaux détails dans les Leçons XIV, XV, XVI et XVII sur le Calcul des fonctions[1], auxquelles nous renvoyons les lecteurs qui désireraient approfondir davantage ce point d’Analyse.