Théorie des fonctions analytiques/Partie II/Chapitre 11

Joseph-Louis Lagrange

Théorie des fonctions analytiques

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome IX, p. 280-295).

CHAPITRE XI.

Des plus grandes et des moindres ordonnées des surfaces courbes. Solution générale des questions de maximis et minimis. Manière de distinguer les maxima des minima dans les fonctions de plusieurs variables.

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51. Si l’on demande les plus grandes et les moindres ordonnées d’une surface donnée, il est aisé de concevoir qu’elles ne peuvent répondre qu’aux points où le plan tangent devient parallèle au plan des $x$ et $y\,;$ donc on aura, dans ces points, $\operatorname {tang} \alpha =0,$ et, par conséquent (n^o 39),

$z'^{2}+z_{_{'}}^{2}=0,$

ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant à la fois

$z'=0\quad {\text{et}}\quad z_{_{'}}=0.$

Ce sont là les conditions nécessaires pour que l’ordonnée $z$ devienne un maximum ou un minimum.

Puisque $z$ peut représenter une fonction quelconque de $x$ et $y,$ on en conclura, en général, que, pour qu’une fonction de deux variables devienne un maximum ou un minimum, il faut que ses deux fonctions primes relatives à chacune de ces variables soient nulles.

Mais on peut parvenir directement à cette conclusion par la considération des fonctions d’une seule variable, suivant la théorie du n^o 24, et trouver en même temps les conditions nécessaires pour que le maximum ou minimum ait lieu. En effet, $z$ étant fonction de $x$ et $y,$ on peut supposer d’abord $x$ donné et chercher le maximum ou minimum de $z$ relativement à $y\,;$ on aura pour cela l’équation

$z_{_{'}}=0,$

et ensuite $z_{_{''}}<0$ pour le maximum et $>0$ pour le minimum. Si donc on substitue dans $z$ la valeur de $y$ tirée de l’équation $z_{_{'}}=0,$ cette quantité $z$ deviendra une simple fonction de $x$ et sera déjà un maximum ou minimum relativement à $y.$ Il n’y aura donc qu’à la rendre encore un maximum ou minimum relativement à la quantité $x,$ qui avait été supposée constante ; or, $y$ devant maintenant être regardée comme une fonction de $x$ donnée par l’équation $z_{_{'}}=0,$ il est clair que la fonction prime de $z$ relativement à $x$ ne sera pas simplement $z',$ mais $z'+y'z_{_{'}},$ et sa fonction seconde, relative aussi à $x,$ sera $z''+2y'z'_{_{'}}+y'^{2}z_{_{''}}+y''z_{_{'}},$ en désignant toujours par $y'$ et $y''$ les fonctions primes et secondes de $y$ relativement à $x.$ On aura donc

$z'+y'z_{_{'}}=0,$

et, comme on a déjà $z_{_{'}}=0,$ cette seconde équation se séduira à $z'=0,$ de sorte qu’on aura, pour la détermination de $x$ et $y,$ les deux conditions

$z'=0,\quad z_{_{'}}=0,$

comme plus haut.

Maintenant il faudra, de plus, que l’on ait $z''+2y'z'_{_{'}}+y'^{2}z_{_{''}}+y''z_{_{'}}<0$ pour le maximum, et $>0$ pour le minimum ; mais, comme $y$ doit être déterminée par l’équation $z_{_{'}}=0,$ $y'$ le sera par son équation prime

$z'_{_{'}}+y'z_{_{''}}=0,$

laquelle donne

$y'=-{\frac {z'_{_{'}}}{z_{_{''}}}}.$

Ainsi l’on aura, pour le maximum,

$z''-{\frac {z_{_{'}}^{'2}}{z_{_{''}}}}<0,$

et, pour le minimum,

$z''-{\frac {z_{_{'}}^{'2}}{z_{_{''}}}}>0,$

ou bien, puisque $z_{_{''}}$ doit être aussi $<0$ dans le premier cas et $>0$ dans

le second, il faudra que l’on ait, tant pour le maximum que pour le minimum,

$z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}>0.$

D’où l’on peut conclure que les valeurs de $x$ et $y$ tirées des équations $z'=0$ et $z_{_{'}}=0$ donneront un maximum ou un minimum suivant que l’on aura $z_{_{''}}<$ ou $>0,$ pourvu que l’on ait en même temps

$z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}>0,$

ce qui emporte, comme l’on voit, la condition que $z''$ et $z_{_{''}}$ soient de même signe.

Donc, si $z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}=$ ou $<0,$ il n’y aura ni maximum ni minimum, à moins que les fonctions tierces ne disparaissent aussi, auquel cas le jugement dépendra des fonctions quartes, et ainsi de suite.

Il ne suffit donc pas, pour l’existence du maximum ou minimum, que l’on ait $z''<0$ et $z_{_{''}}<0$ ou $z''>0$ et $z_{_{''}}>0,$ comme on pourrait le conclure du Chapitre XI de la seconde Partie du Calcul différentiel d’Euler.

52. Il est facile d’appliquer la méthode précédente aux fonctions de trois variables. Supposons que $u$ soit fonction des variables $x,y,z\,;$ regardant d’abord $x$ et $y$ comme constantes et $z$ seul comme variable ; on aura, suivant la notation déjà adoptée (n^o 92, I^re Partie),

$\,_{_{'}}\!u=0$

pour la condition du maximum ou minimum, et ensuite $\,_{_{''}}\!u<0$ pour le maximum et $\,_{_{''}}\!u>0$ pour le minimum. L’équation $\,_{_{''}}\!u=0$ donnera la valeur de $z$ en $x$ et $y,$ qu’on substituera ou qu’on supposera substituée dans la fonction $u,$ moyennant quoi cette fonction, ne contenant plus que les deux variables $x$ et $y,$ retombera dans le cas que nous venons de résoudre.

Pour construire des formules générales, on remarquera que, si $u$ n’était qu’une fonction de $x$ et $y,$ on aurait pour le maximum et le minimum les conditions

$u'=0\quad {\text{et}}\quad u_{_{'}}=0\,;$

ensuite pour le maximum $u_{_{''}}<0$ et pour le minimum $u_{_{''}}>0,$ et enfin

$u''u_{_{''}}-u_{_{'}}^{'2}>0$

pour les deux cas. Mais, puisque $u$ contient de plus $z,$ qui est elle-même une fonction de $x$ et $y,$ les valeurs des fonctions désignées par $u',u_{_{'}},$ $u'',\ldots$ ne seront pas simplement exprimées par ces quantités, mais il faudra y ajouter les termes qui doivent provenir de la quantité $z,$ regardée comme fonction de $x$ et $y.$ Ainsi, en prenant les fonctions primes et secondes de $u,$ on trouvera que la quantité $u'$ devient $u'+\,_{_{'}}\!uz',$ que la quantité $u_{_{'}}$ devient $u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz_{_{'}},$ que la quantité $u''$ devient $u''+2\,_{_{'}}\!u'z'+\,_{_{'}}\!uz''+\,_{_{''}}\!uz^{'2},$ que la quantité $u_{_{''}}$ devient $u_{_{''}}+2\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz_{_{''}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}^{2}$ et que la quantité $u'_{_{'}}$ devient $u'_{_{'}}+\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z'+\,_{_{'}}\!u'z_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz'_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz'z_{_{'}}.$

Donc on aura d’abord, pour le maximum ou minimum, les deux conditions

$u'+\,_{_{'}}\!uz'=0,\quad u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz_{_{'}}=0,$

de sorte qu’à cause de $\,_{_{'}}\!u=0$ on aura ces trois équations

$u'=0,\quad u_{_{'}}=0,\quad \,_{_{'}}\!u=0,$

c’est-à-dire les trois fonctions primes de $u$ relatives à $x,y,z,$ chacune égale à zéro.

Ensuite, à cause de $\,_{_{'}}\!u=0,$ on aura

$u_{_{''}}+2\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}^{2}<0$

pour le maximum, et $>0$ pour le minimum ; et pour l’un et l’autre

$\left(u''+2\,_{_{'}}\!u'z'+\,_{_{''}}\!uz^{'2}\right)\left(u_{_{''}}+2\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}^{2}\right)>\left(u'_{_{'}}+\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z'+\,_{_{'}}\!u'z_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz'z_{_{'}}\right)^{2}.$

Mais, comme la valeur de $z$ en $x$ et $y$ dépend de l’équation $\,_{_{'}}\!u=0,$ on prendra ses deux équations primes suivant $x$ et $y,$ pour avoir les valeurs de $z'$ et de $z_{_{'}}\,;$ on aura donc

$\,_{_{'}}\!u'+\,_{_{''}}\!uz'=0\quad {\text{et}}\quad \,_{_{'}}\!u_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}=0,$

d’où l’on tire

$z'=-{\frac {\,_{_{'}}\!u'}{\,_{_{''}}\!u}}\quad {\text{et}}\quad z_{_{'}}=-{\frac {\,_{_{'}}\!u_{_{'}}}{\,_{_{''}}\!u}}.$

On substituera donc ces valeurs, et, comme on a déjà trouvé $\,_{_{''}}\!u<0$ pour le maximum, et $>0$ pour le minimum, en multipliant la première condition par $\,_{_{''}}\!u,$ on aura une quantité qui devra toujours être $>0.$ Donc les conditions pour le maximum ou minimum se réduiront à ces trois-ci

$\,_{_{'}}\!u<0$ pour le maximum$\quad {\text{et}}\quad >0$ pour le minimum,

et

$\left(\,_{_{''}}\!uu''-\,_{_{'}}\!u^{'2}\right)\left(\,_{_{''}}\!uu_{_{''}}-\,_{_{'}}\!u_{_{'}}^{2}\right)>\left(\,_{_{''}}\!uu'_{_{'}}-\,_{_{'}}\!u'\,_{_{'}}\!u_{_{'}}\right)^{2}.$

On voit, par la marche de cette méthode, comment elle peut s’étendre à un plus grand nombre de variables, et l’on en peut d’abord conclure, en général, que l’on aura les équations du maximum ou minimum d’une fonction quelconque de plusieurs variables, en égalant à zéro les fonctions primes de cette fonction, prises relativement à chacune de ces variables, ce qui donnera autant d’équations que de variables. À l’égard des autres conditions nécessaires pour l’existence du maximum ou minimum, on les trouvera successivement par les principes et les formules que nous venons d’exposer.

53. Pour donner un exemple de la méthode de maximis et minimis, supposons qu’on demande la plus courte distance entre deux lignes droites données de position dans l’espace. Soit pour l’une des droites l’abscisse $x\,;$ ses deux ordonnées seront de la forme $a+bx$ et $c+dx.$ Soit pareillement pour l’autre droite l’abscisse $y,$ prise sur le même axe ; les deux ordonnées, rapportées aussi aux mêmes axes que celles de la première droite, seront de la forme $\mathrm {A+B} y$ et $\mathrm {C+D} y.$ Donc le carré de la distance entre les deux points qui répondent aux abscisses $x$ et $y$ sera exprimé par cette formule,

$(x-y)^{2}+(a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)^{2}+(c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y)^{2},$

que nous ferons, pour plus de simplicité, égale à $2z.$

En prenant les fonctions dérivées, on aura

${\begin{aligned}z'\ =&\quad \ (x-y)+b\ (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)+d\ (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y),\\z_{_{'}}\ =&-(x-y)-\mathrm {B} (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)-\mathrm {D} (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y),\\z''=&1+b^{2}\ +d^{2},\\z_{_{''}}=&1+\mathrm {B^{2}+D^{2}} ,\\z'_{_{'}}\ =&-1-b\mathrm {B} -d\mathrm {D} .\end{aligned}}$

Donc : 1^o On aura, pour la détermination des deux inconnues $x$ et $y,$ les équations

${\begin{aligned}x-y+b\ (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)&+d\ (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y)=0,\\x-y+\mathrm {B} (a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)&+\mathrm {D} (c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y)=0.\end{aligned}}$

2^o Puisque la valeur de $z''$ est nécessairement positive, il ne pourra y avoir que le minimum, mais il faudra de plus que l’on ait la condition

$z''z_{_{''}}-z_{_{'}}^{'2}>0,$

savoir

$\left(1+b^{2}+d^{2}\right)\left(1+\mathrm {B^{2}+D^{2}} \right)-(1+b\mathrm {B} +d\mathrm {D} )^{2}>0.$

Or c’est ce qui a lieu quelles que soient les valeurs de $b,d,$ $\mathrm {B,D} ,$ car la condition précédente peut se mettre sous cette forme :

$(b-\mathrm {B} )^{2}+(d-\mathrm {D} )^{2}+(b\mathrm {D} -d\mathrm {B} )^{2}>0.$

Comme les équations en $x$ et $y$ sont linéaires, la détermination de ces quantités n’a aucune difficulté ; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que ce problème est susceptible d’une solution géométrique fort élégante.

54. On peut encore, dans la recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs indéterminées, considérer toutes les variables à la fois, ce qui est plus direct et plus lumineux. Soit, en effet,

$f(x,y,z,u,\ldots )$

la fonction proposée ; si l’on suppose que les quantités $x,y,z,u,\ldots$

aient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum, il faudra que, en substituant $x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots$ à la place de $x,y,z,u,\ldots$ dans la fonction dont il s’agit, sa valeur devienne toujours plus petite dans le cas du maximum et toujours plus grande dans le cas du minimum, quelles que soient les valeurs de $p,q,r,s,\ldots$ et quelque petites qu’elles soient c’est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum.

Développons la fonction

$f(x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots )$

suivant les puissances et les produits des quantités $p,q,r,s,\ldots$ par les formules du théorème général (n^o 78, I^re Partie), et arrêtons-nous aux premiers termes de ce développement.

Si l’on désigne simplement (ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici) par $f'(x),f'(y),f'(z),f'(u),\ldots$ les fonctions primes de la fonction $f(x,y,z,u,\ldots ),$ prises relativement à $x,y,z,u,\ldots$ considérés séparément, et qu’on désigne de plus par $f''(x),f''(x,y),f''(y),$ $f''(x,z),f''(y,z),$ $f''(z),\ldots$ les fonctions secondes de la fonction

$f(x+\lambda p,y+\lambda q,z+\lambda r,u+\lambda s,\ldots ),$

prises relativement à $x$ seul, à $x$ et $y$, à $y$ seul, à $x$ et $z,$ à $y$ et $z,$ et ainsi de suite, on aura

$f(x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots )$

$=f(x,y,z,u,\ldots )+pf'(x)+qf'(y)+rf'(z)+sf'(u)+\ldots$

$+{\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+prf''(x,z)$

$+{\frac {1}{2}}r^{2}f''(z)+qrf''(y,z)+\ldots .$

Le coefficient $\lambda$ désigne un nombre indéterminé compris entre $0$ et $1,$ et qui sera le même dans la même fonction, mais pourra être différent dans les différentes fonctions.

Donc il faudra que la quantité

$pf'(x)+qf'(y)+rf'(z)+sf'(u)+\ldots$

$\qquad \qquad +{\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+\ldots$

soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, en donnant à $p,q,r,\ldots$ des valeurs quelconques aussi petites qu’on voudra. D’où l’on conclura d’abord, par un raisonnement analogue à celui du n^o 25, que cette condition ne pourra être remplie, à moins que les termes multipliés par les premières puissances de $p,q,r,\ldots$ ne soient nuls chacun en particulier, ce qui donnera les équations

$f'(x)=0,\quad f'(y)=0,\quad f'(z)=0,\quad f'(u)=0,\quad \ldots ,$

qui sont communes au maximum et au minimum, et qui, étant en même nombre que les indéterminées $x,y,z,u,\ldots ,$ serviront à déterminer leurs valeurs.

55. Mais, pour que ces valeurs donnent, en effet, un maximum ou un minimum, il faudra encore que la quantité restante

${\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+prf''(x,z)+qrf''(y,z)$

$+{\frac {1}{2}}r^{2}f''(z)+\ldots .$

soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, quelles que soient les valeurs de $p,q,r,\ldots$ et quelque petites qu’elles puissent être.

Comme les fonctions $f''(x),f''(x,y),\ldots$ qui multiplient les carrés et les produits des quantités $p,q,r,\ldots$ renferment elles-mêmes ces quantités, il pourrait être difficile, et peut-être impossible, de déterminer les caractères nécessaires pour que la condition dont il s’agit ait lieu rigoureusement ; mais j’observe que, si l’on suppose $\lambda =0,$ ces fonctions deviennent indépendantes de $p,q,r,\ldots$ et ont des valeurs déterminées, et l’on trouve alors, comme on le verra dans un moment, des conditions entre ces mêmes fonctions qui ne consistent que dans des inégalités entre des quantités composées de ces fonctions. Ces inégalités, étant supposées avoir lieu pour des valeurs déterminées de $x,y,z,\ldots ,$ auront lieu encore pour les valeurs peu différentes $x+\lambda p,$ $y+\lambda q,\ z+\lambda r,\ldots$ tant que les quantités $\lambda p,\lambda q,\lambda r,\ldots$ ne passeront pas certaines limites, qui pourront être aussi peu étendues qu’on voudra. Donc, puisque la condition exigée pour le maximum ou minimum n’a besoin d’être remplie que pour des valeurs quelconques de $p,q,r,\ldots$ aussi petites qu’on voudra, il s’ensuit qu’il suffira de satisfaire à cette condition dans le cas de $\lambda =0\,;$ par conséquent, on pourra supposer tout de suite $\lambda =0,$ ce qui réduira les fonctions $f''(x),f''(x,y),f''(y),\ldots$ qui entrent dans la quantité ci-dessus ${\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+\ldots$ à n’être que les fonctions secondes de la fonction donnée $f(x,y,z,u,\ldots ),$ prises relativement à $x$ seul, à $x$ et $y,$ etc.

56. Tout se réduit donc à trouver les conditions pour qu’une quantité de la forme

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2}+\mathrm {D} pr+\mathrm {E} qr+\mathrm {F} r^{2}+\ldots ,$

dans laquelle $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont des quantités données et $p,q,r,\ldots$ dénotent des quantités indéterminées, soit toujours nécessairement positive ou négative, quelles que soient les valeurs de $p,q,r,\ldots .$

Supposons qu’elle doive être toujours positive ; il est évident que, pour le cas contraire, il suffira de prendre négativement les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots .$ Puisque cette quantité ne doit jamais devenir négative, il s’ensuit qu’elle doit avoir un minimum positif ; et, réciproquement, si elle n’a que des minima positifs, elle ne pourra jamais devenir négative. Il n’y a donc qu’à chercher les conditions nécessaires pour que la quantité dont il s’agit ait des minima tous positifs.

Suivant l’esprit de la méthode exposée ci-dessus (n^o 52), on prendra les fonctions primes et secondes de la quantité proposée relativement à une seule variable, comme $p,$ et l’on supposera la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive. On aura ainsi l’équation

$2\mathrm {A} p+\mathrm {B} q+\mathrm {D} r+\ldots =0$

et la condition $\mathrm {A} >0.$

On substituera la valeur de $p$ tirée de l’équation précédente dans la quantité proposée, laquelle deviendra ainsi de la forme

$\mathrm {L} q^{2}+\mathrm {M} qr+\mathrm {N} r^{2}+\mathrm {P} qs+\ldots ,$

en faisant

$\mathrm {L=C-{\frac {B^{2}}{4A}},\quad M=E-{\frac {BD}{2A}},\quad N=F-{\frac {D^{2}}{4A}}} ,\quad \ldots .$

On prendra de la même manière les fonctions primes et secondes de cette transformée relativement à une seule variable $q,$ et, faisant la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive, on aura de nouveau l’équation

$2\mathrm {L} q+\mathrm {M} r+\mathrm {P} s+\ldots =0$

et la condition $\mathrm {L} >0.$

On substituera pareillement dans la transformée précédente la valeur de $q$ tirée de cette équation on aura la nouvelle transformée

$\mathrm {T} r^{2}+\mathrm {V} rs+\mathrm {X} s^{2}+\ldots =0,$

dans laquelle les coefficients $\mathrm {T,V,X} ,\ldots$ seront donnés en $\mathrm {L,M,N} ,\ldots ,$ comme ceux-ci le sont en $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ et, continuant le même procédé, on aura l’équation

$2\mathrm {T} r+\mathrm {V} s+\ldots =0$

et la condition $\mathrm {T} >0\,;$ et ainsi de suite.

Maintenant il est aisé de voir que la dernière de ces transformées, celle qui ne contiendra plus qu’une seule des indéterminées $p,q,r,\ldots$ et qui sera par conséquent de la forme $\mathrm {Z} s^{2},$ sera elle-même le minimum de la quantité proposée, d’où il s’ensuit que les conditions pour que cette quantité ait un minimum positif seront

$\mathrm {A>0,\quad L>0,\quad T>0,\quad \ldots ,\quad Z} >0,$

et, comme les équations qui déterminent les valeurs de $p,q,r,\ldots$ sont toutes linéaires, on en conclura que ce minimum sera le seul qui puisse avoir lieu. Ainsi, le problème est résolu rigoureusement.

Au reste, il est facile de voir que par ces différentes transformations la quantité proposée deviendra de la forme

$\mathrm {A} \left(p+{\frac {\mathrm {B} q+\mathrm {D} r+\ldots }{2\mathrm {A} }}\right)^{2}+\mathrm {L} \left(q+{\frac {\mathrm {M} r+\mathrm {P} s+\ldots }{2\mathrm {L} }}\right)^{2}+\mathrm {T} \left(r+{\frac {\mathrm {V} s+\ldots }{2\mathrm {T} }}\right)^{2}+\ldots ,$

laquelle sera évidemment toujours positive ou négative, suivant que les coefficients $\mathrm {A,L,T} ,\ldots$ le seront tous à la fois, et l’on voit en même temps par cette forme que les quantités $\mathrm {A,L,T} ,\ldots$ pourront être nulles, pourvu qu’elles ne le soient pas toutes à la fois.

Les conditions que nous venons de trouver deviendront donc celles du maximum ou minimum de la fonction $f(x,y,z,u,\ldots )$ en faisant, pour le minimum

$\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}f''(x),\quad \mathrm {B} =f''(x,y),\quad \mathrm {C} ={\frac {1}{2}}f''(y),\quad \ldots$

et pour le maximum

$\mathrm {A} =-{\frac {1}{2}}f''(x),\quad \mathrm {B} =-f''(x,y),\quad \mathrm {C} =-{\frac {1}{2}}f''(y),\quad \ldots .$

Il est facile de voir l’accord de ces résultats avec ceux du n^o 52 ; mais la méthode précédente a l’avantage de fournir un moyen simple d’étendre ces résultats à un nombre quelconque de variables.

57. Les principes exposés jusqu’ici sur la théorie de maximis et minimis conduisent à cette conclusion générale Si, dans une fonction quelconque des variables $x,y,z,\ldots ,$ on substitue à la place de ces variables les quantités $x+p,\ y+q,\ z+r,\ \ldots ,$ et qu’on développe la fonction suivant les puissances et les produits des quantités $p,q,r,\ldots ,$ les termes où ces quantités ne se trouveront qu’à la première dimension, étant égalés chacun séparément à zéro, donneront les équations nécessaires pour que la fonction proposée devienne un maximum ou minimum ; ensuite on considérera la quantité composée de tous les termes où $p,q,r,\ldots$ formeront deux dimensions, et il faudra pour le minimum que cette quantité soit toujours positive, et pour le maximum toujours négative, quelles que puissent être les valeurs de $p,q,r,\ldots .$

Si tous ces termes s’évanouissaient à la fois, il faudrait alors, pour l’existence du maximum ou minimum, que tous les termes où $p,q,r,\ldots$ formeraient trois dimensions disparussent aussi à la fois, et que la quantité composée des termes où $p,q,r,\ldots$ formeraient quatre dimensions fût toujours positive pour le minimum et toujours négative pour le maximum, $p,q,r,\ldots$ ayant des valeurs quelconques ; et ainsi de suite ce qui répond, comme l’on voit, au théorème du n^o 25.

Nous avons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions qui rendent une quantité de la forme

$\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\ldots$

toujours positive ou négative. On pourrait, de la même manière, chercher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des quantités de la forme

$\mathrm {A} p^{4}+\mathrm {B} p^{3}q+\ldots \,;$

mais l’application de la méthode générale à ce cas serait sujette à des difficultés de calcul qui pourraient la rendre impraticable, et c’est là un problème d’Algèbre dont il serait à désirer qu’on pût avoir une solution complète.

58. Nous avons supposé jusqu’ici que les variables qui entrent dans la fonction sont indépendantes les unes des autres ; mais, s’il y avait entre elles une ou plusieurs équations, il faudrait commencer par éliminer, au moyen de ces équations, autant de variables dans la fonction proposée ; on chercherait ensuite la condition du maximum ou minimum par rapport aux variables qui seraient restées dans la fonction. C’est la méthode qui se présente naturellement ; mais on peut la simplifier beaucoup en conservant toutes les variables et réduisant l’élimination aux seules quantités $p,q,r,\ldots .$

En effet, supposons qu’on ait entre les variables $x,y,z,\ldots$ l’équation de condition

$\varphi (x,y,z,\ldots )=0\,;$

comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de $x,y,z,\ldots ,$ elle aura donc lieu aussi en mettant $x+p,\ y+q,\ z+r,\ldots$ à la place de $x,y,z,\ldots \,;$ par conséquent, on aura, par un développement semblable à celui du n^o 78 (I^re Partie), l’équation

$p\varphi '(x)+q\varphi '(y)+r\varphi '(z)+\ldots +{\frac {1}{2}}p^{2}\varphi ''(x)+pq\varphi ''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}\varphi ''(y)+\ldots =0,$

d’où l’on pourra tirer la valeur de $p$ en série, qu’on substituera dans le développement de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum ou bien on ajoutera simplement à ce développement la quantité qui forme le premier membre de l’équation précédente, multipliée par une quantité quelconque indéterminée qui pourra même être de la forme

$a+bp+cq+dr+\ldots +lp^{2}+mpq+\ldots ,$

les coefficients $a,b,c,\ldots$ étant indéterminés, et l’on égalera à zéro tous les termes qui contiendront la quantité $p,$ ce qui servira à déterminer les inconnues $a,b,c,\ldots .$

Comme les équations du maximum ou minimum résultent de l’évanouissement des termes où les quantités $p,q,r,\ldots$ ne sont qu’à la première dimension, il suffira d’égaler à zéro chacun de ces termes, ce qui donnera sur-le-champ les équations

$f'(x)+a\varphi '(x)=0,\quad f'(y)+a\varphi '(y)=0,\quad f'(z)+a\varphi '(z)=0,\quad \ldots ,$

qu’on réduira ensuite à une de moins par l’élimination de l’inconnue $a.$ À l’égard des termes où les quantités $p,q,r,\ldots$ formeront deux dimensions, on déterminera, par les méthodes exposées ci-dessus, les conditions qui doivent avoir lieu entre les coefficients de ces termes, et l’on cherchera à satisfaire à ces conditions de la manière la plus générale, au moyen des quantités arbitraires $b,c,d,\ldots .$

Nous ne faisons ici qu’indiquer ces procédés, dont il sera facile de faire l’application ; mais on peut les réduire à ce principe général : Lorsqu’une fonction de plusieurs variables doit être un maximum ou minimum, et qu’il y a entre ces variables une ou plusieurs équations, il suffira d’ajouter à la fonction proposée les fonctions qui doivent être nulles, multipliées chacune par une quantité indéterminée, et de chercher ensuite le maximum ou minimum comme si les variables étaient indépendantes ; les équations qu’on trouvera, combinées avec les équations données, serviront à déterminer toutes les inconnues.

59. On peut résoudre, par les mêmes principes, les questions où il s’agit de trouver des courbes qui jouissent, dans chacun de leurs points, de quelque propriété donnée de maximum ou minimum.

Supposons, par exemple, qu’on demande la courbe dans laquelle la quantité que nous avons nommée $\mathrm {K}$ dans le problème du n^o 15 soit un maximum ou minimum à chaque point de la courbe. Cette quantité est exprimée par la fonction

$\left[y+(m-x)y'\right]\left[y+(n-x)y'\right],$

et la question consiste à trouver la valeur de $y$ en $x$ qui rendra cette fonction un maximum ou minimum. Si les deux quantités $y$ et $y'$ étaient indépendantes l’une de l’autre, on pourrait déterminer le maximum ou minimum relativement à chacune de ces variables ; mais, comme ces quantités dérivent l’une de l’autre et que leur relation demeure inconnue tant que l’une d’elles n’est pas une fonction déterminée de $x,$ on ne peut chercher le maximum ou minimum que par rapport à l’une de ces quantités, et il est naturel de prendre pour variable la quantité $y'$ qui détermine la position de la tangente, en regardant les coordonnées $x$ et $y$ comme données pour chaque point de la courbe.

On prendra donc les fonctions primes et secondes de la fonction proposée relativement à la quantité $y',$ regardée comme seule variable, et, égalant à zéro la fonction prime, on aura sur-le-champ l’écluation

$\left[y+(n-x)y'\right](m-x)+\left[y+(m-x)y'\right](n-x)=0,$

laquelle donne, comme dans le numéro cité,

$y'={\frac {(2x-m-n)y}{2(m-x)(n-x)}}$

pour l’équation de la courbe cherchée.

Ensuite on aura la fonction seconde

$2(m-x)(n-x),$

laquelle fait voir que le maximum aura lieu dans toute la partie de la courbe pour laquelle les deux quantités $m-x$ et $n-x$ seront de signes différents, et que le minimum aura lieu pour la partie où $m-x$ et $n-x$ seront de même signe ; de sorte que le maximum aura lieu pour toutes les valeurs de $x$ comprises entre les limites $m$ et $n,$ et le minimum pour les valeurs de $x$ qui tomberont hors de ces limites.

L’équation trouvée pour la courbe étant du premier ordre, elle est susceptible d’une équation primitive avec une constante arbitraire, et, si on la met sous la forme

${\frac {2y'}{y}}={\frac {1}{x-m}}+{\frac {1}{x-n}},$

on en déduira sur-le-champ cette équation primitive,

$2\log y=\log(x-m)+\log(x-n)+\log h,$

et, passant des logarithmes aux nombres,

$y^{2}=h(x-m)(x-n),$

où $h$ est une constante arbitraire. Cette équation est de la même forme que celle que nous avons trouvée dans l’endroit cité, ce qui doit être, puisqu’elles viennent l’une et l’autre de la même équation du premier ordre. En effet, l’équation trouvée ci-dessus pour le maximum ou minimum, étant multipliée par $y'',$ a pour équation primitive

$\left[y+(m-x)y'\right]\left[y+(n-x)y'\right]=\mathrm {K} ,$

$\mathrm {K}$ étant une constante arbitraire, et celle-ci, combinée avec la même équation pour en éliminer $y',$ donnera le résultat trouvé dans le même endroit.

Donc, rapprochant cette solution de celle du n^o 15, on en conclura, en général, que les sections coniques ont non-seulement la propriété, déjà trouvée, que chaque tangente coupe sur les perpendiculaires élevées aux deux extrémités de l’axe des parties dont le produit est constant, mais encore celle-ci, que la position de la tangente à chaque point de la courbe, regardé comme donné, est telle que ce même produit est un maximum pour l’ellipse et un minimum ou plutôt un maximum négatif pour l’hyperbole.

60. En général, si l’on demande la courbe dans laquelle une fonction donnée de $x,y,y',y'',\ldots$ sera un maximum ou minimum, on pourra chercher le maximum ou minimum relativement à chacune des quantités $y,y',y'',\ldots ,$ ce qui donnera autant de solutions différentes, et l’on aura toujours, généralement parlant, pour la courbe cherchée, une équation du même ordre que la fonction proposée.

Si cette fonction était une simple fonction des éléments $a,b,c,\ldots$ du contact (n^o 10), en cherchant le maximum ou minimum relativement à la dernière des quantités $y,y',y'',\ldots ,$ on trouverait nécessairement la même équation que l’on aurait pour le problème dans lequel on supposerait cette même fonction égale à une constante ; c’est de quoi il est facile de se convaincre par l’analyse des n^os 20 et 18. En effet, en égalant à zéro la fonction prime de $f(a,b,c,\ldots ),$ prise relativement à la plus haute des fonctions dérivées $y',y'',\ldots ,$ on aura la même équation que si l’on prenait, en général, la fonction prime de l’équation

$f(a,b,c,\ldots )=\mathrm {const} .$

relativement à $x,y,y',\ldots ,$ d’où l’on voit que ces deux genres de problèmes, quoique fort différents dans le fond, conduisent néanmoins aux mêmes résultats et sont, par conséquent, susceptibles des mêmes solutions. Ainsi, on pourra appliquer ici tout ce qui a été dit dans les endroits cités. L’exemple du numéro précédent est, comme l’on voit, un cas particulier de ces mêmes problèmes.